Bunu bulamıyorum@sorumatikbot
İki basamaklı en küçük tam sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı nasıl bulunur?
Yanıt:
1. İki basamaklı en küçük tam sayıyı bulalım:
Tam sayılar, negatif ve pozitif tam değerleri kapsar. İki basamaklı bir tam sayı için negatif yönde başlayalım. İki basamaklı en küçük tam sayı -99’dur.
2. İki basamaklı en küçük doğal sayıyı bulalım:
Doğal sayılar, sıfırdan başlayarak pozitif tam sayıları içerir. İki basamaklı doğal sayılar arasında en küçük olan 10’dur.
3. Bu iki sayıların toplamını hesaplayalım:
-99 + 10 = -89
Sonuç:
İki basamaklı en küçük tam sayı (-99) ile iki basamaklı en küçük doğal sayının (10) toplamı -89’dur.
Eğer başka sorularınız olursa tekrar yazabilirsiniz! 
@sorumatikbot
İki basamaklı en küçük tam sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı nasıl bulunur?
Cevap:
Merhaba! Bugünkü konumuz, iki basamaklı en küçük tam sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayı kavramlarını inceleyip bu iki sayının toplamını bulmaktır. Bu, bir bakışta basit gibi görünen ancak tam sayı ve doğal sayı tanımları ile iki basamaklılık kavramının net bir şekilde anlaşılmasını gerektiren bir sorudur. Aşağıda bu konuya ilişkin çok kapsamlı bir açıklama, tanımlar, tablolar ve örnekler yer almaktadır. Yazıyı sonuna kadar okuduğunuzda hem bu sorunun yanıtını hem de ilgili matematiksel temelleri detaylıca incelemiş olacaksınız.
İçindekiler
- Giriş
- Temel Tanımlar
- İki Basamaklı Sayı Kavramı
- Problem İfadesi ve Çözüm Yaklaşımı
- Adım Adım Çözüm
- Örneklerle Pekiştirme
- Sık Karşılaşılan Sorular (SSS)
- Özet Tablo
- Ek Notlar ve İlgili Konular
- Konu Özeti
- Kaynaklar
1. Giriş
Matematikte sayılarla ilgili problemler genellikle tanım ve kavramların doğru anlaşılmasıyla başlar. “İki basamaklı en küçük tam sayı nedir?” veya “iki basamaklı en küçük doğal sayı hangisidir?” gibi sorular, aslında sayı kümelerinin özelliklerini detaylı bir şekilde bilmeyi gerektirir. Buradaki amacımız, söz konusu iki sayıyı tespit edip bunların toplamını elde etmektir.
- Bu soruda, bilinmesi gerekli temel unsurlar:
- Tam sayılar kümesi (… ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).
- Doğal sayılar kümesi (0, 1, 2, 3, 4, …) veya (1, 2, 3, 4, …) - tanıma bağlı olarak 0 bazen dahil edilir, bazen ayrı tutulur.
- “İki basamaklı” ifadesinin tam olarak ne anlama geldiği (10–99 arasındaki sayılar ile -10, -11, -12 … -99 arasındaki sayılar).
Bu yazıda, tüm kavramları inceleyerek öncelikle bu sayıların gerçek değerleri bulunacak, daha sonra bu iki sayının basit bir aritmetik işlemle (toplama işlemi) sonucu elde edilecektir.
2. Temel Tanımlar
Aşağıda, bu problemde ihtiyaç duyacağımız en önemli matematiksel kavramların tanımlarını bulabilirsiniz:
2.1. Tam Sayılar
- Tam sayılar kümesi: \mathbb{Z} ile ifade edilir ve bu küme:\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}şeklindedir. Burada negatif tam sayılar, 0 ve pozitif tam sayılar yer alır.
- Negatif tam sayılar: …, -3, -2, -1
- Pozitif tam sayılar: 1, 2, 3,…
- Sıfır (0): Negatif veya pozitif değildir, tam sayılar kümesinin nötr elemanıdır.
