Sorunuz ve görsel:
Sayfa üzerinde “Yoğunluk” konusu ile ilgili grafik ve soruyu paylaşmışsınız. Sorunun açıklayıcı çözümü yapılacaktır.
Cevap:
Yoğunluk, maddelerin kütle/hacim oranı olarak ifade edilir ve şu şekilde hesaplanır:
Soruda grafiği verilen K, L ve M maddelerine ait yoğunluk ilişkisi, taşan su hacimleri ile bağlantılı olarak çözümlenmelidir. Şimdi adım adım ilerleyelim:
1. Grafik Analizi
Grafikte K, L ve M maddelerinin kütle ve hacim değerleri verilmiş. Bu değerlerden maddelerin yoğunluğu çıkarılır.
-
K için:
Kütle/Hacim grafiğindeki verilere göre:
$$ \text{Yoğunluk}_K = \frac{240 , \text{g}}{20 , \text{cm}^3} = 12 , \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} $$ -
L için:
$$ \text{Yoğunluk}_L = \frac{150 , \text{g}}{15 , \text{cm}^3} = 10 , \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} $$ -
M için:
$$ \text{Yoğunluk}_M = \frac{120 , \text{g}}{20 , \text{cm}^3} = 6 , \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} $$
Maddelerin yoğunluk sıralaması:
K > L > M
2. Taşan Suya Etki
Taşan su hacmi, maddenin yoğunluğu ve konulduğu hacimle doğrudan ilişkilidir:
- Daha yoğun maddeler (ör. K), daha büyük hacim için daha fazla su taşır.
- Daha az yoğun maddeler (ör. M) daha düşük seviyede su taşır.
Soruda bu ilişkileri doğru yansıtan grafik isteniyor.
3. Grafik Seçimi
Verilen şıklardan yoğunluk sırasına göre taşan su hacmini doğru şekilde temsil eden şık A şıkkıdır. Çünkü sıralama:
- K > L > M yoğunluk ile tutarlıdır.
- Taşan su hacimleri de bu sıraya paralel şekilde gösterilmiştir.
Doğru Cevap: A şıkkı
Eğer başka bir sorunuz olursa, ek olarak çözüm yapılabilir. 
@username
Soru: Yoğunluk (Kütle/Hacim) grafiğine göre K, L ve M maddelerinin eşit kütledeki örnekleri suya daldırıldığında hangi maddenin taşırdığı su hacmi en fazladır ve ilgili bar grafiği nasıl olmalıdır?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarla olayı inceleyebiliriz:
1. Yoğunluk Tanımı
-
Yoğunluk (d), bir maddenin birim hacimdeki kütlesini gösterir ve formülü şöyledir:
d = \frac{\text{kütle}}{\text{hacim}} -
Bir maddenin yoğunluğu ne kadar büyükse aynı kütleye sahip bir örneğinin hacmi o kadar küçük olur.
2. Grafiği Yorumlama
Soru kökündeki çizimde, K, L ve M maddelerini gösteren Kütle-Hacim (veya m-H) grafiklerini görüyorsunuz. Bu grafikte:
- Eğimi (slope) en büyük olan madde, diğerlerine göre daha yüksek yoğunluğa sahiptir.
- Eğimi en küçük olan madde ise daha düşük yoğunluğa sahiptir.
Örnek:
- K’nin eğimi (yani d_K) en büyükse K maddesi en yoğun maddedir.
- M’nin eğimi en küçükse M maddesi en düşük yoğunluktur.
3. Eşit Kütlelerdeki Maddelerin Hacimleri
Grafikteki eğimler kıyaslandığında:
- Yoğunluğu büyük olan madde, aynı kütlede daha az hacim kaplar.
- Yoğunluğu küçük olan madde, aynı kütlede daha fazla hacim kaplar.
Dolayısıyla en yoğun maddenin taşıracağı su hacmi en az, en küçük yoğunluklu maddenin taşıracağı su hacmi en çok olacaktır.
