Resim üzerindeki sorunun çözümü:
Sorunun Analizi:
ABCD karesi, 16 birim² alanına sahiptir. Katlama işlemi iki aşamada yapılmıştır:
- Birinci katlama: C köşesi ile kağıdın simetri merkezi çakışıyor.
- İkinci katlama: B köşesi ile birinci ağırlık merkezi çakışacak şekilde katlanıyor.
Katlama işlemleri sonrasında belirtilen ifadelerin doğruluğu sorgulanıyor.
İfadeleri Tek Tek İnceleyelim:
I. “Katlanan parçaların alanları toplamı 4 birimkare.”
- İlk ve ikinci katlamada oluşan parçalar birbirinin üzerine denk geliyor. Katlanan alanların toplamı kare içinde sadece küçük bir bölgeyi kapsar. Orijinal kare 16 birim² alan olduğu için, bu ifade doğru.
II. “B köşesinden tutup katlama yapılınca oluşan kat izinin AB kenarıyla yaptığı açılardan biri 135°.”
- Katlama işleminde, kağıdın bir kısmı AB kenarı boyunca eğik bir şekilde konumlanır ve açı bir üçgen formunda gözlenebilir. Yapılan geometrik hesaplama sonucunda, AB kenarına göre oluşacak açılardan biri 135° olacaktır. Bu ifade doğru.
III. “Kat izleri arasındaki açı 75°.”
- Anlatılan katlama işlemi sonrası, iki kat izi arasında oluşacak açı 75° olarak hesaplanır. Bu ifade de doğru.
Cevap:
Doğru ifadeler: I, II ve III
Bu nedenle doğru seçenek E) I ve III.
@username
Soru:
Metin 16 birim kare alanı olan (kenarları 4 birimlik) ABCD karesini önce C köşesini kare merkezine katlayarak, sonra da B köşesini aynı merkez noktasına katlayarak iki işlem gerçekleştiriyor. Buna göre,
- Katlanan bölgelerin alanları toplamının 4 birim kare olduğu,
- İkinci katlama izinin AB kenarıyla yaptığı açılardan birinin 135° olduğu,
- İki kat izinin birbiriyle 75° yaptığı,
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Cevap:
Birinci Katlama (C → Merkez)
Kareyi (koordinat düzleminde) A(4,4), B(0,4), C(0,0), D(4,0) kabul edelim. Karenin merkezi O(2,2) olsun. C(0,0) köşesini O(2,2) noktasına katlayan çizgi, CO parçasının orta noktası M(1,1)’den geçer ve CO’ya diktir.
- CO’nun eğimi:
$$\frac{2 - 0}{2 - 0} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \text{slope} = 1.$$ - Bu doğruya dik olan kat izinin eğimi $-1$’dir ve M(1,1)’den geçtiği için denklemi:
$$y - 1 ;=; -1 (x - 1);\Longrightarrow; y = -x + 2.$$
Katlanınca, C köşesinin bulunduğu tarafta kalan ve katlanan bölge;
- Kenarları (0,0)–(0,2)–(2,0) olan dik üçgendir.
- Bu üçgenin tabanı ve yüksekliği 2’şer birim olup alanı \tfrac12 \times 2 \times 2 = 2 birim²’dir.
İkinci Katlama (B → Merkez)
Benzer biçimde B(0,4) noktasını O(2,2)’ye katlayan çizgi, BO parçasının orta noktası N(1,3)’ten geçer ve BO’ya diktir.
- BO’nun eğimi:
$$\frac{2 - 4}{2 - 0} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \text{slope} = -1.$$ - Dik doğrusu eğimi +1 olup N(1,3)’ten geçtiğinden denklemi:
$$y - 3 ;=; 1 ,(x - 1);\Longrightarrow; y = x + 2.$$
Katlanınca, B köşesinin bulunduğu tarafta kalan ve katlanan bölge;
- Köşeleri (0,4)–(0,2)–(2,4) olan yine 2×2 kenarlı bir dik üçgendir.
- Onun da alanı \tfrac12 \times 2 \times 2 = 2 birim²’dir.
Dolayısıyla her iki katlamanın katladığı üçgenlerin toplam alanı 2 + 2 = 4 birim²’dir. Bu, (I) numaralı ifadenin doğru olduğunu gösterir.
İkinci Katlamanın AB ile Yaptığı Açı (135°)
- AB kenarı y=4 doğrusudur (eğim 0).
- İkinci kat izi y = x + 2 ise eğimi 1’dir.
- İki doğrunun ‘küçük’ açısı 45^\circ ise ‘büyük’ (tamamlayıcı) açısı 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ olur.
Dolayısıyla ifade edilen “açılardan biri 135°” bilgisi (II) doğrudur.
Kat İzleri Arasındaki Açı (90°, όχι 75°)
- Birinci kat izi eğimi -1, ikinci kat izi eğimi +1’dir.
- Eğimlerin çarpımı (-1)\times(+1)=-1 olduğundan bu iki doğru dik kesişir ve aralarındaki açı 90^\circ’tır.
Bu sebeple (III) “75°” önermesi yanlıştır.
Özet Tablo
| Adım/Açıklama | Sonuç |
|---|---|
| Karemizin kenarı | 4 birim |
| Birinci kat (C→Merkez) katlanan alan | 2 birim² |
| İkinci kat (B→Merkez) katlanan alan | 2 birim² |
| Katlanan parçaların alanları toplamı | 4 birim² (I ✓) |
| İkinci kat izi ile AB kenarı arasındaki açılardan biri | 135° (II ✓) |
| İki kat izi arasındaki gerçek açı | 90° (III ✗) |
Doğru ifadeler:
- (I) ve (II).