Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Tablo 2’deki fonksiyonların nitel özellikleri aşağıdaki gibi doldurulur:
1. h(x) = 2x - 5
- Tanım Kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü Kümesi: \mathbb{R}
- İşareti: (-) olduğu aralık (-\infty; 2,5), (+) olduğu aralık (2,5; \infty)
- Sıfırı: 2,5 (yani x = \frac{5}{2})
- Artanlık-Azalanlık: Artan (a = 2 > 0)
- Maksimum Noktası: Yok
- Minimum Noktası: Yok
- Bire Birliği: Bire bir
2. k(x) = \frac{x}{4} + 1
- Tanım Kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü Kümesi: \mathbb{R}
- İşareti: (-) olduğu aralık (-\infty, -4), (+) olduğu aralık (-4, \infty)
- Sıfırı: -4
- Artanlık-Azalanlık: Artan (a = \frac{1}{4} > 0)
- Maksimum Noktası: Yok
- Minimum Noktası: Yok
- Bire Birliği: Bire bir
3. m(x) = -x + \sqrt{3}
- Tanım Kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü Kümesi: \mathbb{R}
- İşareti: (-) olduğu aralık (\sqrt{3}, \infty), (+) olduğu aralık (-\infty, \sqrt{3})
- Sıfırı: \sqrt{3}
- Artanlık-Azalanlık: Azalan (a = -1 < 0)
- Maksimum Noktası: Yok
- Minimum Noktası: Yok
- Bire Birliği: Bire bir
4. n(x) = -3x - 4
- Tanım Kümesi: \mathbb{R}
- Görüntü Kümesi: \mathbb{R}
- İşareti: (-) olduğu aralık (-\frac{4}{3}, \infty), (+) olduğu aralık (-\infty, -\frac{4}{3})
- Sıfırı: -\frac{4}{3}
- Artanlık-Azalanlık: Azalan (a = -3 < 0)
- Maksimum Noktası: Yok
- Minimum Noktası: Yok
- Bire Birliği: Bire bir
Çözümün kontrolü: Her fonksiyon a x + b biçimindedir. Fonksiyonların sıfırları x = -\frac{b}{a} denkleminden elde edilmiş, a > 0 olanlar artan, a < 0 olanlar azalan olarak belirlenmiştir.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
Tablo 2’deki bulgulardan hareketle g(x) = ax + b (a \neq 0) doğrusal fonksiyonunun nitel özelliklerine ilişkin şu genellemeler yapılır:
- Tanım ve Görüntü Kümesi: Tanım kümesi ve görüntü kümesi tüm gerçek sayılardır (\mathbb{R}).
- Fonksiyonun Sıfırı: Fonksiyon x = -\frac{b}{a} noktasında 0 değerini alır.
- Artanlık ve Azalanlık: Eğim a > 0 ise fonksiyon tüm gerçek sayılarda artan, a < 0 ise tüm gerçek sayılarda azalandır.
- Bire Birlik: Her farklı x elemanı farklı bir görüntüye gittiği için bire birdir.
- Ekstremum Noktaları: Grafik kesintisiz bir doğru belirttiğinden maksimum veya minimum noktası yoktur.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Gerçek sayılarda tanımlı g(x) = ax + b doğrusal fonksiyonlarının nitel özellikleri ile ilgili matematiksel önermeler:
- Önerme 1: a \neq 0 olmak üzere g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun tanım kümesi ve görüntü kümesi \mathbb{R}'dir.
- Önerme 2: g(x) = 0 denkleminin tek gerçek kökü x = -\frac{b}{a}'dır.
- Önerme 3: a > 0 ise g(x) fonksiyonu \mathbb{R} üzerinde kesin artan; a < 0 ise g(x) fonksiyonu \mathbb{R} üzerinde kesin azalandır.
- Önerme 4: a \neq 0 koşulunu sağlayan her doğrusal fonksiyon bire bir ve örterdir.
- Önerme 5: Doğrusal fonksiyonların yerel veya mutlak maksimum ve minimum noktaları bulunmaz.
Soru 4
Kısa cevap
Zamana (t saniye) bağlı başlangıç çizgisine göre mesafeyi (m metre) gösteren doğrusal fonksiyonlar:
- 1. koşucu: g(t) = 6t
- 2. koşucu: h(t) = 7,5t
- 3. koşucu: k(t) = 5t + 2
- 4. koşucu: m(t) = 2,5t + 3
- Hakem: n(t) = 6
Çözüm yolu açıklaması
Sporcuların konumu f(t) = (\text{hız}) \times t + (\text{başlangıç konum uzaklığı}) formülü ile modellenir.
-
- ve 2. koşucu başlangıç çizgisinde olduğu için başlangıç konumları 0’dır: g(t) = 6t ve h(t) = 7,5t.
-
- koşucu başlangıç çizgisinin 2\text{ m} önünde olduğundan: k(t) = 5t + 2.
-
- koşucu başlangıç çizgisinin 3\text{ m} önünde olduğundan: m(t) = 2,5t + 3.
- Hakem hareket etmediği için hızı 0’dır ve başlangıç çizgisinden 6\text{ m} uzaktadır: n(t) = 6 sabit fonksiyonudur.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 102 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 104 →