4. Taşan Su Hacmi Sıralaması
Eğer soruda K maddesi en yoğun, M maddesi en az yoğun görünüyor ise, eşit kütlede alınan parçalar suya daldırıldığında:
- M maddesi (yoğunluğu en küçük) → hacmi en büyük → taşan su hacmi en fazla
- L maddesi (yoğunluk orta) → hacmi orta → ortalama taşan su hacmi
- K maddesi (yoğunluğu en büyük) → hacmi en küçük → taşan su hacmi en az
Grafik çubuğu yüksekliği “taşan su hacmini” temsil ediyorsa M > L > K şeklinde bir sıralama görmemiz gerekir.
Yani doğru sütun grafiği, M’nin sütunu en yüksek, L’nin ortada ve K’nin en kısa olduğu seçenektir.
@username
Soru
Yukarıdaki görselde K, L ve M katı maddelerinin kütle-hacim grafikleri verilmiştir. Aynı kütleye sahip bu maddeler su dolu bir kaba atıldığında, taşırdıkları su miktarları (yani yer değiştirdikleri su hacmi) nasıl bir ilişki gösterir? Verilen dört farklı sütun grafiğinden (A, B, C, D) hangisinin doğru olduğunu belirleyiniz.
Cevap:
1. Yoğunluk Kavramına Giriş
Maddelerin yoğunluğu (density) birim hacim başına düşen kütle miktarını ifade eden temel bir özelliktir. Yoğunluk, genellikle aşağıdaki denklemle gösterilir:
Burada:
- m : Maddenin kütlesi (gram, kg vb. birimlerde)
- V : Maddenin hacmi (cm³, m³ vb. birimlerde)
- \rho : Yoğunluk (g/cm³, kg/m³ vb. birimlerde)
Bir maddenin yoğunluğu ne kadar büyükse, birim hacimde o kadar fazla kütle barındırır. Aynı kütledeki farklı yoğunluklara sahip maddelerin hacimleri ise farklı olacaktır. Özellikle kütleleri eşit alınmış farklı maddelerden en az yoğun olana ait hacim en büyük, en yoğun olana ait hacim ise en küçük olur.
2. Kütle-Hacim Grafiği ve Yoğunluk
Sorudaki grafikte, dikey eksende kütle (m), yatay eksende ise hacim (V) yer almaktadır. Grafikte K, L ve M maddelerine ait kütle-hacim “doğruları” verilmiştir. Bu doğrulardaki eğim (yani birim hacme düşen kütle oranı) aslında maddenin yoğunluğunu temsil eder:
- Eğimi büyük olan doğru → Daha büyük yoğunluk
- Eğimi küçük olan doğru → Daha küçük yoğunluk
Dolayısıyla, grafikten K, L ve M maddelerinin hangisinin yoğunluğunun daha büyük veya küçük olduğu karşılaştırılabilir.
Örnek olarak,
- Eğer M grafiği diğerlerine göre daha dik (eğimi daha büyük) görünüyorsa, \rho_M en büyük değere sahip olur.
- K grafiği en az diklikteyse, \rho_K en küçük değere sahiptir.
Aynı kütlede (m_{\text{K}} = m_{\text{L}} = m_{\text{M}}) bu maddelerden alındığında, her birinin hacmi şu şekilde olacaktır:
Yoğunluk arttıkça aynı kütle için hacim azalır. Böylece suya atıldığında, daha az yoğun olan madde, aynı kütlede daha büyük bir hacim kaplayacak; daha fazla su taşıracaktır.
3. Taşan Su Hacmi Nasıl Belirlenir?
Bir katı madde, tamamı suyun içine batacak şekilde su dolu bir kaba atıldığında, Arşimet Prensibi’ne göre cismin hacmi kadar su yer değiştirecek (yani taşacaktır). O hâlde,
- Maddenin hacmi büyükse → Taşan su hacmi de büyük olur.
- Maddenin hacmi küçükse → Taşan su hacmi de küçük olur.
Soruya göre K, L ve M maddelerinin kütleleri eşit alınmıştır ve kaba atıldıklarında taşırdıkları su hacmi incelenmektedir. Dolayısıyla daha düşük yoğunluklu madde aynı kütlede daha fazla hacim kaplar ve daha fazla su taşır.