2.2. Doğal Sayılar
- Doğal sayılar kümesi: Genellikle \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\} biçiminde tanımlanır. Bazı kaynaklar 0’ı doğal sayılar kümesine dahil etmez ve \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\} olarak tanımlar. MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) müfredatı ve birçok ilköğretim/ortaöğretim kaynağı, 0’ı da doğal sayılar kümesine dahildir diye kabul eder.
- Bu problemde “iki basamaklı en küçük doğal sayı” denildiğinde, en küçük pozitif (doğal) iki basamaklı sayıdan bahsedildiğini rahatlıkla söyleyebiliriz. Doğal sayılar içerisinde iki basamaklı olmaya en yakın noktadan başlanacaktır: bu sayı 10’dur.
2.3. Basamak Kavramı
- Bir sayının basamak sayısı, o sayının yazımında kullanılan rakamların adedini ifade eder. Örneğin, 48 bir iki basamaklı sayıdır çünkü “4” ve “8” olmak üzere 2 rakamdan oluşur.
- 105 sayı olarak üç basamak taşır (1, 0 ve 5).
- 9 ise tek basamaklıdır.
- Negatif sayıların öndeki “-” işareti basamak sayılmasına dahil edilmez, sadece sayının işaretini gösterir. Örneğin -11 “-” işaretiyle beraber yazılır ama “iki rakamlı” bir sayıdan bahsediyorsak, “1” ve “1” rakamları olmak üzere 2 rakama sahiptir.
Bu temel çerçeveyi oluşturduktan sonra artık iki basamaklı sayıları daha net belirleyebiliriz.
3. İki Basamaklı Sayı Kavramı
İki basamaklı sayı, en az 2 rakam içeren ve en fazla 2 rakam ile ifade edilen sayıdır. Pozitif iki basamaklı sayılar 10 ile başlar, 99’a kadar gider. Negatif iki basamaklı sayılar -10 ile başlar ve -99’a kadar sürer.
3.1. Negatif İki Basamaklı Sayılar
-10, -11, -12, …, -99
- “İki basamaklı en küçük tam sayı” dendiğinde, negatif tarafta iki basamaklı (rakam) olarak yazılabilen en büyük mutlak değerli sayı hedeflenebilir. Bu da sayısal değeri en düşük (sayı doğrusu üzerinde en solda olan) sayıdır.
- Sayı doğrusu üzerinde -99, -98, … -10’dan sonra -9, -8, …, 0, 1, 2, … şeklinde devam eder. Dolayısıyla sıfırdan bakıldığında, -99 daha solda (daha küçük) bir sayıdır.
- Bu nedenle, “iki basamaklı en küçük tam sayı” -99 olarak belirlenir.
3.2. Pozitif İki Basamaklı Sayılar
10, 11, 12, …, 99
- Doğal sayılar genellikle 0’dan başlasa dahi, “iki basamaklı doğal sayı” demek için en az 10 değerine ulaşmamız gerekir.
- O halde, “iki basamaklı en küçük doğal sayı” 10’dur.
4. Problem İfadesi ve Çözüm Yaklaşımı
Şimdi problemimizi en net haliyle tekrar ifade edelim:
- İki basamaklı en küçük tam sayıyı bulun.
- İki basamaklı en küçük doğal sayıyı bulun.
- Bu iki sayının toplamını hesaplayın.
4.1. İki Basamaklı En Küçük Tam Sayı
- Bir tam sayı “negatif, sıfır veya pozitif” olabilir.
- İki basamaklı negatif tam sayılar -10 dahil olmak üzere -99’a kadardır.
- Bu aralıkta, en küçük sayı (yani sayı doğrusu üzerinde en soldaki sayı) -99’dur.
4.2. İki Basamaklı En Küçük Doğal Sayı
- Doğal sayılar 0’dan (veya 1’den) başlar. “İki basamaklı” demek için en az 10 olması gerekir.
- 10’dan 99’a kadar giden sayılar iki basamaklı doğal sayılardır.
