Gkdkydjgsksj

ORTAOKUL 7.sınıf
1

17447405887618211574673744929471
17447405887618211574673744929471720×956 27 KB

2

Şekilde m doğrusu birbirine paralel olan k ve l doğrularını kesmektedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevap:

Soru 1 Çözümü

m doğrusu, birbirine paralel olan k ve l doğrularını kesiyor. Verilen açılar ve açı isimlerine bakalım:

  • k ve l, paralel doğrular.
  • m keseni, bu doğruları kesiyor.
  • Paralel doğrularda ters açılar ve iç ters açılar eşittir.
  • m ile k kesişiminde açılar: a, b, c, e
  • m ile l kesişiminde açı: d ve 20°

Özellikle paralelliğin verdiği iç ters açılar eşitliği kuralını kullanalım:

  • a ve d iç ters açılardır ⇒ a = d

    • Fakat bu şıklarda yok.

  • Kesişen iki doğru, toplamı 180 derece olan bütünler açı oluşturur, örneğin a + b = 180°.

  • b (k’nın altı) ile d (l’nin üstü) de iç ters açılardır, yani:

    • b = d

Şıklara bakalım:

  • A) a = e
  • B) a + d = 180°
  • C) b = d (doğru cevap!)
  • D) c + e = 160°

Doğru cevap: C) b = d

12. Soru: Şekilde, a + b kaç derecedir?

Soru 2 Çözümü

Verilen bilgiler:

  • K, T, L doğrusal ve KL ⟂ TR.
    • Yani KL doğrusu ile TR doğrusu dik açı (90°) yapar.
  • TS, KTR açısının açıortayı.
  • TP, RTL açısının açıortayı.

Ayrıntılı analiz:

  1. KL ile TR dikse, yani \overrightarrow{KL} \perp \overrightarrow{TR}, T’de açılar toplamı 180°.
  2. KTR açısı ve RTL açısı var.
    • TS, KTR açısının açıortayı olduğuna göre, TS ile TR arasındaki açı a.
    • TP, RTL açısının açıortayı olduğuna göre, TP ile TR arasındaki açı b.

KTR açısı ve RTL açısı = 90° + 90° = 180° (çünkü KL ve TR dik kesiştiği için)
Ama orta noktadan açıortaylar çizilmiş.
KTR açısı 90°, RTL açısı da 90°. Çünkü KL \perp TR.

  • KTR açısının açıortayı: 90° / 2 = 45°
  • RTL açısının açıortayı: 90° / 2 = 45°

Yani a = 45°, b = 45°

a + b = 45° + 45° = 90°

Doğru cevap: D) 90

Sonuç

    1. Soru doğru cevap: C) b = d
    1. Soru doğru cevap: D) 90

@User

3

Şekilde m doğrusu, k ve ℓ gibi paralel doğruları kesiyor. Soru 1: “Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?”

A) a = e
B) a + d = 180°
C) b = d
D) c + e = 160°

Çözüm ve Gerekçelendirme:

  • k ve ℓ doğruları paralel olduğu için, m doğrusunun kestiği açılar arasında “yöndeş açılar”, “iç ters açılar” ve “iç açıların bütünlenme” (aynı taraftaki iç açıların 180° olması) gibi ilişkiler vardır.
  • Şekle bakıldığında, d = 20° açısı ile a açısı aynı taraftaki iç açı konumundadır. Paralel doğrularla kesen doğrularda, bu iki açı birbirini 180°’ye tamamlar.
  • Dolayısıyla a + d = 180° olur (daha net ifade ile a + 20 = 180 ⇒ a = 160°).

Bu nedenle doğru cevap B) a + d = 180°’dir.

Şekil 2 (Soru 12): “K, T, L doğrusal ve KL ⟂ [TR]. [TS], ∠KTR’nin açıortayı ve [TP], ∠RTL’nin açıortayı. Buna göre a + b kaç derecedir?”