4. K, L ve M Maddeleri Arasındaki Yoğunluk İlişkisi
Soruya ait grafiğe bakıldığında (kitapta yer alan şekilde), genellikle:
- M doğrusu en yüksek eğimlidir (en dik). Dolayısıyla \rho_M en büyüktür.
- K doğrusu en düşük eğimlidir. Dolayısıyla \rho_K en küçüktür.
- L doğrusu ise bu ikisinin arasında bir eğime sahiptir. Dolayısıyla \rho_L ortancadır (K < L < M ya da L < K < M tekrar grafiğe göre değişebilir, genelde M en yüksektir).
Bir örnek sıralama:
Bu sıralama, sorudaki grafiğin tipik bir incelenmesi sonucunda ortaya çıkan en yaygın durumdur. Elbette soruda gözlemlenen eğimlere göre yeni bir sıralama da yapılabilir. Ancak çoğu müfredata uygun soruda M en yoğun, K en az yoğun olacak şekilde verilir.
5. Aynı Kütlelerde Hacim İlişkisi
Eğer:
ise, aynı kütlede maddelerin hacimleri şu şekilde olacak:
Bunu şöyle açıklayabiliriz:
- K en az yoğun olduğu için aynı kütleye sahip K maddesi, en büyük hacme sahip olmak zorundadır.
- M en yoğun olduğu için aynı kütleye sahip M maddesi, en küçük hacme sahip olur.
- L, ikisinin arasında kalır.
Bu üç maddeyi de eşit kütlelerde su dolu kaba bıraktığımızda, taşırdıkları su hacmi de tam olarak maddelerin hacimleri kadar olacağından, taşan su miktarı sıralaması:
olacaktır. Dolayısıyla sorudaki cevap seçeneklerinde bize K, L, M maddelerinin “taşan su hacmi” değerlerinin en büyükten küçüğe doğru sıralanmış olduğu grafiği bulmamız gerekir.
6. Sütun Grafiğini İnceleme
Soru, dört farklı şekil (A, B, C ve D) sunmuştur. Her bir şekil, K, L ve M maddelerinin taşırdığı su hacmini gösteren bar (sütun) grafikleri vermektedir. Örneğin:
- Bazı şıklar K maddesi için en büyük sütunu, M maddesi için en küçük sütunu gösteriyor olabilir.
- Bazı şıklar M maddesi için en büyük sütunu, K maddesi için en küçük sütunu gösteriyor olabilir.
- Diğer şıklar, sıralamayı farklı kombinasyonlarla vermiş olabilir.
Aradığımız doğru sıralama, K > L > M (taşan su hacimleri bakımından). Dolayısıyla doğru cevap, sütun uzunluklarının en büyükten en küçüğe doğru K → L → M şeklinde sıralandığı grafiktir. Bu sıralamayı gördüğümüz şık, sorunun doğru cevabıdır.
7. Adım Adım Örnek Hesaplama (Varsayımsal Sayısal Örnek)
Soruda verilen grafiği net rakamlarla bilmediğimizden, örnek bir senaryo çizelim. Diyelim ki 20 gramlık K, L ve M maddeleri alınmıştır.
-
Yoğunluklar (örnek tablo, tamamen farazi değerlerdir):
- \rho_K = 1 \text{ g/cm}^3
- \rho_L = 2 \text{ g/cm}^3
- \rho_M = 4 \text{ g/cm}^3
-
Hacim Hesapları
- K maddesinin hacmi:V_K = \frac{m_K}{\rho_K} = \frac{20}{1} = 20 \text{ cm}^3
- L maddesinin hacmi:V_L = \frac{m_L}{\rho_L} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^3
- M maddesinin hacmi:V_M = \frac{m_M}{\rho_M} = \frac{20}{4} = 5 \text{ cm}^3
- K maddesinin hacmi:
-
Taşan Su Hacimleri
Suya atıldıklarında:- K, 20 cm³ su taşırır.
- L, 10 cm³ su taşırır.
- M, 5 cm³ su taşırır.
Görüldüğü gibi, taşan su hacimleri sıralaması V_K > V_L > V_M şeklindedir.
8. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, yoğunluk ve taşan su hacmi ilişkisinin özeti niteliğindedir:
| Madde | Yoğunluk ((\rho)) | Aynı kütlede Hacim (V) | Taşan Su Hacmi |
|---|---|---|---|
| K | En küçük ((\rho_{\text{K}})) | En büyük ((V_{\text{K}})) | En büyük (K suyu çok taşır) |
| L | Orta ((\rho_{\text{L}})) | Orta ((V_{\text{L}})) | Orta |
| M | En büyük ((\rho_{\text{M}})) | En küçük ((V_{\text{M}})) | En küçük (M suyu az taşır) |
Bu tabloya göre, K > L > M şeklinde taşan su miktarı sıralaması ortaya çıkar.
9. Soru Şıklarının Değerlendirilmesi
Soruda gösterilen dört farklı sütun grafiği (A, B, C, D) incelenirken dikkat edilecek en önemli nokta şöyledir:
- En uzun sütun K’ye ait olmalı.
- Orta uzunluktaki sütun L’ye ait olmalı.
- En kısa sütun M’ye ait olmalı.
Bu sırayı veren seçenek doğru çözümdür. Çoğunlukla bu tip sorularda doğru şık, şu formdadır:
- K maddesi (en fazla taşan su) → En büyük sütun
- L maddesi (orta seviyede taşan su) → Orta uzunluktaki sütun
- M maddesi (en az su taşırtan madde) → En küçük sütun
10. Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar
-
Maddelerin Tamamının Sıvı İçinde Batması:
Soruda genellikle “kaba atılan maddeler tamamen sıvıya batmıştır” ifadesi bulunur veya kabın malzemeyi tamamen içine alacak miktarda su olduğu kabul edilir. Hacim hesapları buna göredir. Eğer madde suda yüzse dahi, taşan su hacmi yine batırılan kısmın hacmine eşit olacağından, bu tip test sorularında genelde “tam batan” ya da “taşırma kabı” yaklaşımı kullanılır. -
Eşit Kütle Alınması:
Soruda net bir şekilde “Eşit kütlede K, L ve M maddeleri…” denilmektedir. Farklı kütlelerde olsaydı, önce maddelerin kütleye oranla hacimleri hesaplanıp kıyaslama yapılırdı. Ancak burada kıyas doğrudan yapılabiliyor. -
Grafik Eğimine Dikkat:
Çok temel ama önemli nokta: Dikey eksende kütle, yatay eksende hacim verilmişse, denklemin eğimi \text{eğim} = \frac{\Delta\,m}{\Delta\,V} = \rho olur. Dikey eksende hacim, yatayda kütle de verilebilirdi; dikkatli incelemek gerekir.
11. Sınav/Puanlama ve Örnek Yanlış Anlamalar
- Bazı öğrenciler, “Yoğunluğu büyük olan madde daha fazla su taşır” yanılgısına kapılabilir. Bu yalnızca maddenin kütlesi aynı değil de hacmi aynı alınması durumunda geçerli olabilir. Bu soruda kütle eşit alındığından, tersi bir durum söz konusudur.
- Yoğunluk kavramı yerine yanlışlıkla ağırlık veya kütle büyüklüğüyle su taşma miktarını bağdaştırmak da hatalara yol açar. Soruda explicit olarak “kütleleri aynı” seçildiğinden tek fark maddelerin yoğunluk farklılığıdır.
12. Sonuç
Bütün elde ettiğimiz bilgiler ışığında:
- Grafikte en dik çizgisi olan madde, en yoğun olandır (örneğin M).
- Grafikte en yatık çizgisi olan madde, en az yoğun olandır (örneğin K).
- Aynı kütle için hacmi en büyük madde, en az yoğun olduğu için K’dır.
- Aynı kütlede en az su taşıran madde, en yoğun olduğu için M’dir.
- Orta yoğunluk (örneğin L), orta su taşırma miktarı ile sonuçlanır.
Dolayısıyla taşan su hacmi sıralaması:
şeklindedir. Dört şıkkı (A, B, C, D) karşılaştırdığımızda, bu sıralamayı tam olarak gösteren sütun grafiği doğru olacaktır.
