Kendisi asal olan sayı kendinden küçük tüm sayılar ile aralarında asal mıdır?
Soru: Kendisi asal olan bir sayı, kendinden küçük tüm sayılar ile aralarında asal mıdır?
Cevap:
Evet, kendisi asal olan bir sayı, kendisinden küçük tüm pozitif sayılar ile aralarında asaldır. Bunu daha iyi anlamak için temel kavramları analiz edelim:
H2: Asal Sayı Nedir?
Bir sayı asal sayı olarak adlandırılırsa, yalnızca aşağıdaki iki durumu sağlar:
- Tam bölenleri sadece 1 ve kendisidir.
- Pozitif ve 1’den büyük bir doğal sayıdır.
Örnek olarak:
- 2, 3, 5, 7, 11, 13 gibi sayılar asaldır.
H3: Aralarında Asal Ne Demektir?
İki sayı, aralarında asal (coprime) ise, bu iki sayının ortak böleni yalnızca 1’dir. Bu, şu anlama gelir:
- İki sayıyı bölebilen en büyük pozitif sayı 1’dir.
- Örneğin, 8 ile 15 aralarında asal sayılardır çünkü ortak bölenleri sadece 1’dir.
H3: Asal Sayı ve Kendinden Küçük Sayılar Arasındaki İlişki
Bir asal sayıyı ele alalım: p.
p, asal olduğu için yalnızca 1 ve p tarafından bölünebilir.- Eğer
p’den küçük bir sayı alırsak (örneğin 1, 2, ..., p-1), hiçbirisip’yi bölemez, çünküpasal olduğu için başka bir böleni yoktur.
Sonuç olarak, p ile kendinden küçük herhangi bir sayı arasındaki en büyük ortak bölen (obeb) mutlaka 1 olur. Bu, p ile kendisinden küçük tüm sayıların aralarında asal olduğu anlamına gelir.
Örnekler
-
Asal Sayı: 5
- Kendinden küçük sayılar: 1, 2, 3, 4
- 5 ile bu sayıların her birinin ortak böleni: 1
- Sonuç: 5, kendinden küçük tüm sayılar ile aralarında asaldır.
-
Asal Sayı: 7
- Kendinden küçük sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- 7 ile bu sayıların her birinin ortak böleni: 1
- Sonuç: 7, kendinden küçük tüm sayılar ile aralarında asaldır.
Genel Sonuç
Her asal sayı, kendisinden küçük tüm pozitif sayılar ile aralarında asaldır. Bunun nedeni, asal bir sayının yalnızca kendisi ve 1 tarafından bölünebiliyor olmasıdır. Bu durum, asal sayıların temel bir özelliğidir.
Eğer başka bir sorunuz varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@username
1 Beğeni
Kendisi asal olan sayı kendinden küçük tüm sayılar ile aralarında asal mıdır?
Cevap:
Evet, kendisi asal olan bir sayı, 1’den büyük ve kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır (yani ortak bir bölenleri bulunmaz). Bunun nedeni, asal sayının 1 ve kendisinden başka hiçbir böleni olmamasıdır. Dolayısıyla ondan daha küçük veya p’den farklı herhangi bir sayıyla ortak bir böleni olmaması, bu ikililerin daima aralarında asal olmasını sağlar.
Aşağıda bu durumu açıklayan bazı temel noktalar yer alır:
1. Asal Sayı Tanımı
Bir tam sayı, 1 ve kendisi dışında hiçbir tam böleni bulunmuyorsa o sayı asal sayı olarak adlandırılır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asaldır.
2. Aralarında Asal (Coprime) Kavramı
İki tam sayının en büyük ortak böleni (EBOB) = 1 ise bu iki sayı aralarında asaldır. Örneğin, 6 ve 35 aralarında asaldır, çünkü 6 = 2 × 3 ve 35 = 5 × 7 faktörlerine sahip olup ortak çarpanları yoktur.
3. Asal Bir Sayının Kendinden Küçük Sayılarla Arasındaki İlişki
• Asal sayı p’nin bölenleri yalnızca 1 ve p’dir.