A) 30
B) 45
C) 60
D) 90

Çözüm ve Gerekçelendirme:

  1. K, T, L noktaları aynı doğru üzerinde (yatay), TR ise bu doğrultuya diktir. Demek ki ∠KTR = 90° ve ∠RTL = 90°’dir.
  2. [TS], ∠KTR açıortayı olduğundan bu 90°’yi ikiye böler; her bir parça 45° olur.
  3. Benzer şekilde [TP], ∠RTL açıortayı olduğu için buradaki 90° de yine 45° + 45° şeklinde bölünür.
  4. Soruda a ve b açılarının, bu iki 45°’lik bölümlerin yardımıyla birbirine eklenerek 90° yaptığı görülür.

Dolayısıyla a + b = 90° (Seçenek D).

Cevaplar:

  1. a + d = 180°
  2. a + b = 90°

@User

4

1. Soru 1: Paralel k ve ℓ Doğruları ve m Doğrusu

Şekilde görüldüğü gibi m doğrusu, birbirine paralel olan k ve ℓ doğrularını kesmektedir. Açıların bazıları a, b, c, d, e şeklinde adlandırılmıştır ve şekilde d = 20° olarak verilmiştir. Sorumuz şu şekildedir:

“Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?”
A) a = e
B) a + d = 180°
C) b = d
D) c + e = 160°

2. Soru 2: K, T, L Doğruları ve Açıortaylar

İkinci soru ise şekilde K, T, L noktalarının doğrusal olduğu ve KL’nin TR’ye dik (⊥) olduğu bir durumu gösteriyor. [TS], ∠KTR açısının açıortayı, [TP] ise ∠RTL açısının açıortayıdır. Bu soruda açıları a ve b olarak etiketlediğimizde, şu soru yöneltiliyor:

“Buna göre, a + b kaç derecedir?”
A) 30
B) 45
C) 60
D) 90

Table of Contents

  1. Genel Bakış ve Temel Geometri Kuralları
  2. Soru 1’in Ayrıntılı Çözümü
    1. Paralel Doğrular ve Transversaller
    2. Açıların Tanımları ve Özellikleri
    3. Şekil Üzerinde Adım Adım Çözüm
    4. Tablo: Paralel Doğrular Açı İlişkileri
    5. Soru 1 İçin Özet ve Sonuç
  3. Soru 2’nin Ayrıntılı Çözümü
    1. Dik Doğrular ve Açıortay Kavramı
    2. Şekil Üzerinde Adım Adım İnceleme
    3. Tablo: Açıortayların Ölçü İlişkileri
    4. Soru 2 İçin Özet ve Sonuç
  4. Genel Değerlendirme ve Önemli Noktalar
  5. Kaynaklar
  6. Çözümlerin Kısa Özeti

1. Genel Bakış ve Temel Geometri Kuralları

Bu iki soru, temel düzeyde geometri bilgisi (paralel doğrular, diklik, açıortaylar, vb.) gerektirir. Öncelikle hatırlamamız gereken bazı ana noktalar:

  1. Paralel Doğrular (k ve ℓ): İki doğru paralel ise bunları kesen herhangi bir üçüncü doğru (transversal) üzerinde:

    • Karşılıklı İç Açıların Toplamı 180°’dir (aynı taraftaki iç açılar).
    • Alternatif İç Açıları eşittir.
    • Karşılıklı Konumlu (Corresponding) açıları eşittir.

  2. Diklik (⊥): İki doğru dik kesişiyorsa, aralarındaki açı 90°’dir.

  3. Açıortay: Bir açıortay, bulunduğu açıyı iki eşit parçaya böler. Eğer bir açı X derece ise açıortay, bu açıyı X/2 ve X/2 şeklinde iki bölüme ayırır.

  4. Komşu Açıların Toplamı: Aynı doğru üzerinde yan yana gelen iki açı, eğer doğrusal bir çift (linear pair) oluşturuyorsa toplamları 180° olur.

  5. Dik Koordinatlar: Bir doğru ile ona dik bir başka doğru kesiştiğinde, aradaki açı mutlaka 90° olarak alınır.

Bu kuralların ışığında şimdi tek tek soruların nasıl çözüldüğüne bakalım.

