Bu soruyu 8. Sınıf matematik konularına uygun bir şekilde, açıklayarak çözer misin:)
Zeynep1811’in Sorduğu Kumbara Problemi
Sorunun Anlamı:
Verilen bir problemin içerisinde, Deniz’in kumbarasına babası tarafından başlangıçta konulan para miktarını bulmamız istenmektedir. Her gün sabit bir miktarda para eklenerek kumbara birikimi yapılmıştır. Tabloda, belirli günlerde kumbarada biriken para miktarları verilmiştir.
Problem Analizi
Öncelikle elimizdeki tabloyu anlayalım:
- 1. Gün: Belirli bir miktar para (başlangıçta konulan para) var. Bu miktar henüz verilmemiş.
- 3. Gün: Kumbaradaki para miktarı a TL.
- 5. Gün: Kumbaradaki para miktarı a + 6 TL.
- 10. Gün: Kumbaradaki para miktarı 2a + 8 TL.
Bu durumda, düzenli olarak her gün ne kadar para eklendiğini anlamamız gerekiyor. Bu sürekliliği bulduğumuzda, başlangıçta babasının kumbaraya attığı miktarı bulabiliriz.
Çözüm Aşamaları
-
Günlük Para Eklemesi Belirleme:
3. Gün’deki para miktarı a TL ve 5. Gün’deki para miktarı a + 6 TL olduğunda, iki gün içinde toplam 6 TL artış olmuş. Bu, günlük eklenen miktarın 3 TL olduğunu gösterir:
$$\text{Günlük eklenen para miktarı} = \frac{6}{5-3} = 3 \text{ TL}$$
-
Başlangıç Miktarını Belirleme:
Şimdi, başlangıçtaki parayı bulmamız gerekiyor. 10. Gün için ifademiz 2a + 8 TL. Her gün 3 TL ekleniyorsa:
[
\begin{align*}
2a + 8 &= \text{Başlangıç Miktarı} + (10 \times 3) \
2a + 8 &= \text{Başlangıç Miktarı} + 30 \
\text{Başlangıç Miktarı} &= 2a + 8 - 30 \
\text{Başlangıç Miktarı} &= 2a - 22
\end{align*}
] -
a’nın Değerini Belirleme:
5. Gün için elimizdeki ifade a + 6 TL. Bunu da kontrol edelim:
[
\begin{align*}
a + 6 &= \text{Başlangıç Miktarı} + (5 \times 3) \
a + 6 &= \text{Başlangıç Miktarı} + 15 \
\text{Başlangıç Miktarı} &= a + 6 - 15 \
\text{Başlangıç Miktarı} &= a - 9
\end{align*}
]Şu ana kadar iki farklı başlangıç miktarı formülü bulduk:
$$\text{Başlangıç Miktarı} = 2a - 22 \quad \text{ve} \quad \text{Başlangıç Miktarı} = a - 9.$$Bu iki denklem birbirine eşit olmalı, çünkü aynı miktarı temsil ediyor:
[
\begin{align*}
2a - 22 &= a - 9 \
2a - a &= -9 + 22 \
a &= 13
\end{align*}
] -
Başlangıç Miktarını Bulma:
Şimdi a = 13 değerini kullanarak başlangıç miktarını bulabiliriz:
$$\text{Başlangıç Miktarı} = a - 9 = 13 - 9 = 4 \text{ TL}$$
Sonuç ve Cevap
Babası başlangıçta kumbaraya 4 TL koymuştur. Doğru cevap A) 4.
| Gün (X) | Biriken Para (Y) Formülü | Toplam Birikim |
|---|---|---|
| 1 | Başlangıç Miktarı | 4 TL |
| 3 | a | 13 TL |
| 5 | a + 6 | 19 TL |
| 10 | 2a + 8 | 34 TL |
Özet: Problemi çözmek için günlük artış miktarını bulduk ve ardından formülleri kullanarak başlangıçtaki parayı belirledik. Sonuçta, babası başlangıçta kumbaraya 4 TL koymuştur.
Biraz daha açıklayıcı anlatırmısın
Zeynep’in Kumbara Problemi: Detaylı Çözüm Analizi
Problem Tanımı:
Deniz’in kumbarasına babası başlangıçta belli bir miktar para koyuyor ve ardından Deniz, her gün düzenli olarak aynı miktarda para ekliyor. Bizden, başlangıçta kumbaraya konulan parayı bulmamız isteniyor. Soruda tablonun içerisindeki verilere göre belirli günlerde kumbarada biriken para miktarları verilmiş.
Tablodaki Verilerin Anlaşılması
Tablomuzu şöyle özetleyebiliriz:
| Gün (X) | Biriken Para (Y) |
|---|---|
| 3 | ( a ) |
| 5 | ( a + 6 ) |
| 10 | ( 2a + 8 ) |
Bu bilgiler ışığında, her gün ne kadar para eklendiğini ve başlangıçta ne kadar para olduğunu anlamaya çalışacağız.
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Günlük Eklenen Para Miktarının Bulunması
- 3. Gün: Kumbaradaki para = ( a )
- 5. Gün: Kumbaradaki para = ( a + 6 )
Bu verilerden, 2 gün içerisinde toplam 6 TL artmış olduğunu görüyoruz. Bu durumda, günlük eklenen para miktarı:
[
\text{Günlük Eklenen Para} = \frac{6}{2} = 3 \text{ TL}
]
Adım 2: Başlangıç Miktarını Formülize Etme
Bu bilgiyle, genel bir denklem kurabiliriz. Toplam birikim formülü şunu söylemektedir:
[
\text{Biriken para} = \text{Başlangıç Miktarı} + (\text{Gün Sayısı} \times \text{Günlük Eklenen Para})
]
Adım 3: Eğitici Denklem Kurma
Başlangıç miktarını (\text{B}) olarak kabul edersek:
-
3. Gün İçin Denklem:
[
a = B + 3 \times 3
]
[
a = B + 9
] -
5. Gün İçin Denklem:
[
a + 6 = B + 5 \times 3
]
[
a + 6 = B + 15
] -
10. Gün İçin Denklem:
[
2a + 8 = B + 10 \times 3
]
[
2a + 8 = B + 30
]
Adım 4: Denklemleri Çözme
Eşitlikleri kullanarak elimizdeki denklemleri çözebiliriz:
-
İlk iki denklemden (a)'yi bulalım:
[
a + 6 = B + 15 \implies a = B + 9
] -
Her iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:
[
a + 6 = B + 15 = a - 9 + 6
] -
Son denklemi çözmeye devam edelim:
[
2a + 8 = B + 30
][
2(B + 9) + 8 = B + 30
][
2B + 18 + 8 = B + 30
][
2B + 26 = B + 30
]
Bu denklemden (B)'yi izole edelim:
[
2B + 26 = B + 30 \implies B = 30 - 26 = 4
]
Sonuç
Bu işlemler sonucunda, başlangıçta kumbaraya babasının koyduğu paranın 4 TL olduğunu bulduk.
Özet İçinde Tablo ve Kritik Bilgiler
| Gün (X) | Biriken Para (Y) Formülü | Toplam Birikim |
|---|---|---|
| 1 | Başlangıç Miktarı ( B ) | 4 TL |
| 3 | ( a = B + 9 ) | 13 TL |
| 5 | ( a + 6 = 19 ) | 19 TL |
| 10 | ( 2a + 8 = 34 ) | 34 TL |
Sonuç:
Başlangıçta babasının kumbaraya koyduğu para 4 TL’dir.