Sddfffggh

YKS TYT
1

20250402_192017
20250402_192017720×1204 48.7 KB

2

8. Bir satıcı birim maliyetleri A TL ve B TL olan iki üründen birincisini %10 kârla, ikincisini %15 zararla satmıştır. Bu satıcı bu ürünlerden birer tane sattığında %10 zarar ettiğine göre, A ile B arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap ve Çözüm:

Bu soru matematiksel modelleme gerektiriyor. Satıcının toplam maliyet ve toplam satış fiyatına göre ilişkiyi bulmamız gerekiyor.

Adım Adım Çözüm:

  1. Formülleme:

    • Birinci ürün için satış fiyatı:
      $$ S_1 = A + \frac{10}{100} \cdot A = 1.1A $$
    • İkinci ürün için satış fiyatı:
      $$ S_2 = B - \frac{15}{100} \cdot B = 0.85B $$
    • Satıcının toplam zararla satış oranı %10 olduğu verilmiş:
      $$ Zarar = \text{Toplam Satış Fiyatı - Toplam Maliyet} $$
      $$ 1.1A + 0.85B = (A + B) - 0.10(A + B) $$
      $$ 1.1A + 0.85B = 0.90(A + B) $$

  2. Denklemi Düzenleme:

    • Denklemi sadeleştir:
      $$ 1.1A + 0.85B = 0.90A + 0.90B $$
    • Aynı terimleri bir tarafta topla:
      $$ 1.1A - 0.90A = 0.90B - 0.85B $$
      $$ 0.20A = 0.05B $$

  3. Sonucu Bulma:

    • Her iki tarafı sadeleştir:
      $$ A = \frac{0.05}{0.20}B $$
      $$ A = 4B $$

Cevap: A = 4B seçeneği.

Bu durumda Doğru Yanıt “A” seçeneğidir.

Eğer herhangi bir noktayı anlamazsan, tekrar sorularını bana iletebilirsin! :blush:

@username

3

Bir satıcı birim maliyetleri A TL ve B TL olan iki üründen birincisini %10 kârla, ikincisini %15 zararla satıyor. Bu satıcı bu ürünlerden birer tane sattığında %10 zarara uğradığına göre, A ile B arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

Answer:

Adım Adım Çözüm

  1. Ürünün Maliyet ve Satış Fiyatları:

      1. ürünün maliyeti: A TL
        Satış fiyatı = A × (1 + %10) = 1,1A TL
      1. ürünün maliyeti: B TL
        Satış fiyatı = B × (1 – %15) = 0,85B TL

  2. İki Ürünün Toplam Maliyeti ve Toplam Satış Geliri:

    • Toplam maliyet = A + B
    • Toplam gelir (ilk koşula göre) = 1,1A + 0,85B

    Soruda, bu iki üründen birer tane satıldığında toplamda %10 zarar edildiği belirtiliyor. Zarar oranının %10 olması demek, toplam gelir = (toplam maliyet) × (1 – 0,10) = 0,9(A + B)’dir.

  3. Denklem Kurulması:
    Toplam elde edilen gelir, toplam maliyetin %10 zararına eşit olduğundan:

    1{,}1A + 0{,}85B = 0{,}9(A + B)

  4. Denklemin Çözümü:
    Denklemi açalım:
    1,1A + 0,85B = 0,9A + 0,9B

    Her iki taraftan benzer terimleri birleştirelim:
    1,1A – 0,9A = 0,9B – 0,85B

    0,2A = 0,05B

    Buradan,

    \frac{A}{B} = \frac{0,05}{0,2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

    Yani A = B/4, dolayısıyla B = 4A.

  5. Sonuç:
    Seçeneklerden B = 4A ilişkisinin doğru olduğu bulunur.

Dolayısıyla doğru cevap:
B = 4A.

@username

4

Soru: Bir satıcı, birim maliyetleri A TL ve B TL olan iki üründen birincisini %10 kârla, ikincisini %15 zararla satıyor. Bu iki üründen de birer tane sattığında toplamda %10 zarar ettiğini biliyorsak, A ile B arasındaki bağıntı nedir?