• p’den küçük herhangi bir sayının bölenleri, p olamayacağı için (çünkü p daha büyük), p’nin bu sayıyla paylaştığı herhangi bir bölen yoktur.
• Bu nedenle gcd(p, n) = 1 (en büyük ortak bölen 1) olduğu için, p ve n aralarında asal olur.
Örnek olarak, 5 asal sayısını ele alalım:
- 5 ve 1 → EBOB(5,1) = 1
- 5 ve 2 → EBOB(5,2) = 1
- 5 ve 3 → EBOB(5,3) = 1
- 5 ve 4 → EBOB(5,4) = 1
Görüldüğü gibi 5, kendinden küçük tüm sayılarla aralarında asaldır.
4. Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 1 sayısı asal değildir, ancak bir asal sayı ile 1’in de ortak bir böleni olmadığından aralarında asaldırlar.
- Asal sayının 0, negatif sayılar veya kendisinden büyük sayılar ile aralarında asal olup olmadığı farklı bir incelemedir. Burada yalnızca kendinden küçük pozitif sayılar kastedildiğinde cevap evet olur.
Kaynakça (Örnek)
• OpenStax. (2021). College Algebra (Son gözden geçirme).
• Kahn Academy Asal Sayılar ve Faktörler Konu Anlatımı.
@User
Kendisi asal olan sayı kendinden küçük tüm sayılar ile aralarında asal mıdır?
Cevap:
Evet, matematiksel olarak bir sayının asal (prime) olması; 1 ve kendisi dışında pozitif bir böleni olmaması anlamına gelir. Bu tanım gereği, asal bir sayı, kendinden küçük herhangi bir sayı ile aralarında asal (ortak böleni 1’den başka olmayan) durumda olur. Daha net ifade etmek gerekirse, eğer p bir asal sayı ve p > n > 0 ise, \gcd(p,\, n) = 1 olur. Aşağıda bu konunun detaylarına, örneklerine ve aralarında asal kavramının kökenine dair kapsamlı bir inceleme bulabilirsiniz.
Asal Sayıların Tanımı ve Özellikleri
Asal Sayı (Prime Number) Nedir?
Bir asal sayı, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayıdır. Yani p bir asal ise;
- $p$’nin bölenleri yalnız 1 ve $p$’dir.
- Asal sayıların en küçük örnekleri 2, 3, 5, 7, 11, 13, … şeklinde devam eder.
- 2, çift olmasına rağmen, aynı zamanda tek asal çift sayıdır. Diğer asal sayıların hepsi tektir.
Aralarında Asal (Coprime) Kavramı
İki tam sayı aralarında asal (veya karşılıklı asal, İngilizce’de coprime) ise:
- Bu iki sayının ortak böleni 1 (yani en büyük ortak bölen, \gcd = 1) dışında yoktur.
- Örneğin 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır: \gcd(8,15) = 1.
- Öte yandan 8 ve 12 sayılarının gcd değeri 4’tür: \gcd(8,12) = 4 bu nedenle aralarında asal değillerdir.
Neden Asal Sayılar Daha Küçük Sayılarla Aralarında Asaldır?
Asal sayının tek böleni olduğu için p (yani kendisi) ve 1;
- $p$’den küçük herhangi bir tam sayının $p$’yi bölme şansı yoktur (çünkü p asal ve kendinden küçük bir sayıyla \gcd değeri 1’den büyük olamaz).
- 1 ise tüm tam sayılarla aralarında asal bir sayıdır.
Dolayısıyla, asal bir sayı p ve $p$’den küçük herhangi bir pozitif tam sayı k için \gcd(p,k) = 1 geçerlidir (1 burada özel ve evrensel bir bölen olarak ortaya çıkar ama birden başka bir ortak bölen bulunmaz).
Örneklerle İnceleme
Örnek 1: 7 Asal Sayısı
- 7 bir asaldır (çünkü bölenleri sadece 1 ve 7’dir).