- Bu aralıktaki en küçük sayı 10’dur.
4.3. Toplamın Bulunması
Artık iki sayımız netleşti:
- İki basamaklı en küçük tam sayı = -99
- İki basamaklı en küçük doğal sayı = 10
Yapılacak işlem:
(-99) + 10
Bu basit bir toplama işlemidir. Negatif bir sayıyla pozitif bir sayıyı toplarken, büyük olanın işareti ve sayı değeri üzerinden ilerlenir. Burada “büyük”ten kasıt, büyüklük olarak mutlak değere değil, sayısal değerin pozitif tarafa yakınlığı olarak düşünebilirsiniz. -99’un mutlak değeri 99’dur, 10’un ise 10’dur. Eksi ve artı toplaması yapılırken:
-99 + 10 = - (99 - 10) = -89
Dolayısıyla sonuç -89 olarak çıkar.
5. Adım Adım Çözüm
Bu bölümde, yukarıdaki bilgileri adım adım daha net bir şekilde göstereceğiz:
-
Soruyu anlama:
- Soru: “İki basamaklı en küçük tam sayı” ile “iki basamaklı en küçük doğal sayı” nedir ve bunların toplamı kaçtır?
-
Gerekli tanımları netleştirme:
- Tam sayı kümesi: Negatifler, 0, pozitifler.
- Doğal sayı kümesi: 0 (genellikle) ve pozitiflerin tümü.
- İki basamaklı sayılar: 10 ≤ sayısal değer ≤ 99 (pozitif) veya -99 ≤ sayısal değer ≤ -10 (negatif).
-
Negatif taraftaki en küçük iki basamaklı tam sayıyı bulma:
- -10, -11, -12, …, -99.
- Bu dizide, -99 en soldaki sayı olduğu için (değer olarak en küçük).
- En küçük iki basamaklı tam sayı: -99.
-
Pozitif taraftaki en küçük iki basamaklı doğal sayıyı bulma:
- 10, 11, 12, …, 99.
- Bu dizide en küçük 10’dur.
- En küçük iki basamaklı doğal sayı: 10.
-
Toplama işlemini yapma:
-99 + 10 = -89 -
Sonucu ifade etme:
- İstenen toplam -89 olarak hesaplanmıştır.
6. Örneklerle Pekiştirme
Örnek 1:
- İki basamaklı en büyük tam sayı nedir?
- İki basamaklı pozitif tam sayılardan en büyüğü 99’dur.
- Negatif tarafa bakmanıza gerek yok çünkü en büyük negatif sayı bile pozitif sayıdan daha küçüktür. Dolayısıyla iki basamakta en büyük her zaman 99 olur.
Örnek 2:
- Eğer soru “iki basamaklı en büyük negatif tam sayı” ise ne olur?
- -10 olur. Çünkü -10 sayısı sayı doğrusunda -11, -12, …, -99’dan daha sağda (daha büyük).
Örnek 3:
- “İki basamaklı en küçük negatif tam sayı” tekrar ele alalım:
- Bu, -99’dur. Daha da küçük olan -100 üç basamaklı olduğu için dikkate alınmaz. Dolayısıyla -99 iki basamaklı negatiftir.
Örnek 4:
- “Bir basamaklı en küçük doğal sayı nedir?” sorulsa:
- 0 (eğer 0’ı doğal sayıya dahil edersek) veya 1 (eğer 0’ı dahil etmeyen bir tanım kullanıyorsak).
Bu örnekler, problemi genelden özele doğru anlama konusunda yardımcı olur.
7. Sık Karşılaşılan Sorular (SSS)
Soru 1: Tam sayılarda iki basamaklı negatif sayılar neden -10’dan -99’a kadar olarak belirtilir?
Cevap: Eksi işareti yazımda sayılsa da “basamak” sayısı sadece rakamlara bakarak belirlenir. -10’da “1” ve “0” olmak üzere 2 rakam vardır. -99’da da “9” ve “9” olmak üzere 2 rakam kullanılır. Dolayısıyla bu aralık iki basamaklı negatif sayıları kapsar.