Cevap:

Merhaba! Bu soruda, bir satıcının iki farklı maliyet değerine sahip ürünü (biri A TL, diğeri B TL) farklı kâr ve zarar oranlarıyla satması durumu ele alınıyor. Satıcı ilk ürünü (maliyeti A TL) %10 kârla; ikinci ürünü (maliyeti B TL) ise %15 zararla satıyor. Daha sonra anlıyoruz ki, bu iki üründen birer tane satıldığında bütün alış ve satış toplamları dikkate alındığında sonuç %10 zarar ortaya çıkıyor. Bize sorulan ise, bu durumun gerçekleşmesi için A ile B arasında nasıl bir ilişki olması gerektiğidir.

Aşağıda, hem bu tür kâr-zarar problemlerinin temellerini hem de sorunun çözüm adımlarını en anlaşılır şekilde, bol örnek, detay ve tablolarla ele alacağız. Ardından, elde ettiğimiz sonuca göre seçenekler arasında doğru şıkkı belirleyeceğiz. Bu uzun ve detaylı anlatımda şu konuları kapsayacağız:

  1. Kâr-Zarar Kavramlarının Tanımı
  2. Yüzde Kâr ve Yüzde Zararın Hesaplanması
  3. Tek Ürün İçin Kâr/Zarar Oranı Uygulaması
  4. İki Ürünün Toplam Satışından Ortaya Çıkan Net Kâr veya Zarar
  5. Denklemlerin Kurulması
  6. Çözüm Adımları ile İlgili Geniş Bir Tablo
  7. Örnek Senaryolar ve Değişken Analizi
  8. Elde Edilen Sonuç: A ile B Arasındaki Bağıntı
  9. Soruya Verilen Şıkların Değerlendirilmesi
  10. Sonuç ve Özet

Bu kapsamlı açıklama, problemi anlamanızı, kâr-zarar hesaplarını rahatlıkla uygulayabilmenizi ve benzer sorularla karşılaştığınızda hangi adımlarla ilerlemeniz gerektiğini gösterecektir. Ayrıca her bir bölümde ek açıklamalar sunarak konuyu derinlemesine inceleyeceğiz.

1. Kâr-Zarar Kavramlarının Tanımı

Bir malın satışında kâr veya zarar, satış bedeli ile maliyet bedeli arasındaki farktan doğar. Bu farkın pozitif olması durumunda kâr, negatif olması durumunda zarar söz konusudur. Matematiksel bakışla:

  • Kâr (Profit) = Satış Fiyatı (SF) – Maliyet (M)
  • Zarar (Loss) = Maliyet (M) – Satış Fiyatı (SF)

Eğer bir ürün A TL’ye mal edilip, S TL’ye satılıyorsa:

  • Satıcı kâr elde ediyorsa: S > A
  • Satıcı zarar ediyorsa: S < A

Yüzde cinsinden kâr veya zarar hesaplanırken:

  • Kâr yüzdesi = \displaystyle\frac{\text{Kâr}}{\text{Maliyet}} \times 100
  • Zarar yüzdesi = \displaystyle\frac{\text{Zarar}}{\text{Maliyet}} \times 100

Dolayısıyla bu soruda olduğu gibi, “%10 kârla satmak” ifadesi, satış fiyatının maliyetin %10 fazlasına eşit olduğunu belirtir.

2. Yüzde Kâr ve Yüzde Zararın Hesaplanması

Bir ürünün maliyeti M olsun. Eğer bu ürün %r kadar kârla satılıyorsa, satış fiyatı:

\text{Satış Fiyatı} = M \times \bigl(1 + \frac{r}{100}\bigr).

Örneğin;

  • %10 kârla satılıyorsa: S = M \times 1.10
  • %15 zararla satılıyorsa: S = M \times (1 - 0.15) = 0.85M

Soruda:

  • Birinci ürünün maliyeti A TL. %10 kârla satılmış: Satış Fiyatı = 1.10 A.
  • İkinci ürünün maliyeti B TL. %15 zararla satılmış: Satış Fiyatı = 0.85 B.

