Sabit frekansta çalışan bir dalga kaynağı, denge konumunda iken çalışmaya başladığında ilk olarak bir dalga çukuru üretiyor. Bir süre sonra kaynak 3.dalga tepesini ürettikten 3 s sonra 5.dalga çukurunu üretiyor. Üretilen dalgaların yayılma hızı 6m/s dir
Buna göre dalgaların dalga boyu kaç cmdir
Soru: Sabit frekansta çalışan bir dalga kaynağından üretilen dalgaların dalga boyu kaç cmdir?
Cevap:
Bu tür sorular dalga hareketinin temel formüllerinden yararlanılarak çözülür. Dalga kaynağı sabit frekansta çalıştığı için dalga hareketi düzenlidir ve sabit bir hızda hareket eder. Dalgaların yayılma hızını, frekansını ve dalga boyunu ilişkilendiren temel formül şudur:
v = f \cdot \lambda
Burada:
- v: Dalganın yayılma hızı (m/s biriminde),
- f: Frekans (Hz biriminde),
- \lambda: Dalga boyu (m biriminde).
Soruda Verilenler:
- Dalganın yayılma hızı (v) = 6 m/s,
- Kaynak 3. dalga tepesini ürettikten 3 saniye sonra 5. dalga çukurunu üretiyor,
- Aradığımız dalga boyu (\lambda) kaç centimetredir?
Adım Adım Çözüm:
H3: 1. Frekansı Hesaplama
Bir dalganın iki tepesi veya iki çukuru arasında geçen süre periyot (T) olarak adlandırılır. Soruda, kaynağın 3. dalga tepesinden 5. dalga çukurunu üretmesi 3 saniye sürmüştür.
İki çukur veya iki tepe arasındaki dalga sayısı = 2 dalga (5. dalga çukuru - 3. dalga tepesi). Bu durumda:
- 1 dalganın üretim süresi = 3 saniye / 2 dalga = 1.5 saniye.
Bir dalga üretim süresi, dalganın periyodu (T) olarak da adlandırılır:
T = 1.5 \, \text{s}
Frekans (f), periyodun tersidir:
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1.5} = 0.666... \, \text{Hz}
Frekans yaklaşık olarak 0.67 \, \text{Hz}.
H3: 2. Dalga Boyunu Hesaplama
Dalga boyu formülü:
\lambda = \frac{v}{f}
Dalganın hızını (v) ve frekansını (f) yerine koyarak:
\lambda = \frac{6}{0.67} = 8.96 \, \text{m}
Dalga boyu metre cinsinden hesaplandı. Ancak soruda cm cinsinden istendiği için:
\lambda = 8.96 \, \text{m} = 896 \, \text{cm}
H3: Sonuç
Dalgaların dalga boyu 896 cm’dir.
Eğer başka bir sorunuz olursa, sormaktan çekinmeyin! 
Buna göre dalgaların dalga boyu kaç cm’dir?
Cevap:
Aşağıdaki adımları tek tek inceleyerek soruyu çözelim. Sabit frekansta çalışan bir dalga kaynağının ürettiği dalgalar hakkında, 3. dalga tepesi ile 5. dalga çukuru arasında geçen süre ve dalganın yayılma hızı verilmiştir. Bu bilgilerden dalganın dalga boyunu adım adım hesaplayacağız.
Dalga Hareketine Genel Bakış
Bir dalga kaynağı, sabit frekansta dalga üretirken, dalganın tepeleri (crest) ve çukurları (trough) birbirini izler. Eğer dalga periyodu T ise:
- Bir dalga tepesinden bir sonraki dalga tepesine kadar geçen süre = T
- Bir dalga çukurundan bir sonraki dalga çukuruna kadar geçen süre = T
- Bir dalga tepesinden bir dalga çukuruna veya tam tersi durum ise = \tfrac{T}{2}
Bize verilen senaryoda, kaynağın 3. dalga tepesi oluşumunu tamamlamasından 3 s (saniye) sonra 5. dalga çukuru oluşumu gerçekleşiyor. Burada, bir tepeden bir sonraki çukura, ardından bir sonraki tepe ve sonraki çukura geçişler göz önüne alındığında zaman farklarının yarım periyot adımlarına karşılık geldiğini tespit edebiliriz.