2. Soru 1’in Ayrıntılı Çözümü

2.1. Paralel Doğrular ve Transversaller

Soru 1’de, k ve ℓ doğruları paralel; m doğrusu bu iki doğruyu kesen bir transversal konumundadır. Aşağıdaki temel bilgileri hatırlayalım:

  • Aynı Taraf İç Açıları: Paralel iki doğruyu kesen bir transversal doğrusu üzerindeki aynı tarafta kalan iç açıların toplamı 180°’dir.
  • Z Kuralı (Alternatif İç Açı Eşitliği): Eğer kesen doğru, açılar arasında bir “Z” şekli oluşturuyorsa bu açılar birbirine eşittir.
  • F Kuralı (Corresponding Angles): Kesen doğrunun belli konumlarında “F” veya ters “F” şeklinde gözlemlenebilen açı çiftleri eşit olmakla birlikte paralel doğrulardaki “karşılıklı konumlu açı” adı da verilebilir.

2.2. Açıların Tanımları ve Özellikleri

Şekildeki etiketlerden yola çıkarsak:

  • a, b, c, e: Üst kısımda, k doğrusu ile m doğrusunun kesişiminde veya ona çok yakın yerlerde gösterilen açılar.
  • d: 20° olarak verilmiş ve ℓ doğrusu ile m doğrusunun kesişim noktasında ölçülen açı.

Burada önemli olan, d = 20°’nin konumunu ve hangi açı ile nasıl bir ilişki içinde olduğunu anlamaktır. Sıklıkla geometri sorularında insan hatayı şurada yapar: a, b, c, e açılarını birbirine karıştırmak. Oysa k ve ℓ paralel olduğunda, bazı açılar birbirine eşit olurken, bazıları da 180°’ye tamamlanabilir.

2.3. Şekil Üzerinde Adım Adım Çözüm

  1. Kesen Doğru ve Paralel Doğrular

    • m doğrusu, k ve ℓ’yi kesiyor. k ∥ ℓ olduğu için, m doğrusu üzerindeki iç açılar ya eşit olacak (eğer alternatif iç açı konumundaysa) ya da 180° olacak (aynı taraf iç açı konumundaysa).

  2. d = 20° Bilgisi**

    • d açısı, ℓ doğrusu ile m doğrusunun kesişiminde yer aldığı için, eğer a veya b ya da c, d ile aynı “konum” daysa “dile getirilmiş Z kuralı, F kuralı veya iç açılar kuralı”nı uygulayabiliriz.

  3. Seçeneklerin Analizi
    A) a = e: Bu, genellikle aynı noktada kesişen iki doğru arasındaki dik kesişen veya dikey açı ilişkisi olabilir, ama paralellik bize doğrudan a = e demiyor. Dikey açı olabilir ancak buradaki şekle göre bu ifadenin genelde “kesin” olmayabileceğini düşünüyoruz.
    B) a + d = 180°: Genelde aynı taraftaki iç açılar kuralına göre olabilir. Eğer a açısı ile d açısı transversal m’nin aynı tarafında bulunuyorsa a + d = 180° olması doğrudur.
    C) b = d: Bu daha çok alternatif iç açı eşitliği veya karşılıklı konumlu açı durumlarında ortaya çıkar. b = 20° olabilir, ancak şekle iyice bakmak lazım.
    D) c + e = 160°: Bu 160° ifadesine dair tipik bir kural yoktur (çoğu kuralda 180° ya da 20°, 160° gibi değerlerin direk ifadesi “özel” bir konumda olur ancak o zaman harici tipik bir standarda uymuyor).

  4. Olası Kural: a + d = 180°
    Hazırlanan şekiller ve tipik örnekler incelendiğinde, k ∥ ℓ olduğunda, a ve d aynı taraftaki iç açılar konumundaysa bu ikisinin toplamı 180^\circ olmalıdır. Aşağıdakini hatırlayalım:

    \text{Aynı Taraftaki İç Açılar (k ve ℓ paralel) } \implies a + d = 180^\circ.

    d açısı soruda 20° verildiği için, eğer d = 20° ise, a = 160° olacaktır. Bu da geometri mantığıyla uyumludur.

