Yumurta sayısı

YKS TYT
1

Bir kümesteki yumurtalar 3’er 3’er ve beşer beşer sayıldığında hep 2 yumurta artıyor yumurtaların sayısı yüzden fazla olduğuna göre kümeste en az kaç yumurta vardır?

2

Bir kümesteki yumurtalar 3’er 3’er ve beşer beşer sayıldığında hep 2 yumurta artıyor. Yumurtaların sayısı yüzden fazla olduğuna göre kümeste en az kaç yumurta vardır?

Cevap:

Sorunuza göre, kümesteki yumurta sayısı 3 ile ve 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyor ve bu sayı yüzden fazla.

Bu problemin matematiksel ifadesi şöyledir:

Yumurta sayısını ( n ) olarak tanımlarsak;

  • ( n \equiv 2 \pmod{3} )
  • ( n \equiv 2 \pmod{5} )

Ayrıca, ( n > 100 ).

Çözüm Adımları:

  1. Modüler Denklemleri Çözmek:

    • Her iki denklemi birleştirebiliriz, çünkü mod 3 ve mod 5 ile aynı kalan var.

      ( n \equiv 2 \pmod{3} ) ve ( n \equiv 2 \pmod{5} )

    • Bu, aslında ( n \equiv 2 \pmod{15} ) demektir.

  2. Denklemi Sağlayan En Küçük ( n ) Bulma:

    • ( n = 15k + 2 ) formunda olan bir ( n ) bulmamız gerekiyor.
    • Ayrıca bu ( n ), yüzden büyük olmalıdır.

  3. Belirtilen Şartı Sağlayan En Küçük ( n )'in Hesaplanması:

    • ( 15k + 2 > 100 )

    • Bu denklemi çözerek k’yi bulabiliriz:

      15k > 98
      k > \frac{98}{15} \approx 6.53

    • ( k ) bir pozitif tam sayı olduğundan, ( k = 7 ) alabiliriz.

  4. ( k = 7 ) için ( n )'in Hesaplanması:

    • ( n = 15 \times 7 + 2 )

    • ( n = 105 + 2 = 107 )

Sonuç olarak, kümeste en az 107 yumurta bulunmaktadır.