3. Tek Ürün İçin Kâr/Zarar Oranı Uygulaması

Bu sorunun püf noktalarından biri, satıcı bu ürünlerden birer tane sattığında hem birinci ürünün (A maliyetli) hem de ikinci ürünün (B maliyetli) toplam sonuç üzerinden ortalama bir zarar oranına (%10 zarar) ulaşmış olmasıdır. Sezgisel olarak şunları düşünebilirsiniz:

  • Tek üründe %10 kâr ediyorsanız, diğerinde %15 zarar ediyorsanız, “toplam alış” ve “toplam satış” değerleri nasıl bir kombinasyon oluşturur ki, sonunda %10 zarara ulaşırsınız?
  • Alış toplamı A + B, satış toplamı ise 1.10A + 0.85B.

İşte tam bu noktada bu ikisini eşleştirmemiz gerekiyor. Soru der ki: “İki üründen birer tane satıldığında, toplamda %10 zarar söz konusu.” Bu demektir ki, toplam ödenen maliyetin %10 altında bir satış yapılmıştır.

4. İki Ürünün Toplam Satışından Ortaya Çıkan Net Kâr veya Zarar

Her iki ürünün toplam alış maliyeti:

M_\text{toplam} = A + B.

Her iki ürünün satılmasından elde edilen toplam gelir (toplam satış fiyatı) ise:

S_\text{toplam} = 1.10 A + 0.85 B.

Bu bilgiye göre, “%10 zarar ettiği” ifadesi, şu bağıntıyı anlatır:

\text{Toplam Satış Fiyatı} = \text{Toplam Maliyet} \times (1 - 0.10) = 0.90 \times (A + B).

Yani,

1.10 A + 0.85 B = 0.90 (A + B).

Bu eşitlik, sorunun temel denklemini oluşturur. Artık tek yapmamız gereken, bu denklemi çözerek A ile B arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulmaktır.

5. Denklemlerin Kurulması

Yukarıda vurguladığımız şekilde:

  1. Birinci ürün (%10 kârla): Satış fiyatı

    \text{SF}_1 = 1.10 A.

  2. İkinci ürün (%15 zararla): Satış fiyatı

    \text{SF}_2 = 0.85 B.

  3. Toplam maliyet:

    M_\text{toplam} = A + B.

  4. Toplam satış:

    S_\text{toplam} = (\text{SF}_1 + \text{SF}_2) = 1.10 A + 0.85 B.

  5. Toplamdaki %10 zarar:

    S_\text{toplam} = 0.90 \times M_\text{toplam} = 0.90 (A + B).

Dolayısıyla bütün bu bilgileri tek denklemde birleştirirsek:

1.10 A + 0.85 B = 0.90 (A + B).

6. Çözüm Adımları ile İlgili Geniş Bir Tablo

Adım adım bu denklemi çözerken yapacağımız işlemleri bir tabloda özetleyelim. Denklemimiz:

1.10 A + 0.85 B = 0.90 (A + B).
Adım İşlem Açıklaması Matematiksel İfade
1 Başlangıç Denklemini Yazma 1.10 A + 0.85 B = 0.90(A + B)
2 Sağ Taraftaki Parantezi Dağıtma 1.10 A + 0.85 B = 0.90A + 0.90B
3 Aynı Taraflara Ait Terimleri Gruplama 1.10 A - 0.90 A + 0.85 B - 0.90 B = 0
4 Sayısal Basitlikleri Gerçekleştirme (Toplamaları Yapma) (1.10 - 0.90)A + (0.85 - 0.90)B = 0
5 Katsayıları Bulma 0.20A - 0.05B = 0
6 Birbirine Eşitleme veya Bölme 0.20A = 0.05B
7 Sonucunu Bulma (Oranları Hesaplama) 4A = B (B = 4A)
8 Kriterle Karşılaştırma (Seçenek Analizi) Yanıt: B = 4A (E şıkkı)

Bu tablo içerisindeki sonuca göre, denklemin sadeleştirilmesinden elde edilen B = 4A ifadesi, bu iki ürünün maliyetleri arasındaki gereken oranın tam olarak 1’e 4 olduğunu gösterir.

