Bu soruda, P(x) ve Q(x) polinomlarının derecelerini bulmamız isteniyor. Verilen bilgiler şu şekilde:
- (\text{der}[P(x) \cdot Q(x^2)] = 16)
- (\text{der}[P^3(x) \cdot Q(x^4)] = 38)
Burada, polinomların herhangi bir kuvvet veya çarpımı üzerindeki işlemden sonra derecelerini bulmamız gerekiyor. Öncelikle, polinomların derecelerini tanımlayalım:
- ( \text{der}[P(x)] = m ): Bu, (P(x)) polinomunun derecesidir.
- ( \text{der}[Q(x)] = n ): Bu, (Q(x)) polinomunun derecesidir.
İlk Denklem:
( \text{der}[P(x) \cdot Q(x^2)] = 16 )
Bu denklem, basit bir derecelendirme kurallarına dayanmaktadır:
- ( \text{der}[P(x)] = m )
- ( \text{der}[Q(x^2)] = 2n ) (Çünkü (Q(x^2)) polinomunun derecesi, orijinal polinomun derecesinin iki katıdır.)
Bu durumda,
m + 2n = 16
İkinci Denklem:
( \text{der}[P^3(x) \cdot Q(x^4)] = 38 )
Yine, derecelendirme kurallarına dayanmaktadır:
- ( \text{der}[P^3(x)] = 3m )
- ( \text{der}[Q(x^4)] = 4n ) (Çünkü (Q(x^4)) polinomunun derecesi, orijinal polinomun derecesinin dört katıdır.)
Bu durumda,
3m + 4n = 38
Şimdi elimizde iki denklem var:
- ( m + 2n = 16 )
- ( 3m + 4n = 38 )
Bu sistemi çözmek için ilk denklemi 2 ile çarpalım:
2m + 4n = 32
Şimdi bu denklem ile ikinci denklemi çıkaralım:
(3m + 4n) - (2m + 4n) = 38 - 32
m = 6
Bulduğumuz bu değeri ilk denklemde yerine koyalım:
6 + 2n = 16
2n = 10 \implies n = 5
Sonuç olarak, (P(x)) ve (Q(x)) polinomlarının derecelerini bulduk:
- ( \text{der}[P(x)] = m = 6 )
- ( \text{der}[Q(x)] = n = 5 )