Verilen Bilgiler ve Anlamları
- Dalga Kaynağı: Sabit frekansta çalışır.
- Başlangıç Durumu: Denge konumundayken dalga üretimine başlar ve ilk olarak bir dalga çukuru üretir.
- 3. Dalga Tepesi → 5. Dalga Çukuru Arası Zaman: 3 saniye
- Dalga Yayılma Hızı (v): 6 m/s
- Aradığımız Büyüklük: Dalganın dalga boyu (λ)
Burada önemli olan, 3. dalga tepesi (C_3) ile 5. dalga çukuru (T_5) arasındaki dalga döngüsünün kaç adet yarım periyot (\tfrac{T}{2}) içerdiğini bulmaktır.
Dalga Tepesi ve Çukurların Dizilimi
Dalgaların isimlendirilmesi (genel bir dizilim olarak) şu şekilde olabilir:
- T_1 (1. çukur), C_1 (1. tepe), T_2, C_2, T_3, C_3, T_4, C_4, T_5, $C_5$…
Bize söylenen zaman aralığı C_3 ile T_5 arasında geçiyor. Bu noktalar arasındaki adımları aşağıdaki gibi inceleyebiliriz:
- C_3 → T_4: Bu geçiş yarım periyot (\tfrac{T}{2})
- T_4 → C_4: Bu geçiş de yarım periyot (\tfrac{T}{2}), toplam 1 periyot
- C_4 → T_5: Bu geçiş de yine yarım periyot (\tfrac{T}{2}), toplam 1.5 periyot
Dolayısıyla C_3 ile T_5 arasında geçen 3 saniye, 1.5 periyota karşılık gelir.
Matematiksel ifade ile:
1.5 \, T = 3 \, \text{saniye}
buradan,
T = \frac{3}{1.5} = 2 \, \text{saniye}
Elde ettiğimiz sonuç: Dalganın periyodu (T) = 2 s.
Dalga Frekansı ve Yayılma Hızı İlişkisi
Bir dalganın frekansı, f = \dfrac{1}{T} formülü ile bulunur. Yukarıda T=2 s olduğu için:
f = \frac{1}{2} = 0.5 \,\text{Hz}
Ayrıca dalga boyu (\lambda ifadesiyle gösterilir) ve dalga hızı (v ifadesiyle gösterilir) arasındaki temel ilişki:
v = \lambda \cdot f
veya periyod formu kullanıldığında:
\lambda = \frac{v}{f} = v \times T
şeklinde verilir.
Dalga Boyunun Hesaplanması
Soruda yayılma hızı v=6 m/s olarak verilmiştir. Dalga periyodu T=2 s olduğuna göre:
\lambda = v \times T = 6 \,\text{m/s} \times 2 \,\text{s} = 12 \, \text{m}
Metre (m) cinsinden elde ettiğimiz dalga boyunu santimetre (cm) cinsine dönüştürmek için:
12 \,\text{m} = 12 \times 100 \,\text{cm} = 1200 \,\text{cm}
Bu sonuç, 1200 cm dalga boyu olduğunu gösterir.
