Sorunun Çözümü için Aşamalar:
Soru 5 Çözümü:
Verilen Bilgiler:
- Toplam dikilen ağaç sayısı = 30.
- A ve B sınıfı toplam 16 ağaç dikmiş.
- B, C ve D sınıfı toplam 21 ağaç dikmiş.
- A ve D sınıfı toplam 15 ağaç dikmiş.
C sınıfı öğrencilerinin diktiği toplam ağaç sayısını bulmamız isteniyor.
Denklemler Kurulması
Sınıfların diktiği ağaç sayılarını sırasıyla şöyle adlandıralım:
- A = a, B = b, C = c, D = d.
Verilen bilgiler doğrultusunda denklemler:
- a + b + c + d = 30 (Toplam dikilen ağaç sayısı)
- a + b = 16 (A ve B’nin diktiği toplam ağaç)
- b + c + d = 21 (B, C ve D’nin diktiği toplam ağaç)
- a + d = 15 (A ve D’nin diktiği toplam ağaç)
Adım Adım Çözüm
1. Denklem 1 ve Denklem 2’yi kullanarak
2. Denklem 3’ü kullanarak
3. Denklem 4’ü kullanarak
4. Denklem 2’yi düzenleyerek
Sonuç ve Doğrulama
C sınıfındaki öğrenciler toplam 8 ağaç dikmiştir. Bu sonuç, verilen tüm denklemleri sağlamaktadır.
Doğru cevap: A) 8
Soru 6 Çözümü:
Verilen Bilgiler:
- Sınıfta 30 öğrenci var.
- Her öğrencinin alması gereken malzemeler:
- 2 kalem, 2 silgi, 2 defter.
- Toplamda: 30 × 2 = 60 kalem, 60 silgi, 60 defter gerekiyor.
- Dağıtımda eksik öğrenciler yüzünden kalan malzemeler:
- 36 adet (kalem, silgi, defter).
Dağıtım Sonrası Malzeme Durumu
Sınıfta bulunan her öğrenciye:
- 3 defter, 3 kalem, 2 silgi veriliyor.
Verilen bilgilere göre:
-
Kaç öğrenci eksik?
- Eksik öğrenci sayısını, artan malzemelerden bulalım.
-
Artan malzeme dağılımı (36 adet):
- Dağıtım sonrası öğrencilere fazladan verilen malzemelere göre artan defter dağılımını bulmamız gerekiyor.
Çözümü tamamlamak için ek bilgi gerekebilir. Ancak sorunun eksik içerisinde verilen toplam malzeme çözümleme basamaklarına @username
Birinci Soru (5. Soru):
Bir okuldaki A, B, C, D sınıfları toplam 30 ağaç dikmiş. Verilen bilgilere göre:
• A + B = 16
• B + C + D = 21
• A + D = 15
• A + B + C + D = 30
Aşamalı çözüm:
- Toplamın (A + B + C + D) 30 olduğu bilgisine göre B + C + D = 21 ise,
A = 30 − (B + C + D) = 30 − 21 = 9. - A = 9 ise A + B = 16’dan B = 16 − 9 = 7.
- A + D = 15’ten 9 + D = 15 → D = 6.
- C’yi bulmak için B + C + D = 21’den 7 + C + 6 = 21 → C = 8.
C sınıfının diktiği ağaç sayısı = 8.
İkinci Soru (6. Soru):
Sınıfta 30 öğrenci vardır. Her öğrenciye ikişer kalem, silgi ve defter verilecekken bazı öğrenciler yoktur. Bu nedenle sınıfta bulunan (x kişi) için herkese 3 defter, 3 kalem, 2 silgi dağıtılıyor. Dağıtım sonunda kalem + silgi + defter toplamından 36 tane artıyor. Başlangıçta 30 öğrenciye yetecek şekilde:
• 60 defter (2×30)
• 60 kalem (2×30)
• 60 silgi (2×30)
toplam 180 malzeme vardır.
Yeni dağıtımda x öğrenciye:
• 3x defter
• 3x kalem
• 2x silgi
toplam 8x malzeme verilir.
Artan malzeme = 180 − 8x ve verilen bilgiye göre bu toplam 36’dır:
180 − 8x = 36 → 8x = 144 → x = 18 (sınıfın içinde 18 öğrenci var).
Buna göre her malzemeden arta kalan:
• Defter: 60 − 3x = 60 − 3(18) = 60 − 54 = 6
• Kalem: 60 − 3(18) = 60 − 54 = 6
• Silgi: 60 − 2(18) = 60 − 36 = 24
Soru yalnızca “artan defter sayısını” istediğinden cevap = 6 olur.
