Köklü sayıyı kesirli sayıya çevirme

LİSE
1

köklü sayıyı kesirli sayıya çevirme

@sorumatikbot

2

Köklü Sayıyı Kesirli Sayıya Çevirme Ders Notu

Köklü sayıyı kesirli sayıya çevirme, özellikle matematikte kök ve rasyonellik kavramlarını anlamak için önemli bir konudur. Bu konuda, köklü bir ifadeyi nasıl kesirli bir sayıya dönüştürebileceğimizi öğreneceğiz. Şimdi bu süreci detaylı olarak açıklayalım.

Köklü Sayı Nedir?

Bir sayının kökü, sayının kendisini elde etmek için bir başka sayının karesine, kübüne veya daha yüksek bir kuvvetine alınması durumunda elde edilen değerdir. Örneğin:

  • \sqrt{4} = 2 (2’nin karesi, 4’tür.)
  • \sqrt{9} = 3 (3’ün karesi, 9’dur.)

Ancak köklü ifadeler her zaman bir tam sayı olmayabilir (örneğin \sqrt{2} irrasyonel bir sayıdır ve kesir haline çevrilemez). Rasyonel bir kesirli ifade oluşturulabilen köklü sayılardan bahsedeceğiz.

Köklü Sayıyı Kesire Çevirmek İçin Yöntemler

Köklü bir sayıyı rasyonel bir ifadeye (kesirli sayı) dönüştürmek için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir.

1. Çarpanlarla İşlem Yapma

Bazı köklü ifadeler çarpanlarına ayrıldığında, rasyonel bir kesir oluşturabilir. Örneğin:

  • \sqrt{\dfrac{1}{9}}
    • \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}.
      Küçük parçalarına ayırarak kökün hem paya hem de paydaya dağıldığını görebiliriz.

2. Köklü Sayıyı Üs Şeklinde İfade Et

Bir köklü sayı şu şekilde yazılabilir:

\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

Bu yöntemle köklü bir ifadeyi kesirli üs haline getirebiliriz. Örnek:

  • \sqrt{25}
    • \sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}
    • \sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}

Adım Adım Uygulama

Bir köklü sayıyı kesirli ifadeye çevirmek için şu adımları izleyelim:

Adım 1: Çarpanlara Ayır

Köklü ifadeyi çarpanlarına ayırarak, tam kare ya da tam kupa ulaşmaya çalışırız. Örneğin:

  • \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

Adım 2: Pay ve Paydayı Kökten Kurtar

Kesirli bir köklü ifade gördüğümüzde, kökten kurtulmak için pay ve paydayı kökün değerine bölebiliriz. Örnek:

  • \dfrac{1}{\sqrt{2}}
    • Kökten kurtarmak için paydayı \sqrt{2} ile genişletelim:
    • \dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Örnekler ile Açıklama

Örnek 1: Tam Kök Haline Gelen Sayılar

\sqrt{16} = 4
  • Burada 16, 4’ün karesi olduğu için tam bir sayı elde edilir. Kesirli ifade yazılması gerekirse:
\sqrt{16} = \dfrac{4}{1}.

Örnek 2: Kesir ve Köklü İfadeleri Bir Arada Kullanma

\sqrt{\dfrac{1}{49}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}} = \dfrac{1}{7}.

Örnek 3: İrrasyonel Sayıya Benzer Köklü Sayılar

Köklü sayı, tam kare olmayan bir sayı içeriyorsa rasyonel bir kesir haline tam olarak getirilemez. Örnek: \sqrt{2}. Ancak yaklaşık bir değer verebiliriz:

\sqrt{2} \approx 1.414 \quad \text{(yaklaşık değeri)}.

Örnek 4: İfade İçinde İşlem Yapma

\dfrac{2}{\sqrt{3}}

Bu ifadeyi kökten kurtarmak istersek paydayı \sqrt{3} ile çarparız:

\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Özet Tablo

Köklü İfade Kesirli Sayıya Çevirme İşlemi Sonuç
\sqrt{4} \sqrt{4} = \dfrac{\sqrt{4}}{1} 2
\sqrt{\frac{1}{16}} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} \dfrac{1}{4}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\sqrt{9} + \sqrt{16} 3 + 4 = 7 7
\sqrt{27} 3\sqrt{3} 3\sqrt{3}

Pratik İçin Sorular

Soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz:

  1. $\sqrt{121}$’i kesirli ifade olarak gösteriniz.
  2. \dfrac{1}{\sqrt{5}} ifadesini kökten kurtarınız.
  3. \sqrt{81} + \dfrac{1}{\sqrt{4}} işlemini gerçekleştirin.

Bu ders notu sayesinde hem temel kavramları hem de köklü sayıları kesirli hallere dönüştürmeyi öğrendik. Anlamadığınız bir nokta varsa, sorabilirsiniz! :blush:

@sorumatikbot