Anladığım kadarıyla, paylaştığınız görselde, kombinatoryal ve permütasyon problemleri içeren matematik soruları verilmiş. Bu soruların çözümlerini basit bir şekilde detaylı olarak açıklayabilirim. Hangi sorunun çözümünü istediğinizi belirtirseniz, size adım adım yardımcı olabilirim.
Ancak birkaç örnek çözüm üzerinde durabiliriz. İşte ilk birkaç sorunun çözümleri:
Soru 76: 8 farklı kitap arasından 4’ünü seçip hangi sırada okunacağını belirlemenin kaç yöntemi vardır?
Çözüm:
Bu tür bir problem “sıralı seçim” (permütasyon) problemidir. Önce 4 kitap seçilir ve sonra bu 4 kitap sıralanır.
-
8 kitap arasından 4 kitap seçimi (kombinasyon):
Seçim yapmak için şu formül kullanılır:C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}Burada n = 8 ve r = 4. Hesaplayalım:
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 -
Seçilen 4 kitabın sıralanması (permütasyon):
Sıralama için şu formül kullanılır:P(r) = r!Burada r = 4. Hesaplayalım:
P(4) = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 -
Toplam yöntem sayısı:
Hem seçim hem de sıralama yapılacağından, toplam yöntem:C(8, 4) \cdot P(4) = 70 \cdot 24 = 1680
Cevap: 1680 farklı yöntem vardır.
Soru 77: 6 müzisyenden 2’sini solist ve davulcu olarak seçmenin kaç olası düzeni vardır?
Çözüm:
Bu da bir sıralı seçim (permütasyon) problemidir, çünkü her müzisyenin farklı bir rolü olacak.
-
İlk kişi (solist) seçimi:
6 kişiden biri solist olarak seçilir. Bu 6 farklı şekilde yapılabilir. -
İkinci kişi (davulcu) seçimi:
Geriye kalan 5 kişi arasından biri davulcu seçilir. Bu da 5 farklı şekilde yapılabilir. -
Toplam düzen:
O halde toplam düzen:6 \cdot 5 = 30
Cevap: 30 farklı düzende seçim yapılabilir.
Soru 78: 5 sporcuya numaraları 1’den 5’e kadar sırayla dağıttığınızda kaç farklı kim-numara eşleşmesi oluşabilir?
Çözüm:
Bu bir sıralama sorusudur (doğrudan permütasyon).
5 farklı sporcuya 5 farklı numara atanacak. Bunu şu formülle hesaplayabiliriz:
P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
Cevap: 120 farklı kim-numara eşleşmesi oluşturulabilir.
Eğer diğer soruların da çözümlerine ihtiyaç duyuyorsanız, bana söylemeniz yeterli! 
@username
8 farklı kitap arasından 4’ünü seçip hangi sırada okunacağını belirlemenin kaç yöntemi vardır?
Çözüm:
• Önce seçilecek 4 kitabı belirlemek için 8 kitap içinden 4 kitap seçilir:
C(8, 4) = 70
• Seçilen 4 kitabın okunma sırası da önemlidir, bu nedenle her 4’lük seçimin kendi içinde 4! = 24 farklı sıralaması vardır.
• Toplam yöntem sayısı: 70 × 24 = 1680.
6 müzisyenden 2’sini solist ve davulcu olarak seçmenin kaç olası düzeni vardır?
Çözüm:
• Solist için 6 seçenek, davulcu için geriye kalan 5 seçenek vardır.
• Toplam: 6 × 5 = 30.
5 sporcuya numaraları 1’den 5’e kadar sırayla dağıttığınızda kaç farklı kim-numara eşleşmesi oluşabilir?
Çözüm:
• 5 farklı numarayı 5 sporcuya dağıtmak, 5! = 120 düzenleme verir.
3 kişi (A, B, C) arasında A’nın 1., B’nin 2., C’nin 3. koltukta oturması şartı dışında, oturma planı sayısı nasıl hesaplanır?
Çözüm:
• 3 kişinin 3 koltuğa oturma sayısı 3! = 6’dır.
• A=1, B=2, C=3 şeklindeki tek düzen hariç tutulduğunda toplam: 6 – 1 = 5.
9 farklı tarihi olayı kronolojik sıraya sokmak için kaç farklı yol deneyebiliriz?
Çözüm:
• 9 farklı olayı sıralamak 9! = 362880 yoldur.
Bir satranç turnuvasında 4 oyuncunun ilk turdan itibaren sıralandığı bir tablo oluşturmanın kaç farklı yolu vardır?
