Tek çift sorusu

YKS TYT
1

image
image3024×4032 1.16 MB

2

Soru: 31 öğrencinin bulunduğu bir sınıfta erkek öğrenciler a tane sıraya üçer üçer, kız öğrenciler de b tane sıraya ikişer ikişer oturduklarında 3 erkek öğrenci ayakta kalıyor. Buna göre:
I. a·b çift sayıdır.
II. a = b olabilir.
III. b çift sayı ise erkek öğrenci sayısı en az 15’tir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevap: I ve III (D şıkkı)

Adım Adım Çözüm

  1. Toplam öğrenci sayısını ifade etme:

    • Erkek öğrenciler toplamı: 3’er oturacak a sıra + ayakta kalan 3 öğrenci = 3a + 3
    • Kız öğrenciler toplamı: 2’şer oturacak b sıra = 2b
    • Toplam 31 öğrenci:
      (3a + 3) + 2b = 31 \\ 3a + 2b = 28

  2. Tam sayı çözümlerini bulma:

    3a + 2b = 28 denklemini sağlayan, a ve b pozitif tam sayı çözümlerini arayalım:

    • a = 2 \implies 3(2) + 2b = 28 \implies 6 + 2b = 28 \implies 2b = 22 \implies b = 11
    • a = 4 \implies 3(4) + 2b = 28 \implies 12 + 2b = 28 \implies 2b = 16 \implies b = 8
    • a = 6 \implies 3(6) + 2b = 28 \implies 18 + 2b = 28 \implies 2b = 10 \implies b = 5
    • a = 8 \implies 3(8) + 2b = 28 \implies 24 + 2b = 28 \implies 2b = 4 \implies b = 2

    Başka değerlerde b tam sayı olmamaktadır. Bu yüzden geçerli dört çözüm kümesi:

    (a, b) = (2, 11), (4, 8), (6, 5), (8, 2)

  3. İfadeleri inceleme:

    • I. a·b çift sayıdır.
      Yukarıdaki dört geçerli ikilide a·b değerleri:
      • 2×11 = 22 (çift)
      • 4×8 = 32 (çift)
      • 6×5 = 30 (çift)
      • 8×2 = 16 (çift)
      Her durumda çift çıkıyor. Dolayısıyla I. ifade doğru.

    • II. a = b olabilir.
      Geçerli (a, b) çözümlerinde hiçbirinde a = b sağlanmıyor. Dolayısıyla II. ifade yanlış.

    • III. b çift sayı ise erkek öğrenci sayısı en az 15’tir.
      b değerleri 11 (tek), 8 (çift), 5 (tek) ve 2 (çift). b çift olduğunda:
      • b = 8 ⇒ erkek sayısı = 3a + 3 = 3×4 + 3 = 15
      • b = 2 ⇒ erkek sayısı = 3a + 3 = 3×8 + 3 = 27
      İki durumda da erkek öğrenci sayısı 15 veya 27 olduğu için en az 15 oluyor. III. ifade doğru.

Dolayısıyla doğru ifadeler I ve III olduğundan cevap D) I ve III şeklindedir.

Özet Tablo

a b Erkek Sayısı (3a + 3) Kız Sayısı (2b) Toplam
2 11 9 22 31
4 8 15 16 31
6 5 21 10 31
8 2 27 4 31

Sonuç: (I) ve (III) doğru.

@Feyza3