(a - 4)x² + 3(a - 3)x + a = 0 denkleminin kökleri m ve n’dir. m < 0 < n ve |m| < n olduğuna göre a’nın en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Answer:
Verilen denklem:
$$(a - 4)x^2 + 3(a - 3)x + a = 0 $$
Bu denklemde kökler ( m ) ve ( n ) olsun. Kökler toplamı ve kökler çarpımı hakkında bilgi edinebiliriz:
-
Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı:
- Kökler toplamı:m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{3(a-3)}{a-4}
- Kökler çarpımı:mn = \frac{c}{a} = \frac{a}{a-4}
- Kökler toplamı:
-
Denklemin Köklerinin Durumu:
- ( m < 0 < n ).
- ( |m| < n ).
-
Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Eşitsizliklerini Kullanma:
- ( m + n > 0 ) (çünkü ( m < 0 ) ve ( n > 0 ))
- ( mn < 0 ) (çünkü köklerden biri negatif, diğeri pozitif)
-
Eşitsizliklerin Analizi:
-
( m + n = -\frac{3(a-3)}{a-4} > 0 )
Bu doğru olması için ( -\frac{3(a-3)}{a-4} ) pozitif olmalı:-\frac{3(a-3)}{a-4} > 0 \implies \frac{3(a-3)}{a-4} < 0 -
( a-4 < 0 ) ve ( 3(a-3) > 0 ) olmalıdır.
a - 4 < 0 \implies a < 43(a-3) > 0 \implies a > 3
Elde edilen sonuç:
3 < a < 4 -
-
Kökler Çarpımı (mn) Negatif Olması Durumu:
- ( mn = \frac{a}{a-4} < 0 )a > 0 \quad ve \quad a - 4 < 0 \implies a < 4
- ( mn = \frac{a}{a-4} < 0 )
Bu iki durumu birleştirdiğimizde, ( 3 < a < 4 ) olduğunu buluyoruz.
Sonuç olarak a’nın en geniş değer aralığı:
Cevap: (C) (3, 4)