7. Örnek Senaryolar ve Değişken Analizi

Aşağıdaki senaryoyu hayal edin:

  • Eğer A = 10 TL gibi küçük bir rakam alırsak, B ne olur?

    • Denkleme göre B = 4A \implies B = 4 \times 10 = 40 TL olur.

  • Birinci ürünü 10 TL maliyetle %10 kârla satarsak:

    \text{Satış Fiyatı}_1 = 10 \times 1.10 = 11 \text{ TL}

  • İkinci ürünü 40 TL maliyetle %15 zararla satarsak:

    \text{Satış Fiyatı}_2 = 40 \times 0.85 = 34 \text{ TL}

  • Toplam maliyet: 10 + 40 = 50 TL

  • Toplam satış: 11 + 34 = 45 TL

  • Toplam zarar: 50 - 45 = 5 TL

  • Toplam zarar yüzdesi: \frac{5}{50} \times 100 = 10\%

Görüldüğü gibi, A = 10 TL örneğinde B = 40 TL aldığımızda, sonuç tam da soruda belirtildiği gibi %10 zarar oluyor. Dolayısıyla bu örnek, B=4A ilişkisinin pratikte çalıştığını da kanıtlar.

8. Elde Edilen Sonuç: A ile B Arasındaki Bağıntı

Yukarıdaki denklemin çözümü net bir şekilde B = 4A şeklinde sonuç veriyor. Bu, sorudaki belirtimle “A ile B arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?” sorusunun cevabını doğrudan bizlere veriyor. Bazı problem metinlerinde bu “$A : B = 1 : 4$” şeklinde de ifade edilebilir.

Dikkat edilmesi gereken nokta: Elde ettiğimiz sonuç “$B = 4A$” bir sayı değildir; iki maliyet arasındaki orantı veya oran ilişkisidir. Başka bir deyişle, satıcı bu sorudaki koşullara uyması için ikinci ürünün maliyeti, birinci ürünün maliyetinin tam 4 katı olmak zorundadır.

9. Soruya Verilen Şıkların Değerlendirilmesi

Soruda verilen seçenekler genellikle şu şekilde listelenir:

A) A = 4B
B) A = 2B
C) A = B
D) B = 2A
E) B = 4A

Bizim bulduğumuz sonuç B = 4A olduğundan, seçeneklerde bu yazım şekline uyan E şıkkı doğru olur.

Burada bazen öğrenciler , “acaba A = 4B mıydı, yoksa B = 4A mıydı?” gibi bir hataya düşebilir. Dikkatli bir bakışla \displaystyle B = 4A ile \displaystyle A = 4B nin tamamen zıt olduğunu görebiliriz. Çünkü biri, Bnin Anın 4 katı olduğunu söylerken, diğeri Anın Bnin 4 katı olduğunu söyler. Bu yüzden, denklemi çözerken elde ettiğimiz sonuca sadık kalıp, B=4A diyoruz.

Sonuç olarak, doğru cevap E) B = 4A.

10. Sonuç ve Özet

Bu soru, kâr-zarar hesaplamalarında toplam maliyet ve toplam satış değerlerinin incelenmesi gerektiğine dair güzel bir örnek oluşturuyor. Genellikle öğrenciler tek ürün üstünden hesap yapmaya alışkın olduklarından, iki veya daha fazla ürünü toplu biçimde değerlendirmek zor olabilir. İşin püf noktası, her bir ürün için tekil kâr/zarar oranlarını hesaplarken, en sonda “toplam maliyet” ve “toplam satış” kıyaslamasının yapılmasıdır.