- 7 sayısına kendinden küçük (1, 2, 3, 4, 5, 6) sayılar ile bakıldığında:
- \gcd(7,1) = 1
- \gcd(7,2) = 1
- \gcd(7,3) = 1
- \gcd(7,4) = 1
- \gcd(7,5) = 1
- \gcd(7,6) = 1
- Bu örnekte direkt görülür ki 7, kendinden küçük sayılarla aralarında asaldır.
Örnek 2: 5 Asal Sayısı
- 5 asaldır.
- 5 sayısının kendinden küçük sayıları (1, 2, 3, 4) ile \gcd değerine bakılırsa:
- \gcd(5,1) = 1
- \gcd(5,2) = 1
- \gcd(5,3) = 1
- \gcd(5,4) = 1
- Yine görüldüğü üzere 5 de kendinden küçük tüm sayılarla aralarında asaldır.
Örnek 3: 2 Asal Sayısı
- 2 en küçük asal ve aynı zamanda tek çift asal sayıdır.
- 2 sayısının kendinden küçük sayısı sadece 1 olduğu için:
- \gcd(2,1) = 1
- Elbette 2 sadece 1’e ve kendisine bölünebildiğinden, bu durumda da aralarında asallık sağlanır.
Teorik Arka Plan
Temel Tanım
Bir asal sayı p ise, p kendinden küçük herhangi bir pozitif tam sayıya bölünemez. Dolayısıyla p ile n arasında, (burada 1 \leq n < p) ortak bölen 1 dışında başka bir değer bulunmaz.
Öklid’in Kuramı (Euclid’s Theorem) ve Aralarında Asallık
Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu kanıtlamıştır. Ayrıca aralarında asallık ile ilgili çeşitli özdeşlik ve kurallar da yine Öklid zamanından beri bilinir. Özellikle asal sayıların kendisinden küçük sayılarla 1 dışında ortak bölenleri olamayacağı, bu kuramların temel dayanaklarından biridir.
Asal Çarpanlar ve Paylaşım
Asal sayı p, kendisinden küçük bir k ile ortak bir asal çarpana ancak p eşitse sahip olabilir. Fakat söz konusu k, $p$’den küçük olduğuna göre p ile aynı değerde olabilmesi mümkün değildir. Dolayısıyla p ve k paylaşacak ortak bir asal çarpana sahip olmadığından, gcd değeri 1 çıkar.
Konunun Özeti ve Tablo
Aşağıdaki tabloda, bir asal sayının kendinden küçük sayılarla hangi değerlerde \gcd (en büyük ortak bölen) elde ettiğini gösteren örnekleri bulabilirsiniz:
| Asal Sayı (p) | Kendinden Küçük Örnek Sayılar | \gcd(p,\,n) Değerleri | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | \gcd(2,1) = 1 | Aralarında asal |
| 3 | 1, 2 | \gcd(3,1)=1, \gcd(3,2)=1 | Aralarında asal |
| 5 | 1, 2, 3, 4 | 1, 1, 1, 1 | Aralarında asal |
| 7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 1, 1, 1, 1, 1, 1 | Aralarında asal |
| 11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 | Aralarında asal |
| 13 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | Hepsi 1 | Aralarında asal |
Tablodan da anlaşılacağı üzere, her asal sayı, kendinden küçük her pozitif tam sayı ile en büyük ortak böleni 1 olan bir ilişkiye sahiptir. Bu nedenle aralarında asallık sağlanmış olur.
Sonuç ve Kısa Özet
- Bir asal sayı p, tanımı gereği 1 ve p dışında başka bir bölen içermez.
- Bu durumda p ile onun altında kalan bütün pozitif tam sayıların ortak böleni ancak 1 olabilir.
- Dolayısıyla asal bir sayı, kendinden küçük her sayı ile aralarında asaldır.
- Bu kuralın en temel örnekleri 2, 3, 5, 7, 11 gibi küçük asallar üzerinden kolayca görülebilir.
- Daha genel bir ifade ile: eğer p asal ve 1 \leq n < p ise \gcd(p, n) = 1 şeklinde sonuçlanır.
Bu temel gerçeğin dayanağı, asal sayının yalnızca 1 ve kendisi tarafından bölünebilmesidir. Asal olmanın matematikteki en kritik özelliklerinden biri de zaten budur.
@username