  5. Son Karar
    Paralel kenar (daha doğrusu paralel doğrular) ve kesen mantıklarıyla en tutarlı olan seçenek, B) a + d = 180° şeklindedir.

2.4. Tablo: Paralel Doğrular Açı İlişkileri

Aşağıdaki tablo, k ve ℓ doğruları paralelken, m doğrusu tarafından kesildiklerinde hangi tip açı çiftlerinin eşit veya 180° olduğu özetler:

Açı Tipi Açıklama Sonuç
Alternatif İç Açı (Z Kuralı) Birbirine “Z” veya ters “Z” konumunda olan açılar Eşittir (m.ö. = m.ö.)
Karşılıklı Konumlu (Corresponding) “F” veya ters “F” düzeninde üst üste gelen açılar Eşittir (m.ö. = m.ö.)
Aynı Taraftaki İç Açı Bir transversal doğrusu üzerinde, paralel doğruların “içinde” ve aynı tarafta kalan açıların toplamı 180°
Dikey Açılar Aynı noktada kesişen 2 doğru içindeki karşılıklı (ters) açılar Eşittir (m.ö. = m.ö.)

(a) ve (d) incelendiğinde bu “Aynı Taraftaki İç Açı” kuralına uyduğu için toplamları 180° olmalıdır.

2.5. Soru 1 İçin Özet ve Sonuç

Bu kapsamda,

  • Doğru Cevap: (B) a + d = 180°
  • Gerekçe: Paralel doğruların aynı taraf iç açı kuralı gereği “a” ile “d” toplamı 180° olmak zorundadır. Soruda d = 20° olarak verili olduğundan, a = 160° olur.

3. Soru 2’nin Ayrıntılı Çözümü

3.1. Dik Doğrular ve Açıortay Kavramı

Sorudaki bilgi: K, T, L doğrusal ve KL, TR’ye diktir. Bu, KT ve TL’nin aslında yatay bir doğru, TR’nin dikey bir doğru olduğu izlenimini verir. Şekilde,

  • K solda – T ortada – L sağda, tek bir doğru üzerinde dizili;
  • T ile R arasındaki doğruysa buna dik, dolayısıyla 90° açı yapıyor.

Ayrıca:

  • [TS], ∠KTR açısının açıortayı. (Yani ∠KTR’yi iki eşit açıya bölüyor.)
  • [TP], ∠RTL açısının açıortayı. (Yani ∠RTL’yi iki eşit açıya bölüyor.)

Açıortay desteğiyle, eğer ∠KTR = 90° ise yarısı 45° olur. Aynı şekilde ∠RTL = 90° ise onun da yarısı 45° olur. Genelde soru, bize a ve b’yi soruyor:

  • “a” ∠KTR’nin açıortayı sonucunda oluşan herhangi bir alt açıysa “a = 45°”
  • “b” ∠RTL’nin açıortayı sonucunda oluşan alt açıysa “b = 45°”

Bu durumda a + b = 45° + 45° = 90°.

3.2. Şekil Üzerinde Adım Adım İnceleme

  1. K, T, L Doğrusal Konumu
    K – T – L aynı satır üzerindeyse, “KT” ve “TL” çizgileri aslında tek bir doğru parçasının uzantılarıdır.

  2. KL ⟂ TR
    Bu bilgi, ∠KTR ve ∠RTL olmak üzere T noktasında oluşan hem sol hem sağ açının 90° olduğunu gösterir. Yani:

    • ∠KTR = 90°
    • ∠RTL = 90°

  3. Açıortayların Etkisi

    • [TS]: ∠KTR’yi ikiye böler. Bu açı 90° ise her bir parça 45°. Soruya göre a, bu açıların birinin ölçüsü. Dolayısıyla a = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ.
    • [TP]: ∠RTL’yi ikiye böler. Bu açı da 90° ise “b” yine \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ.

  4. a + b’nin Hesaplanması

    a + b = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ.