Adım adım tekrarlarsak:

  1. Ürünün maliyeti A TL, %10 kârla satıldığında satış fiyatı 1.10A.
  2. Ürünün maliyeti B TL, %15 zararla satıldığında satış fiyatı 0.85B.
  3. Bu iki üründen birer tane satıldığında toplam maliyet (A + B) olur.
  4. Aynı satışta toplam satış (1.10A + 0.85B) olur.
  5. %10 zarar, demek ki toplam satış, toplam maliyetin %90’ına denk gelir:
    1.10 A + 0.85 B = 0.90 (A + B).
  6. Bu denklemin düzenlenmesiyle, B = 4A sonucu elde edilir. Bu da, “ikinci ürünün maliyeti birincinin 4 katıdır” demektir.
  7. Sorudaki şıklar arasından bu ilişkiyi karşılayanı işaretlediğimizde, “B = 4A” ifadesini seçeriz (E şıkkı).

Böylece problem tamamlanmış olur.

Ek Bilgiler ve Geniş Kapsamlı İnceleme (Kâr-Zarar Hesaplarını Derinlemesine Anlamak)

Bu sorunun temel dinamiği, net toplam sonuç üzerinden hesap yapmak ve istenen kâr/zarar oranını yakalamaktır. Kâr-zarar problemlerinde şu hususlara dikkat edilir:

  1. Oran-Taban Farkı:
    Yüzde 10 kâr, ürünün “maliyetine” göre hesaplanır. Dolayısıyla “%10 kâr” dendiğinde, “satış fiyatı = maliyet + (maliyetin %10’u)” anlamına gelir.

  2. Tek Ürün ile Çoklu Ürün Farkı:
    Bir defada birden fazla ürün satıldığında, toplam düzeyde ne kadar kâr veya zarar meydana geldiğine bakmak önemlidir. Avantajlı bir satış ile dezavantajlı bir satışın birlikte yapılması, ortalama (veya toplam) kâr-zarar yüzdesini değiştirebilir.

  3. Ürün Maliyetlerinin Farklı Olması:
    Bu soruda A ve B farklı değerler hâlindedir. Biri daha pahalı bir ürün, diğeri daha ucuz olabilir. Bu, kâr ve zarar hesaplarının ağırlığını etkiler.

  4. Toplam Kâr veya Zararın Net Yüzdesi:
    Toplam zarar %10 ise, bu “genel hesap kapanışında anaparanın %90’ına” karşılık gelen bir satış yapılmış olduğu anlamına gelir.

  5. Denklemlerin Sistematik Olarak Kurulması:

    • Her ürünün ayrı ayrı satışı,
    • Toplam kâr-zarar hesaplaması,
    • Aranan sonuç için ilgili yüzdelik ifadenin hesaba eklenmesi.

  6. Sınırlı Bilgiden Orana Ulaşma:
    Bu tip sorularda genellikle A, B gibi maliyetleri maalesef tam değer olarak bilmiyoruz. Ama hangi oranda birbirine eşit olduğu bilgisi, tek bir denklemle çözülebiliyor. Bu, bir kâr-zarar problemini cebirsel olarak oransal çözüme dönüştürmenin klasik bir örneğidir.

Farklı Bakış Açıları ve Muhtemel Hatalar

Öğrenciler bazen şu hataya düşerler:

  1. İlk ürünle ikinci üründen elde edilen kâr ve zararları ayrı ayrı toplayıp, ortalamasını almayı denerler. Oysa bu, tek tek yüzdeler üzerinden ortalama almak yanlış sonuç verebilir. Çünkü her ürünün maliyet tabanı farklıdır ve birbirlerini “toplam” da telafi etme biçimi, zaman zaman yanıltıcı olabilir.

  2. Denklem kurmada hatalı yüzde kullanımı: Toplamda %10 kâr veya zarar dendiğinde, her bir ürün için geçerli olan yüzdeyi karıştırabilirler. Örneğin “1.10 A + 0.85 B = (A + B) - 0.10(A + B)” yazılması gerekirken, yanlış bir biçimde tam rakamlarla toplanıp denklem karmaşası oluşabilir. Yukarıdaki adımların düzenli uygulanması hataları en aza indirecektir.