Adım Adım Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda hesaplamayı özetleyelim:
| Adım | Açıklama | Hesaplama |
|---|---|---|
| 1. Periyot Parçalarının Sayısı Belirleme | 3. tepe (C_3) ile 5. çukur (T_5) arasında 3 yarım periyot = 1.5 Tam periyot | 1.5 periyot = 3 s |
| 2. Periyodu (T) Hesaplama | 1.5 T = 3 s ⇒ T=2 s | T = 2 \,\text{s} |
| 3. Frekansı (f) Bulma | f = \dfrac{1}{T} | f = \dfrac{1}{2} = 0.5 \,\text{Hz} |
| 4. Dalga Boyu (λ) Hesaplama (metrede) | v = 6 m/s; \lambda = v\cdot T | \lambda = 6 \times 2 = 12 \,\text{m} |
| 5. Sonucu cm Cinsine Çevirme | 1 m = 100 cm | \lambda = 12 \,\text{m}\times 100=1200 cm |
Önemli Noktalar ve Kavramların Açıklaması
- Dalga Tepesi (Crest): Dalganın maksimum yükselme yaptığı nokta.
- Dalga Çukuru (Trough): Dalganın minimum seviyeye indiği nokta.
- Periyot (T): Dalganın kendini tekrar etmesi için geçen en kısa zaman. Örneğin, tepeden tepeye ya da çukurdan çukura geçen süre.
- Frekans (f): Birim zamanda (1 saniyede) üretilen dalga sayısı. Formülü f = 1 / T.
- Dalga Boyu (λ): İki ardışık dalga tepesi veya iki ardışık dalga çukuru arası uzaklıktır.
- Dalga Hızı (v): Dalgaların yayılma hızı; hız = dalga boyu × frekans (ya da hız = dalga boyu / periyot).
Sonuç ve Kısa Değerlendirme
-
- dalga tepesinden 5. dalga çukuruna geçiş 3 saniyede tamamlanmış ve bu zaman aralığı 1.5 periyoda karşılık gelmektedir.
- Dolayısıyla dalganın periyodu 2 s olarak hesaplanmıştır.
- Yayılma hızı 6 m/s olan dalga için dalga boyu, $\lambda = 6 ,\text{m/s} \times 2 ,\text{s} = 12 ,\text{m}$’dir.
- Santimetreye çevrildiğinde 12 \,\text{m} = 1200 \,\text{cm} bulunur.
Bu nedenle, dalgaların dalga boyu 1200 cm’dir.
Sabit frekansta çalışan dalga kaynağı ifadesi, üretilen dalgaların periyodunun (T) sabit olduğunu gösterir. Soruda verilen kritik bilgiler şöyledir:
- Kaynak, denge konumundan çalışmaya başlayınca ilk olarak 1. dalga çukurunu (T1) üretmektedir.
- 3. dalga tepesi üretilip üzerinden 3 s geçtikten sonra 5. dalga çukuru (T5) üretilmektedir.
- Dalgaların yayılma hızı 6 m/s olarak verilmiştir.
Dalgalar, sırayla çukur–tepe–çukur–tepe… şeklinde üretilir. “n. dalga tepesi” ile “m. dalga çukuru” arasında kaç tam periyot fark olduğu, dalganın üretim sırasına göre bulunabilir:
• 1. çukur = Dalga #1
• 1. tepe = Dalga #2
• 2. çukur = Dalga #3
• 2. tepe = Dalga #4
• 3. çukur = Dalga #5
• 3. tepe = Dalga #6 ← (3. tepe)
• 4. çukur = Dalga #7
• 4. tepe = Dalga 8
• 5. çukur = Dalga #9 ← (5. çukur)
Dolayısıyla “3. dalga tepesi” Dalga #6, “5. dalga çukuru” ise Dalga #9 olarak numaralandırılır. Dalga #6’dan Dalga #9’a geçerken 3 dalga aralığı (yani 3 periyot) geçer. Verilen bilgiye göre bu süre 3 s olarak ifade edilmiştir:
3 dalga aralığı = 3 s
⇒ 3T = 3 s
⇒ T = 1 s
Böylece dalganın frekansı f = \frac{1}{T} = 1\,\text{Hz} bulunur. Dalga hızı v = 6\,\text{m/s} olduğuna göre dalga boyu (λ):
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{6\,\text{m/s}}{1\,\text{Hz}} = 6\,\text{m} = 600\,\text{cm}.
Cevap: Dalga boyu 600 cm’dir.