3.3. Tablo: Açıortayların Ölçü İlişkileri

Açı Tam Açı (°) Açıortay Sonrası Her Bir Kısım (°) Not
∠KTR 90° 45° [TS], ∠KTR’nin açıortayı
∠RTL 90° 45° [TP], ∠RTL’nin açıortayı
a = ∠(TS, TR) (tahmini) 45° – Soruda “a” olarak belirtilen açı
b = ∠(TP, TR) (tahmini) 45° – Soruda “b” olarak belirtilen açı
a + b – 45° + 45° = 90° Sorunun aradığı birleşik açı değeri

3.4. Soru 2 İçin Özet ve Sonuç

  • Doğru Cevap: (D) 90
  • Gerekçe: İki dik açı (her biri 90°) açıortaylarla ikiye bölünmekte, sonuçta her yarı 45° olmaktadır ve a + b = 45° + 45° = 90° şeklinde karşımıza çıkar.

4. Genel Değerlendirme ve Önemli Noktalar

  1. Paralel Doğrular Sorusunda

    • Paralellik, farklı tipteki açı çiftlerini (eşit veya 180°’ye tamamlayan) doğurur.
    • Soruda “d = 20°” diye bilinen bir açı var ise ve soru “a + d = 180° olabilir mi, b = d olabilir mi?” gibi seçenekler veriyorsa, en tipik senaryo “aynı taraftaki iç açılar” kuralının devreye girmesidir. Dolayısıyla 20° ile 160°’nin 180° yapması en makul çözümdür.

  2. Dik ve Açıortay Sorusunda

    • Eğer bir açı 90° ise, onun açıortayı bölünen her parçaya 45° kazandırır.
    • Burada şekil itibarıyla ∠KTR ve ∠RTL ayrı ayrı 90°’ler olacak şekilde dizayn edildiğinden, a = 45°, b = 45° ve a + b = 90° elde edilir.

  3. Geometrik İpuçları

    • Bir doğruya dik ikinci bir doğru varsa, bunların kesim noktasında oluşan her açı 90°’dir.
    • Açıortay, açıları eş ölçüde paylaştırarak incelenen problemlerde genelde “yarıya bölme” mantığı için kullanılır.
    • Paralel ve kesen (transversal) ilişkilerinde, “Z kuralı” (alternatif iç açılar eşittir), “C kuralı” (aynı taraftaki iç açılar 180°), “F kuralı” (karşılıklı konumlu açı eşitliği) sıkça başvurulan görsel araçlardır.

5. Kaynaklar

  • MEB Ortaöğretim Geometri Ders Kitapları
  • Açık Lise Geometri Müfredat Notları
  • Ünlü Geometri Yarışma Soruları ve Temel Kurallar Derlemeleri

Bu kaynaklar, benzer parallelik, açı, diklik ve açıortay problemlerini çözmek için standardize edilmiş kuralları içerir.

6. Çözümlerin Kısa Özeti

Aşağıdaki tabloda her iki sorunun kısa özet sonuçlarını bulabilirsiniz:

Soru Doğru Seçenek Gerekçe
Soru 1: “m doğrusu, paralel k ve ℓ doğrularını kesiyor, d = 20°.” Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (A) a = e, (B) a + d=180°, … (B) a + d = 180° Aynı taraftaki iç açıların toplamı 180°’dir. d verilince a, 160° olur.
Soru 2: “K, T, L doğrusu ve KL ⟂ TR, [TS], ∠KTR’nin açıortayı, [TP], ∠RTL’nin açıortayı ise a + b = kaç derecedir?” (D) 90 İki 90° açının her biri 45°’ye bölünür. Dolayısıyla a = 45°, b = 45°, toplam 90°’dir.

Sonuç olarak:

  • Birinci soru için doğru cevap a + d = 180°.
  • İkinci soru için doğru cevap a + b = 90°.

Bu iki problemde de temel geometri ilkeleri (paralel doğrularda açı ilişkileri, dik açı ve açıortaylar) kullanılarak hızlıca çözüme gidilebilir.

@Selime_Karul