(“Eşleşme sırası, yan yana diziliş gibi düşünün.”)
Çözüm (yaygın kabul gören yaklaşımla):
• 4 oyuncuyu sıra halinde dizmek 4! = 24 farklı tablo oluşturur.
10 kişiyi teker teker arayarak telefonla görüşme sırası oluşturmak istersek, kaç farklı sıra yaratılabilir?
Çözüm:
• 10 kişinin sıralanması 10! = 3.628.800.
5 kişilik bir ofis kadrosunda, herkes farklı bir masaya atamanın kaç farklı yerleşimi vardır?
Çözüm:
• 5 farklı masaya 5 kişi 5! = 120 yolla yerleşir.
7 öğrenci, 7 farklı kitap arasından her biri bir kitap alacak şekilde paylaştırılacaksa kaç farklı atama yapılabilir?
Çözüm:
• 7 farklı kitabı 7 öğrenciye ayrı ayrı dağıtmak 7! = 5040.
6 farklı tabloyu 2 duvara asarken, asma sırasını da önemseyerek her duvardaki tablo sırasıyla kaç farklı düzen elde edilir?
Çözüm:
• Her tabloyu hangi duvara asacağınızı (0’dan 6’ya kadar tablo sayısı) ve her duvardaki sıralamayı hesaba katmanız gerekir.
• Kısa yol:
∑(k=0 to 6) [C(6,k) × k! × (6–k)!] = 7 × 6! = 5040.
Answer: Yukarıdaki tüm soruların çözümleri özetle bu şekildedir. Kolay gelsin!
@User
Resimdeki Soru Numuneleri ve Çözümlü Anlatımı
Cevap:
Aşağıda, ekranda görülen matematik sorularından her birini sırayla ele alarak kapsamlı çözümlerini sunuyoruz. Her sorunun çözüm aşamalarını detaylıca, olabildiğince anlaşılır şekilde paylaştık. Sorularda geçen temel kavramların açıklamaları, kullanılan formüllerin mantığı ve işlem adımları yer almaktadır.
Konu genel olarak “Permütasyon (sıralama), kombinasyon (seçme) ve temel olasılık” kavramları etrafında dönmektedir. Bu nedenle öncelikle kısaca bazı temel kavramları hatırlatalım; sonrasında her sorunun nasıl çözüleceğini adım adım gösterip, sonuçları bir tablo halinde de özetleyeceğiz.
Temel Kombinasyon ve Permütasyon Bilgileri
1. Kombinasyon (C(n,k) veya {n \choose k})
- Tanım: Bir kümenin n elemanından k tanesini, seçme sırası önemli olmaksızın seçmeye “kombinasyon” denir.
- Formül:{n \choose k} \;=\;\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
- Örnek: 8 elemandan 4’ünü, sıraya dikkate almadan seçmek = C(8,4)=\frac{8!}{4!\cdot4!}=70.
2. Permütasyon (P(n,k) veya _nP_k)
- Tanım: Bir kümenin n elemanından k tanesini, seçme sırası önemli olacak şekilde seçmeye “permütasyon” denir.
- Formül:_nP_k \;=\; \frac{n!}{(n-k)!}
- Örnek: 6 elemandan 2’sini sıralı şekilde seçmek = _6P_2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30.
3. Faktöriyel (n!)
- Tanım: n!, $1$’den $n$’ye kadar tam sayıların çarpımıdır.
- Örneğin, 5! = 1\times 2\times 3\times 4\times 5 = 120.
4. Tam Sıralama (n Öğeyi Sıralamak)
- Tanım: n farklı elemanın hepsini bir sıraya dizmek, yani permütasyon sayısı _nP_n = n!.
- Örnek: 4 farklı kitabı sıralamak = 4! = 24.
Bu temel bilgileri hatırladıktan sonra, soruları tek tek çözelim.
Soru 76
8 farklı kitap arasından 4’ünü seçip hangi sırada okunacağını belirlemenin kaç yöntemi vardır?
Çözüm Adımları
-
Önce 4 kitabı seçme: 8 kitaptan 4’ünü seçmek demek, “kombinasyon” hesaplaması yapmak demektir. Sıra burada henüz önemli değil. Seçim sayısı:
{8 \choose 4} = \frac{8!}{4!\,(8-4)!} \;=\;\frac{8!}{4!\,4!}Hesaplayalım:
8! = 40320,\\ 4! = 24,\\ \frac{8!}{4!\cdot 4!} = \frac{40320}{24\times 24} = \frac{40320}{576} = 70. -
Seçilen 4 kitabı bir sıraya koyma: Şimdi seçilmiş 4 kitabın hangi sırada okunacağını belirlemek için ise “sıralama (4!)” yapılır:
4! = 24. -
Toplam yöntem sayısı: İki aşamalı bir işlem söz konusu (hem seçme hem sıralama). Toplam yöntem sayısı, seçme sayısı ile sıralama sayısının çarpımıdır:
{8 \choose 4}\times 4! = 70 \times 24 = 1680.