@User
Yukarıda yer alan 5. soruda C sınıfı kaç ağaç dikmiştir?
Cevap:
Bu problemde her bir sınıfın (A, B, C, D) diktiği ağaç sayılarıyla ilgili verilmiş toplu bilgiler ışığında, C sınıfının diktiği ağaç sayısı bulunmak istenmektedir. Soruda şu bilgiler sunulmuştur:
-
A, B, C ve D sınıflarının diktiği ağaçların toplamı 30’dur.
- Matematiksel gösterimi:
$$A + B + C + D = 30$$
- Matematiksel gösterimi:
-
A ve B sınıfındaki öğrencilerin diktiği ağaçların toplamı 16’dır.
- Matematiksel gösterimi:
$$A + B = 16$$
- Matematiksel gösterimi:
-
B, C ve D sınıfındaki öğrencilerin diktiği ağaçların toplamı 21’dir.
- Matematiksel gösterimi:
$$B + C + D = 21$$
- Matematiksel gösterimi:
-
A ve D sınıfındaki öğrencilerin diktiği ağaçların toplamı 15’tir.
- Matematiksel gösterimi:
$$A + D = 15$$
- Matematiksel gösterimi:
Soruda, bu veriler ışığında C sınıfının diktiği ağaç sayısı sorulmaktadır.
1. Denklem Sistemini Tanıma ve Kurma
Problemi çözüme kavuşturmak için önce dört bilinmeyenle (A, B, C, D) ilgili elimizde bulunan dört denklemi yazılı hale getirmemiz gerekir:
-
Toplam ağaç sayısı denklemi:
$$A + B + C + D = 30$$ -
A ve B toplamı:
$$A + B = 16$$ -
B, C ve D toplamı:
$$B + C + D = 21$$ -
A ve D toplamı:
$$A + D = 15$$
Bu dört denklem, bir doğrusal denklem sistemi (linear equation system) oluşturur. Amaç bu sistemden C değişkenini bulmaktır.
2. Adım Adım Çözüm
Denklem çözümüne çeşitli yöntemlerle (örneğin yok etme - elimination yöntemi, yerine koyma - substitution yöntemi) yaklaşılabilir. Burada yok etme yöntemini uygulayacağız.
Adım 1: A + B ifadesinden yararlanma
İkinci denklemde:
$$A + B = 16$$
bir bilgi vardır. Ayrıca birinci denklemde:
$$A + B + C + D = 30$$
bunu kullanarak C + D ifadesine ulaşabiliriz.
- Birinci denklemden (A + B + C + D = 30), ikinci denklemi (A + B = 16) çıkartırsak:
$$(A + B + C + D) - (A + B) = 30 - 16$$
$$C + D = 14$$
Elde ettiğimiz yeni denklem:
$$C + D = 14 \quad \quad (5)$$
Böylece A ve B’den bağımsız olarak C + D’ye ilişkin bir denklem edindik.
Adım 2: A + D ifadesinden yararlanma
Dördüncü denklemde:
$$A + D = 15$$
başka bir ilişkiye sahip oluruz. Bunu (A + D)’yi sonraki adımda kullanmak üzere kenarda tutuyoruz.
Adım 3: B + C + D ifadesi
Üçüncü denklemde:
$$B + C + D = 21$$
vardır. Daha önce elde ettiğimiz A + B = 16 ile bu denklemi de ilişkilendirebiliriz. Ancak doğrudan yolla, (B + C + D) = 21 denkleminden B + C + D ifadesini bir kenara yazıyoruz. Şu an iki ara denklemimiz var:
- (5) numaralı denklem: $$C + D = 14$$
- (3) numaralı denklem: $$B + C + D = 21$$
Adım 4: Sistemi sadeleştirme
(3) numaralı denklemden (5) numaralı denklemi çıkartırsak B’yi buluruz. Gelin önce (3) - (5) yapalım:
- (3) B + C + D = 21
- (5) C + D = 14
Çıkartma işlemi:
$$(B + C + D) - (C + D) = 21 - 14$$
$$B = 7$$
Böylece B’yi 7 olarak bulduk.
Adım 5: A bulma
A + B = 16 denklemi vardı. Yukarıda B = 7 olarak bulunmuştu. Bu durumda:
Böylece A’yı 9 olarak belirledik.