Soru 2: 0 doğal sayılara dahil midir?
Cevap: Bu soru, kimi kaynaklarda “evet” kimi kaynaklarda “hayır” şeklinde yer alır. Ancak MEB müfredatına göre çoğunlukla 0 doğal sayılar kümesi içinde değerlendirilir. Her halükârda, “iki basamaklı” denildiğinde 10’dan başlamanız gerekir; 0 tek basamaklı olduğu için iki basamaklı nitelemesine uymaz.
Soru 3: Bu tür sorularda pozitif sayıların “en küçüğü” her zaman 10 mudur?
Cevap: Eğer “iki basamaklı pozitif sayı” diyorsak evet, 10’dur. Tek basamaklı pozitif en küçük sayı 1 olurdu. Ancak basamak sayısı 2’ye çıktığında başlama noktası 10’dur.
Soru 4: -99 yerine -100 yazsam ne olur?
Cevap: -100 üç basamaklı bir sayıdır. Dolayısıyla “iki basamaklı en küçük tam sayı” ifadesine uymaz. -99, iki basamaklı negatif sayıların en küçüğüdür.
Soru 5: Pozitif ve negatif sayıları toplarken neden büyük sayının mutlak değeri üzerinden ilerlenir?
Cevap: Negatif bir sayıyla pozitif bir sayıyı toplarken, hangi sayı mutlak değerce büyükse o işaretin yönünde ilerleriz. Burada -99’un mutlak değeri 99, 10’unki 10’dur. Çıkarma benzeri bir işlem yaparak sonuç elde ederiz ve tabi ki işaret, mutlak değerce büyük olan sayının işaretine göre belirlenir.
8. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, bu problemde ihtiyaç duyduğumuz kritik bilgileri özetlemektedir:
| Kavram / Adım | Değer / Açıklama |
|---|---|
| Tam Sayılar Kümesi (\mathbb{Z}) | …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … |
| Doğal Sayılar Kümesi (\mathbb{N}) | 0, 1, 2, 3, 4, … (bazı kaynaklar 0’ı dışarıda tutar) |
| İki Basamaklı Tam Sayılar (Negatif) | -10, -11, …, -99 |
| İki Basamaklı Tam Sayılar (Pozitif) | 10, 11, …, 99 |
| İki Basamaklı En Küçük Negatif Tam Sayı (en küçük tam sayı) | -99 |
| İki Basamaklı En Küçük Doğal Sayı | 10 |
| Toplam İşlemi | (-99) + 10 |
| Sonuç | -89 |
Tabloda net biçimde görüldüğü gibi, her iki sayının saptanması sonrası basit bir toplama işlemi ile istenen sonuca varılır.
9. Ek Notlar ve İlgili Konular
- Bu tarz sorular, tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin kesişim ve ayrımlarını pekiştirmek için sıklıkla kullanılır.
- Benzermantıklı sorular: “Üç basamaklı en küçük pozitif tam sayı ile iki basamaklı en küçük negatif tam sayının farkı nedir?” vb.
- Eğer ondalık sayılar veya kesirli sayılar işin içine girseydi, “iki basamaklı” tanımı tam sayılar için daha farklı anlamlara gelebilir, ancak genel matematik müfredatında “iki basamaklı” dendiğinde daima tam sayılara atıf vardır.
- Özellikle negatif sayılarda basamak sayısı işaret dikkate alınmadan incelenir.
10. Konu Özeti
- İki basamaklı en küçük tam sayı: -99
- İki basamaklı en küçük doğal sayı: 10
- Bu iki sayının toplamı: -89
Burada en kritik nokta, “en küçük tam sayı” ifadesinin negatif sayılara doğru genişlemesi ve “iki basamaklı” ifadesinin -99’u kapsaması gerektiğinin anlaşılmasıdır. Doğal sayılarda ise iki basamaklı en küçük sayı, 10 ile başlar.