Cevap (Soru 76): 1680
Soru 77
6 müzisyenden 2’sini solist ve davulcu olarak seçmenin kaç olası düzeni vardır?
Çözüm Adımları
-
Görevlerin (rollerin) farklılığı: Soruda, iki farklı pozisyon (solist, davulcu) belirleniyor. Dolayısıyla kim solist, kim davulcu olacak sorusundaki sıralama önemlidir.
-
Permütasyon Hesabı: 6 kişiden 2 kişiyi sıralı bir şekilde seçmek (yani _6P_2) şu şekilde hesaplanır:
_6P_2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30.İsterseniz şu şekilde de düşünebilirsiniz:
- Solist olarak seçebileceğiniz 6 seçenek var.
- Davulcu olarak, geriye kalan 5 seçenek var.
- Dolayısıyla 6 \times 5 = 30.
Cevap (Soru 77): 30
Soru 78
5 sporcuya numaraları 1’den 5’e kadar sırayla dağıttığınızda kaç farklı kim-numara eşleşmesi oluşabilir?
Çözüm Adımları
-
5 sporcu ve 5 numara: Her sporcuya 1, 2, 3, 4, 5 numaralarından tam birini atıyoruz ve hiçbir numaranın tekrarlanmadığını varsayıyoruz.
-
Sıralama (eşleşme) sayısı: 5 farklı elemanın 5 farklı numarayla eşleştirilmesi, 5 elemanın 5’e permütasyonudur (ancak burada tam eşleşmeden dolayı aslında 5! sıralamasıdır).
Yani, her sporcuya farklı bir numara vereceğiz:
5! = 120.
Cevap (Soru 78): 120
Soru 79
3 kişi (A, B, C) arasında A’nın 1., B’nin 2., C’nin 3. koltukta oturması şartı dışında, oturma planı sayısı nasıl hesaplanır?
Çözüm Adımları
-
Toplam olası oturma planı: 3 kişi, 3 koltuk. Hepsini özgürce otursalar, 3! = 6 farklı diziliş vardır.
-
İstenmeyen durum: A’nın 1., B’nin 2., C’nin 3. koltukta olduğu tek bir düzen mevcuttur. Bu düzen “istenmeyen” veya “hariç tutulan” durumdur.
-
Toplam - istenmeyen: Geriye kalan düzen sayısı 6 - 1 = 5 olur.
Cevap (Soru 79): 5
Soru 80
9 farklı tarihi olayı kronolojik sıraya sokmak için kaç farklı yol deneyebiliriz?
Çözüm Adımları
-
9 farklı olay: Her birini bir “konum”a yerleştirerek tümünün sıralamasını yapacağız.
-
Tüm sıralamaların sayısı: 9 farklı öğeyi sıralamak = 9!.
-
Hesaplayalım:
9! = 362,880.
Cevap (Soru 80): 362880
Soru 81
Bir satranç turnuvasında 4 oyuncunun ilk turdan itibaren sıralandığı bir tablo oluşturmanın kaç farklı yolu vardır (eşleşme sırası, yan yana diziliş gibi düşünün)?
Bu soru belirli bir “turnuva tablosu” kurgusunu sorguluyor; soru metni kısmen muğlâk gelebilse de (4 kişilik bir eleme tablosu mu, yoksa sadece linear bir sıralama mı?), genellikle benzer içerikteki sorularda “4 kişiyi dizme” esas alınır. Soru, “eşleşme sırası, yan yana diziliş gibi düşünün” ifadesiyle, 4 distinct (farklı) yarışmacıyı dizmenin aranmakta olduğunu ima etmektedir.
Çözüm Adımları
-
4 oyuncunun tüm permütasyonları: 4 farklı kişiyi belirli bir sıraya koymanın sayısı $4! = 24$’tür.
-
Turnuva tablosu açılımı (kısa not): Daha karmaşık bir turnuva ağaç diğeri (bracket) sorusu olsaydı farklı hesaplamalar gerekebilirdi. Ancak burada “eşleşme sırası, yanı yana diziliş gibi düşünün” denildiğine göre, düz bir sıralama seklinde 24 en mantıklı cevaptır.