Adım 6: D bulma
A + D = 15 denklemini dördüncü denklemden biliyorduk. A’nın 9 olduğunu öğrendiğimize göre:
Böylece D 6 olarak bulundu.
Adım 7: C bulma
Artık C + D = 14 denklemini kullanabiliriz (5) numaralı denklem. D’yi 6 bulmuştuk. Dolayısıyla:
İşte aradığımız C değeri 8 olarak bulunmuştur.
3. Bulunan Değerleri Doğrulama
Elimizde son olarak:
- A = 9
- B = 7
- C = 8
- D = 6
Toplamları:
Verilen koşula (30 ağaç) uyumludur. Diğer yan koşullar da tek tek doğrulanabilir:
- A + B = 9 + 7 = 16 (Koşula uygun)
- B + C + D = 7 + 8 + 6 = 21 (Koşula uygun)
- A + D = 9 + 6 = 15 (Koşula uygun)
Tüm denklemler sağlandığı için sonuç doğru kabul edilir.
4. Sonuç
Buna göre C sınıfının diktiği ağaç sayısı:
8
Sorunun çoktan seçmeli seçeneklerinde (A) 8, (B) 6, (C) 5, (D) 4, (E) 3 gibi seçenekler verilmişti. Gördüğümüz üzere doğru cevap 8 olmaktadır.
Aşağıdaki tablo, her sınıfın diktiği ağaç sayısını özetle göstermektedir:
| Sınıf | Diktiği Ağaç Sayısı |
|---|---|
| A | 9 |
| B | 7 |
| C | 8 |
| D | 6 |
| Toplam | 30 |
Yukarıda yer alan 6. soruda artan defter sayısı kaçtır?
Cevap:
Bu soru, sınıftaki dağıtım problemi ile ilgilidir. Verilen bilgiye göre:
- Bir sınıfta 30 öğrenci vardır ve başlangıçta her bir öğrenciye ikişer adet kalem, silgi ve defter dağıtılması planlanmıştır.
- Ancak dağıtım anında bazı öğrencilerin devamsız olduğu (sınıfta bulunmadığı) görülür. Böylece mevcut (sınıfta bulunan) her öğrenciye 3 defter, 3 kalem ve 2 silgi verilir.
- Dağıtım işlemi sonucunda toplam 36 adet malzeme (defter + kalem + silgi toplamı) elde kalır.
- Soru, elde kalan defter sayısının ne olduğunu sorgulamaktadır.
Aşağıda bu problemi sistematik şekilde çözüme ulaştıracağız.
1. Toplam Malzeme Sayısının Hesaplanması
Öncelikle her öğrencinin ikişer adet kalem, silgi ve defter alacağı varsayımıyla okula getirilen toplam malzeme sayısı hesaplanır. Sınıf 30 kişiden oluştuğu için:
- Kalem: 30 \times 2 = 60 adet kalem
- Silgi: 30 \times 2 = 60 adet silgi
- Defter: 30 \times 2 = 60 adet defter
Dolayısıyla, toplamda 3 ayrı malzeme türünden 60’ar adet getirilmiştir:
| Malzeme Türü | Toplam Getirilen Adet |
|---|---|
| Kalem (K) | 60 |
| Silgi (S) | 60 |
| Defter (D) | 60 |
2. Sınıfta Bulunan Öğrenci Sayısı
Soruda belirtildiği gibi bazı öğrenciler yok. Diyelim ki sınıfta y kadar öğrenci bulunuyor. O halde:
Varsayılan plan değiştiği için herkese 2 yerine farklı miktarlar veriliyor. Her mevcut öğrenciye yeni planla:
- 3 defter
- 3 kalem
- 2 silgi
dağıtılıyor.
3. Kalan Malzemenin Toplamı
Dağıtım sonunda toplam 36 adet (kalem + silgi + defter) malzeme arttığı (dağıtılmayıp elde kaldığı) bilgisi veriliyor.
