A = (3^3 \cdot 4^6 \cdot 125^4) sayısının değerini hesaplamadan kaç basamaklı olduğunu bulunuz.
Cevap:
Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için logaritma kullanabiliriz. Genel olarak, bir sayı ( n ),
- (\lfloor \log_{10} n \rfloor + 1)
basamaklıdır.
Öncelikle, ifadeyi düzeltelim ve daha basit hale getirelim:
Çözüm Adımları:
-
İfadenin Düzenlenmesi:
- (125 = 5^3) olduğuna göre:
125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}- (4 = 2^2) olduğuna göre:
4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}Dolayısıyla (A) ifadesi:
A = 3^3 \cdot 2^{12} \cdot 5^{12} -
İfadeyi Tek Bir Üstlü Şekle Getirme:
- (2^{12} \cdot 5^{12} = (2 \cdot 5)^{12} = 10^{12})
O halde:
A = 3^3 \cdot 10^{12} -
Basamak Sayısını Bulma:
- (3^3 = 27) olduğuna göre:
A = 27 \cdot 10^{12}-
Bu ifade açıldığında, 27’nin yanına 12 tane sıfır gelecektir. Bu da:
-
(\lfloor \log_{10} (27 \cdot 10^{12}) \rfloor + 1) olur.
-
Önce logaritmayı hesaplayalım:
\log_{10} (27 \cdot 10^{12}) = \log_{10} 27 + \log_{10} 10^{12}- (\log_{10} 27 \approx 1.43)
- (\log_{10} 10^{12} = 12)
\log_{10} (27 \cdot 10^{12}) = 1.43 + 12 = 13.43 -
Basamak sayısı:
\lfloor 13.43 \rfloor + 1 = 14
Bu nedenle, (A) sayısı 14 basamaklıdır.