Cevap (Soru 81): 24
Soru 82
10 kişiyi teker teker arayarak telefonla görüşme sırası oluşturmak istersek, kaç farklı sıra yaratılabilir?
Çözüm Adımları
-
10 kişinin sıralanması: Burada tamamen 10 farklı kişinin hangi sırayla aranacağı soruluyor.
-
Permütasyon: 10 kişiyi sıralamanın sayısı 10!.
-
Hesap:
10! = 3,628,800.
Cevap (Soru 82): 3.628.800
Soru 83
5 kişilik bir ofis kadrosunda, herkesi farklı bir masaya atamanın kaç farklı yerleşimi vardır?
Çözüm Adımları
-
5 kişi ve 5 masa: Her masanın bir kişisi olacağı ve kimsenin boş kalmayacağı varsayımıyla, tamamen bir eşleştirme/sıralama söz konusu.
-
Sıralama: Aslında 5 kişinin 5 masaya yerleşimi yine 5! permütasyonudur.
5! = 120.
Cevap (Soru 83): 120
Soru 84
7 öğrenci, 7 farklı kitap arasından her biri bir kitap alacak şekilde paylaştırılacaksa kaç farklı atama yapılabilir?
Çözüm Adımları
-
7 öğrenci, 7 farklı kitap: Her öğrenciye tam bir kitap verilecekse, bu yine bir permütasyon/sıralama meselesidir.
-
Tüm dağıtım sayısı: 7 farklı kitabı 7 kişiye dağıtmanın yolları 7! şeklinde hesaplanır. Her birey bir “konum” (öğrenci) olarak düşünülür.
7! = 5040.
Cevap (Soru 84): 5040
Soru 85
6 farklı tabloyu 2 duvara asarken, sırasını da önemseyerek her duvardaki tablo asma sıralamasını da dikkate alarak kaç farklı asma düzeni mümkündür?
Bu soru, 6 tabloyu nasıl 2 farklı duvara dağıtacağımızı ve aynı zamanda her duvardaki asma sırasının da önemli olduğunu soruyor. Örneğin, 3 tablo birinci duvara (belirli bir sırayla), 3 tablo ikinci duvara (belirli bir sırayla) asılabilir; ya da 5 tablo bir duvara, 1 tablo diğer duvara vb. Her tablo birinde ya da diğerinde olacak ve o duvardaki dizilişler de farklı olasılıklar yaratacaktır.
Çözüm Adımları (Detaylı)
-
Tabloların paylaştırılması: 6 tabloyu (T1, T2, T3, T4, T5, T6) 2 duvara ayırmanın birden fazla yöntemi vardır:
- 0 tablo 1. duvara, 6 tablo 2. duvara,
- 1 tablo 1. duvara, 5 tablo 2. duvara,
- 2 tablo 1. duvara, 4 tablo 2. duvara,
- …
- 6 tablo 1. duvara, 0 tablo 2. duvara.
Toplamda bu dağılım x tablo birinci duvara, (6-x) tablo ikinci duvara olmak üzere x=0,1,2,3,4,5,6 olacak şekilde 7 farklı “paylaşım” çeşidi oluşur.
-
Her bir paylaşımdaki sıralama: Diyelim ki x tablo birinci duvarı kullanıyor olsun. Bu x tablo kendi içinde bir sırada asılacaktır; o sıralamanın sayısı x!. Kalan (6-x) tablo da ikinci duvara asılacak ve onların sıralaması da (6-x)!.
-
Hangi tabloların hangi duvara gittiği: x tabloyu ilk duvara seçme sayısı $C(6,x)$’dir. Bu seçimi yaptıktan sonra, bunların sırası x! şekilde, diğer kalan (6-x) tablo da (6-x)! sıralama oluşturacaktır.
-
Her x değeri için:
C(6,x) \times x! \times (6 - x)! = \frac{6!}{x!\,(6-x)!}\times x! \times (6-x)! = 6!.Yani, sabit olarak 6! = 720 elde edilir.
-
0’dan 6’ya kadar x değerleri toplamda 7 terim oluşturur. Her bir terim 720 olduğundan:
\sum_{x=0}^{6} 6! = 7 \times 6! = 7 \times 720 = 5040.
Böylelikle iki duvarlı, her duvar için asma sırasının önemli olduğu durumda toplam 5040 farklı asma düzeni vardır.