Bu bilgi şu denkleme dönüşebilir:
3.1. Kalan Kalem Hesabı
Toplam 60 kalem getirilmişti. Her mevcut öğrenciye 3 kalem verilince, sınıfta y kişi varsa:
- Verilen toplam kalem:
$$ 3y $$ - Kalan kalem:
$$ 60 - 3y $$
3.2. Kalan Silgi Hesabı
Silgi de toplam 60 adet getirilmişti. Her mevcut öğrenciye 2 silgi verilince:
- Verilen toplam silgi:
$$ 2y $$ - Kalan silgi:
$$ 60 - 2y $$
3.3. Kalan Defter Hesabı
Defter de 60 adet getirilmişti. Her mevcut öğrenciye 3 defter verilince:
- Verilen toplam defter:
$$ 3y $$ - Kalan defter:
$$ 60 - 3y $$
Bu verilere göre toplam kalan malzeme (kalem + silgi + defter) şöyle ifade edilir:
4. Toplam Kalan Malzeme Üzerinden Denklem Oluşturma
Yukarıdaki eşitliği adım adım sadeleştirelim:
Parantezleri açarak toplayalım:
Sayıları toplayalım:
y terimlerini toplayalım:
Dolayısıyla denklemimiz:
4.1. $y$’yi bulma
-8y’yi yalnız bırakalım:
Buna göre sınıfta 18 öğrenci varmış (dağıtım esnasında). Yani 30 kişilik sınıfın 12 öğrencisi o gün sınıfta bulunmuyormuş.
5. Kalan Defter Sayısının Hesaplanması
Soru bizden artan defter sayısını sormaktadır. Bulduğumuz y=18 değerini kullanarak kalan defterleri hesaplayalım:
- Başlangıçta 60 defter vardı.
- 18 mevcut öğrenciye her birine 3 defter verildi: Toplam 3 \times 18 = 54 defter dağıtıldı.
- Öyleyse, kalan defter:60 - 54 = 6
Artan (kalan) defter sayısı = 6
Sorudaki seçeneklere göre doğrusu 6 olmaktadır.
6. Sonucun Doğrulanması
Ayır bir kontrol olarak kalem ve silgiye de bakalım:
- Kalem: 60 kalem vardı, her öğrencinin 3 kalem aldığı 18 öğrenci için: 3 \times 18 = 54, kalan kalem: 60 - 54 = 6.
- Silgi: 60 silgi vardı, her öğrencinin 2 silgi aldığı 18 öğrenci için: 2 \times 18 = 36, kalan silgi: 60 - 36 = 24.
Kalan toplam malzeme:
ki bu, problemin “36 adet malzeme arttı” bilgisiyle uyumlu. Dolayısıyla bulduğumuz sonuçlar tutarlıdır.
7. Sonuç
Bu verilere göre artan defter sayısı:
6
Aşağıdaki tablo, dağıtım sonrasındaki kalan malzeme miktarlarını özetler:
| Malzeme Türü | Toplam Başlangıç | Her Öğrenciye Verilen | Toplam Verilen (18 Kişi) | Kalan Miktar |
|---|---|---|---|---|
| Kalem | 60 | 3 | 3 \times 18 = 54 | 60 - 54 = 6 |
| Silgi | 60 | 2 | 2 \times 18 = 36 | 60 - 36 = 24 |
| Defter | 60 | 3 | 3 \times 18 = 54 | 60 - 54 = 6 |
| Toplam | 180 | - | 54 + 36 + 54 = 144 | 6 + 24 + 6 = 36 |
Tablodan da görüleceği üzere:
- Kalan defter: 6
- Kalan kalem: 6
- Kalan silgi: 24
- Toplam kalan malzeme: 36
Böylece problemde sorulan artan defter sayısının 6 olduğu teyit edilmiş olur.
Ek Açıklamalar ve Özet
Bu iki soru da, gündelik hayatta karşılaşılan sayı ve dağıtım problemlerinin temel örneklerindendir. İlk soruda lineer denklem sistemleri yardımıyla C sınıfının diktiği ağaçları bulmak hedeflenmiştir. İkinci soru ise “toplam malzeme - dağıtım sonrası kalan malzeme” ilişkisine dayalı bir problem olup, sıklıkla TYT, LGS veya benzeri sınavlarda karşımıza çıkar.
Önemli noktalar:
- Sorular, basit cebirsel yöntemlerle pratik şekilde çözülebilir.
- Doğrulama adımlarını yapmak, bulduğumuz sonucun tutarlı olup olmadığını gösterir.
- Dağıtım problemi türünden sorularda, her adımda “verilen - kalan” dengesini doğru kurgulamak önemlidir.
Bu tür konular, öğrencilerin mantıksal çıkarım yapma, cebirsel ifade kurma ve denklemleri çözme becerilerini geliştirmeye yardımcı olur.
Son Söz
- Soru 5’in cevabı: C sınıfının diktiği ağaç sayısı 8.
- Soru 6’nın cevabı: Artan defter sayısı 6.
Her ikisi de sorudaki verilere ve denklem sistemlerine tam uyum göstermektedir.