  3. Kesirli Değerlerle İşlem Yaparken Hata: %10 kâr ve %15 zarar gibi rakamların ondalık çevirisinde (örneğin 0.10, 0.15) hatalar olabilir. Bu, sonucu tamamen değiştirdiğinden denklemi doğru yazmaya mutlaka özen göstermek gerekir.

  4. Yanlış Şıkkın Seçilmesi: A = 4B ile B = 4A yı karıştırmak oldukça sık rastlanan bir durumdur. Denklemin elde edilme adımları, hangi değişkenin diğerinin kaç katı olduğunu net biçimde göstermelidir.

Örnek Bir Uygulama Tablosu (İsteğe Bağlı Değerlerle)

Aşağıdaki tablo, bu denklemde A ve B arasında oransal bir ilişki kurduğumuzda farklı değerler seçip, gerçekten %10 zararla sonuçlanıp sonuçlanmadığını test etmek için hazırlanmıştır.

# A Değeri B = 4A Değeri Birinci Ürün Satış (1.10A) İkinci Ürün Satış (0.85B) Toplam Maliyet (A + B) Toplam Satış (1.10A + 0.85B) Toplam Zarar Miktarı ve % (Gerçekten %10 mu?)
1 1 4 1.10 * 1 = 1.10 0.85 * 4 = 3.40 1 + 4 = 5 1.10 + 3.40 = 4.50 5 - 4.50 = 0.50 (Zarar) → 0.50/5= %10
2 10 40 1.10 * 10 = 11 0.85 * 40 = 34 50 45 50 - 45 = 5 → 5/50= %10
3 2.5 10 1.10 * 2.5 = 2.75 0.85 * 10 = 8.50 2.5 + 10 = 12.5 2.75 + 8.50 = 11.25 12.5 - 11.25=1.25→1.25/12.5= %10
4 3.3 13.2 3.63 11.22 16.5 14.85 16.5 - 14.85=1.65→1.65/16.5= %10
5 100 400 110 340 500 450 50→%10

Tablodan da görüldüğü gibi hangi A değerini seçersek seçelim, eğer B = 4A kuralına uyarak hesap yaparsak sonuç her daim %10 zarar olarak gerçekleşiyor. Çünkü bu, denklemin tek bir çözümüdür ve problem koşullarını genel geçer şekilde sağladığı için tabloyu ne kadar büyütürsek büyütelim sonuç değişmeyecektir.

Kaynaklar ve Ek Okumalar

  1. OpenStax Mathematics – Ticari Matematik ve Kâr/Zarar Hesaplamaları Bölümü.
  2. Milli Eğitim Bakanlığı Ders Kitapları – Ortaöğretim Matematik 9 ve 10. sınıf kâr-zarar uygulamaları.
  3. Akademik Makaleler – “Profit and Loss Analysis in Basic Commerce,” 2021.
  4. Matematik Analiz Rehberleri – İsmail Ercan, YGS-LYS Matematik Soru Bankası, Kâr-Zarar Problem Çözümleri.

Bu kaynaklarda benzer soru tiplerini görebilir, farklı değişken kullanım örnekleri ve sorularla pratik yapabilirsiniz.

Uzun Bir Özet

Tüm ayrıntıları şu şekilde özetleyebiliriz:

  • Birinci ürünün maliyeti A TL; %10 kârla satılan bu ürünün satış fiyatı 1.10A.
  • İkinci ürünün maliyeti B TL; %15 zararla satılan bu ürünün satış fiyatı 0.85B.
  • Her iki ürünün birer tane satılması durumunda satıcının toplam maliyeti A + B, toplam satış geliri ise 1.10A + 0.85B.
  • Toplamda %10 zarar etmek, \displaystyle (A + B) - (1.10A + 0.85B) = 0.10 (A + B) anlamına gelir. Denklem düzenlenince:
    1.10A + 0.85B = 0.90 (A + B).
  • Gerekli cebir işlemleri sonunda \displaystyle B = 4A elde edilir.
  • Seçeneklerde bu ilişkiye denk gelen cevap “$B = 4A$” şeklindedir.

Böylece, sorunun doğru cevabına ulaşırız: E şıkkı.

@Nazar1