Cevap (Soru 85): 5040
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, her bir sorunun hem çözüm yöntemini hem de sonuç değerini kısaca görebilirsiniz:
| Soru No | Soru İçeriği (Özet) | Çözüm / Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 76 | 8 kitaptan 4’ünü seçip sıralama | {8 \choose 4} \times 4! = 70 \times 24 | 1680 |
| 77 | 6 müzisyenden 2 görev (solist, davulcu) | _6P_2 = \frac{6!}{4!} = 6\times 5 | 30 |
| 78 | 5 sporcuya 1’den 5’e kadar numara dağıtma | 5! | 120 |
| 79 | 3 kişi, A=1. koltuk, B=2. koltuk, C=3. koltuk dışında oturma planı | Tüm permütasyon 3! = 6; istenmeyen tek durum çıkartılınca 6-1 | 5 |
| 80 | 9 olayı kronolojik olarak sıralama | 9! | 362880 |
| 81 | 4 oyuncunun tablo/yan yana diziliş sırası | 4! | 24 |
| 82 | 10 kişiyi telefonla arama sırası | 10! | 3628800 |
| 83 | 5 kişilik ofiste herkesi farklı bir masaya atama | 5! | 120 |
| 84 | 7 öğrenciye 7 farklı kitabı paylaştırma | 7! | 5040 |
| 85 | 6 tabloyu 2 duvara, o duvardaki sıralamayı da dikkate alıp asma düzeni | \sum_{x=0}^{6} {6 \choose x} x! (6-x)! = 7 \times 6! | 5040 |
Uzun Bir Genel Değerlendirme ve Özet
Yukarıdaki soruların çoğunda “permutasyon” ve “kombinasyon” kavramları kritik rol oynar. Bazıları sadece tam sıralama (n!) gerektirirken, bazılarında önce seçme (C(n,k)) ardından sıralama (k!) veya farklı duvarlara (ya da masalara vb.) dağıtma gibi daha ileri kavramlar kullanılır. “Sıra önemli mi, değil mi?” ve “Seçme mi, sıralama mı?” soruları doğru sonuca ulaşmak için daima göz önüne alınmalıdır.
Öne çıkan noktalar arasında:
- Bir Eleman Topluluğundan Alt Küme Seçmek: Sıranın önemsiz olduğu durumlarda kombinasyon hesabı yapılır.
- Seçimden Sonra Sıralama: Önce hangi elemanların seçileceği, ardından bu seçimin nasıl sıralanacağına bakılırsa C(n,k)\times k! formülü devreye girer.
- Tam Sıralama: Tüm elamanları dizeceksek n!.
- Farklı Gruplara Dağıtım + Sıralama: Tablolar veya nesneler iki farklı gruba (duvara) dağıtılıp, her grupta kendi içinde sıralanıyorsa, her bir olası dağıtım (k tablo birinci duvar, geri kalan (n-k) tablo ikinci duvar) incelenir, sayısı toplanır. Genellikle böylesi bir toplam “$(n+1)\times n!” gibi bir sonuç verebilir (2 duvara asma hâlinde), bu formül “\sum_{k=0}^n {n \choose k} k! (n-k)! = (n+1) n!$” ile kanıtlanır.
Soruların tamamı bir arada değerlendirildiğinde, yukarıdaki her bir problem temel bir prensibin farklı yansımalarıdır:
- Seçmek ve Sıralamak»
- Dağıtmak ve Sıralamak»
- Var olan bir sıralamanın bazısını hariç tutmak (ör. A=1, B=2, C=3 yasak)»
- Tam sayıda nesneyi doğrudan sıralamak»
Çözüm aşamalarında en sık kullanılan formüller:
- Kombinasyon:{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
- Permütasyon:_nP_k = \frac{n!}{(n-k)!}
- Faktöriyel:n! = 1 \times 2 \times \dots \times n
Bu tip soruları çözerken, daima “Seçim mi? Sıralama var mı?” vb. soruları sormak, problemi doğru yorumlamanıza yardımcı olur. Sorularda az miktarda sayı kullanıldığında, bazen “manuel” çarpmalarla sonuç kolayca bulunabilir. Büyük sayılarda ise formülleri bilmek ve kısaltmalar yapabilmek, ya da gerekirse hesap makinesi kullanmak gereklidir.
Sonuçların Hatırlatılması
- Soru 76: 1680
- Soru 77: 30
- Soru 78: 120
- Soru 79: 5
- Soru 80: 362880
- Soru 81: 24
- Soru 82: 3628800
- Soru 83: 120
- Soru 84: 5040
- Soru 85: 5040
Tüm cevapların ayrıntılı mantığını yukarıda anlattığımız gibi, permütasyon ve kombinasyon kurallarının tutarlı ve doğru bir biçimde uygulanmasıyla elde ediyoruz.
@username