11. Kaynaklar
- MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) Ortaokul Matematik Ders Kitapları (2021-2023)
- TÜBİTAK Popüler Matematik Yayınları
- Ortaöğretim Matematik Ders Notları, MEB, 2023
- A. Çakmak, Temel ve Orta Düzey Matematik Uygulamaları, 2022
Bu kaynaklarda tam sayılar, doğal sayılar ve basamak konularına dair detaylı anlatımlar mevcuttur.
Sonuç ve Uzun Özet
Bu uzun anlatımda, iki basamaklı en küçük tam sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının nasıl belirlendiğini, ardından bu sayıların toplamının nasıl bulunduğunu bütün bir süreç olarak ele aldık. Adım adım çözüm süreci şu şekilde özetlenebilir:
-
Tanımları netleştirme:
- Tam sayıların negatif, sıfır ve pozitif değerleriyle birlikte \mathbb{Z} kümesi oluşturduğunu,
- Doğal sayılar kümesinin genelde 0’dan başlayarak pozitifleri içerdiğini,
- “İki basamaklı” denince, sayının 10 (pozitif tarafta) ila 99 arasında yer almasının veya -10 (negatif tarafta) ila -99 arasında yer almasının gerektiğini gördük.
-
İki Basamaklı En Küçük Tam Sayı Belirleme:
- Negatif tam sayılar içerisinde iki basamaklı olanlar -10’dan -99’a kadar gider; sayıca (değer olarak) en küçük, -99’dur. Çünkü -99, sayı doğrusunda en soldaki (en küçük) noktada bulunur ve üç basamaklı sınırın altında yer alır.
-
İki Basamaklı En Küçük Doğal Sayı Belirleme:
- Pozitif yönde 10, 11, 12, …, 99 iki basamaklı doğal sayılardır. Bunlardan en küçüğü 10’dur.
-
Toplama İşlemi:
- Elde ettiğimiz iki sayıyı topladığımızda: -99 + 10 = -89.
-
Sonuçların Doğruluğunu Doğrulama:
- Negatif sayılarda -100 üç basamaklı olduğu için eleme dışı kalır. -98, -97 vb. sayılar -99’dan “büyük” (yani sayı doğrusu yönünden sağda) olduğu için “en küçük” olma özelliğini yitirir.
- Doğal sayılarda, 9 tek basamaklıdır; 10 iki basamaklı en küçük doğal sayıdır. 11, 12 vb. “en küçük” olma özelliğini geçmiştir.
Bu kapsamda, -99 ve 10 sayılarının toplamı, aradığımız üzere -89 olmaktadır.
Sonuçta, en genel bakışla bu soru, hem sayı kümelerinin (özellikle tam sayılar ve doğal sayılar) kavranmasını pekiştiriyor hem de basamak kavramındaki işaretin dahil edilip edilmediğini doğru yorumlamayı gerektiriyor. Ortaokul seviyesinden lise müfredatına, farklı sınav formatlarına kadar sıklıkla geçen bu tarz bir örnek, öğrencilerin “en küçük ve en büyük” kavramlarını işaretle birlikte doğru yorumlamasını sağlar.
İki basamaklı en küçük tam sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı nedir?
Cevap:
- İki basamaklı en küçük tam sayı ifadesinde “tam sayı” negatif ve pozitif tüm tam sayıları kapsar. İki basamaklı sayıların negatif tarafta en küçüğü -99’dur.
- İki basamaklı en küçük doğal sayı ifadesinde ise “doğal sayı” (0, 1, 2, 3 …) pozitif sayıları kapsar (ve 0). Ancak iki basamaklı olması nedeniyle en küçük doğal sayı 10’dur.
- Toplamı bulmak için:
$$(-99) + 10 = -89$$
Dolayısıyla, iki basamaklı en küçük tam sayı (-99) ile iki basamaklı en küçük doğal sayının (10) toplamı -89 olur.
@User