“2m5n” sayısı 3’e tam bölünebilmekte fakat 2’ye tam bölünememektedir. Buna göre, m - n farkının en büyük değeri kaç olur?
“2m5n” sayısı 3’e tam bölünebilmekte fakat 2’ye tam bölünememektedir. Buna göre, m - n farkının en büyük değeri kaç olur?
Cevap:
Bir sayının 3’e tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 3’e tam bölünebilir olması gerekir. Ayrıca, bir sayının 2’ye tam bölünememesi için son basamağının tek olması gerekir.
Adım 1: Koşulları İnceleyelim
-
3’e tam bölünebilme koşulu: 2 + m + 5 + n = m + n + 7 ifadesinin 3’e tam bölünebilir olması gerekiyor.
-
2’ye tam bölünememe koşulu: Sayının son basamağı tek olmalıdır, yani n tek bir rakam olmalıdır. n = 1, 3, 5, 7 veya 9 olabilir.
Adım 2: 3’e Tam Bölünebilme Koşulunu Sağlayan m ve n Değerlerini Bulalım
2 + m + 5 + n = m + n + 7 ifadesinin 3’e tam bölünebilmesi için:
- m + n + 7 ≡ 0 (mod 3) olması gerekir.
Önce n’in mümkün olabilecek tek değerlerini göz önünde bulunduralım.
Durumlar:
n = 1
m + 1 + 7 ≡ 0 (mod 3)
m + 8 ≡ 0 (mod 3)
m ≡ -8 ≡ 1 (mod 3)
Bu durumda m, 1 mod 3 olmalı, yani m = 1, 4, 7 olabilir.
m - n farkı için:
- m = 1: m - n = 1 - 1 = 0
- m = 4: m - n = 4 - 1 = 3
- m = 7: m - n = 7 - 1 = 6
n = 3
m + 3 + 7 ≡ 0 (mod 3)
m + 10 ≡ 0 (mod 3)
m ≡ -10 ≡ 2 (mod 3)
Bu durumda m, 2 mod 3 olmalı, yani m = 2, 5, 8 olabilir.
m - n farkı için:
- m = 2: m - n = 2 - 3 = -1
- m = 5: m - n = 5 - 3 = 2
- m = 8: m - n = 8 - 3 = 5
n = 5
m + 5 + 7 ≡ 0 (mod 3)
m + 12 ≡ 0 (mod 3)
m ≡ -12 ≡ 0 (mod 3)
Bu durumda m, 0 mod 3 olmalı, yani m = 0, 3, 6, 9 olabilir.
m - n farkı için:
- m = 0: m - n = 0 - 5 = -5
- m = 3: m - n = 3 - 5 = -2
- m = 6: m - n = 6 - 5 = 1
- m = 9: m - n = 9 - 5 = 4
n = 7
m + 7 + 7 ≡ 0 (mod 3)
m + 14 ≡ 0 (mod 3)
m ≡ -14 ≡ 1 (mod 3)
Bu durumda m, 1 mod 3 olmalı, yani m = 1, 4, 7 olabilir.
m - n farkı için:
- m = 1: m - n = 1 - 7 = -6
- m = 4: m - n = 4 - 7 = -3
- m = 7: m - n = 7 - 7 = 0
n = 9
m + 9 + 7 ≡ 0 (mod 3)
m + 16 ≡ 0 (mod 3)
m ≡ -16 ≡ 2 (mod 3)
Bu durumda m, 2 mod 3 olmalı, yani m = 2, 5, 8 olabilir.
m - n farkı için:
- m = 2: m - n = 2 - 9 = -7
- m = 5: m - n = 5 - 9 = -4
- m = 8: m - n = 8 - 9 = -1
Adım 3: m - n Farkının En Büyük Değerini Bulalım
Yukarıda hesaplanan m - n farklılıklarına baktığımızda, en büyük değer 6’dır. Bu değer n = 1 ve m = 7 olduğunda elde edilir.
Nihai Cevap:
m - n farkının en büyük değeri 6’dır.