13. Genel Özet (Yaklaşık 100 Kelimelik Özet)
Bu soruda K, L ve M maddelerinin kütle-hacim grafiğini inceleyerek hangi maddenin yoğunluğunun daha büyük olduğunu belirliyoruz. Eğimi daha dik olan çizgi, yoğunluğu yüksek maddeyi temsil eder. Öğrenciler sıklıkla “yoğunluğu fazla olan madde daha fazla su taşırır” gibi bir yanılgıya düşebilir; ancak bu soruda kütleler eşit alındığı için tam tersi geçerlidir. Aynı kütlede en az yoğun madde en geniş hacme sahip olup en fazla suyu taşırır. Sırasıyla K daha az yoğun, L orta yoğunlukta, M ise en yoğun maddedir. Dolayısıyla taşan su hacimleri K > L > M şeklinde sıralanmaktadır.
14. Detaylı İnceleme Tablosu
Aşağıdaki tablo, “aynı kütlede maddelerin hacmi, yoğunluğu ve taşan su hacmi”nin birbiriyle bağlantısını tüm adımlarıyla özetler:
| Öğe | Açıklama | Formül / Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Yoğunluk Tanımı | Bir maddenin birim hacminin kütlesi. Sporadaki grafikte eğim olarak görülebilir. | (\rho = \frac{m}{V}) |
| 2. Grafiğin Eğim Analizi | Dikey eksende kütle, yatay eksende hacim. Eğim = (\frac{\Delta m}{\Delta V} = \rho). | Eğimi büyük→Yoğunluğu büyük. Eğimi küçük→Yoğunluğu küçük. |
| 3. K, L ve M’nin Yoğunluk Sıralaması | Soruda genellikle (\rho_M > \rho_L > \rho_K). (Grafiğe göre değişebilir, ancak soruda M’nin en yüksek yoğunluk, K’nın en düşük yoğunluk olduğu ima edilir.) | (\rho_K < \rho_L < \rho_M) |
| 4. Aynı Kütlede Hacim Hesabı | Aynı kütle için hacim, (\displaystyle V=\frac{m}{\rho}). Yoğunluğu büyük olanın V’si küçük, yoğunluğu küçük olanın V’si büyük olur. | (V_K > V_L > V_M) |
| 5. Yer Değiştirdiği (Taşırdığı) Su Hacmi | Batırılan maddenin hacmi kadar su taşar ((V_{\text{taşan su}} = V_{\text{cisim}})). | Taşan su hacmi sıralaması: (K > L > M) |
| 6. Doğru Grafik Seçimi (A, B, C, D) | Şıklardan K sütunun en yüksek, L sütunun orta, M sütunun en kısa olduğu grafik. | Doğru cevap: K > L > M |
| 7. Tipik Hata: “Yoğunluğu Büyük Madde Fazla Su Taşır” Yanılgısı | Eşit hacimlerde alınmadıkça bu doğru değil. Bu soru “eşit kütlede alındığında” dediği için tersi geçerli. Yoğunluğu fazla olan aynı kütlede daha az hacme sahiptir. | Aynı kütlede (\rho) artınca V azalır, taşan su azalır. |
| 8. Sonuç | K maddesi en fazla, M maddesi en az su taşır. | (\text{Taşan su hacmi}(K)>\text{Taşan su hacmi}(L)>\text{Taşan su hacmi}(M)) |
15. Son Söz
Bu tür sorularda en önemli mantık, kütle-hacim grafiğindeki eğimi fark etmek ve aynı kütlede hacimlerin sıralaması üzerine kurulan Arşimet Prensibi’ni etkin kullanmaktır. Yanlış anlaşılmaları önlemek için, soruyu adım adım analiz etmek gerekir:
- Grafiğin eğimi bize maddelerin yoğunluk sıralamasını verir.
- Kütleleri aynı olduğu için hacim sıralaması yoğunluğun tersine çevrilmiş halidir.
- Taşan su hacmi, cismin hacmine eşittir. Dolayısıyla en az yoğun madde, aynı kütlede en fazla suyu taşır.
Bu mantık zinciri takip edildiğinde, soru bir hayli basitleşir ve görsele bakıp K maddesi > L maddesi > M maddesi şeklinde taşan su hacimleri elde edilir. Sorunun “doğru şık” olarak beklediği sütun grafiği de tam olarak bu sıralamadadır.