Soru: Verilen şekilde kenar uzunluğu (5b+2) cm olan kare şeklindeki kâğıttan eş dikdörtgenler kesilerek çıkartılıyor. Buna göre, geriye kalan bölgenin alanını santimetrekare cinsinden gösteren cebirsel ifadeyi yazınız. Eren, meyve suyunun 1/8’ini birinci teneffüste, 3/4’ünü ikinci teneffüste içmiştir. Eren’in geriye 50 ml meyve suyu kaldığına göre toplam meyve suyu miktarını mililitre cinsinden hesaplayınız. Son olarak, y=2x - 4 doğrusunun grafiğini çiziniz.
Cevap:
1. Geriye Kalan Bölgenin Alanı
Kenar uzunluğu (5b+2) cm olan bir kareden dört adet eş dikdörtgen kesilerek çıkartıldığını düşünelim. Şekildeki dikdörtgenlerin her birinin boyutlarını (2b) cm ve (2b+1) cm olarak varsayıyoruz (şekilde gösterilen ölçülere dayanarak). Adım adım şöyle ilerleyebiliriz:
-
Karenin Alanı
Karenin bir kenarı (5b+2) cm olduğuna göre, başlangıçtaki kare şeklinin alanı:(5b+2)^2 = 25b^2 + 20b + 4. -
Her Bir Dikdörtgenin Alanı
Her dikdörtgenin kenar uzunlukları 2b ve (2b+1) olarak verildiğinden, tek bir dikdörtgenin alanı:2b \times (2b+1) = 4b^2 + 2b. -
Kesilen Toplam Alan
Dört adet eş dikdörtgen kesildiğine göre, kesilen toplam alan:4 \times (4b^2 + 2b) = 16b^2 + 8b. -
Geriye Kalan Bölgenin Alanı
Başlangıçtaki kare alanından kesilen alanı çıkarınca elde edilen (kalan) bölgenin alanı:(25b^2 + 20b + 4) - (16b^2 + 8b) = 9b^2 + 12b + 4.Bu ifade (3b+2)^2 şeklinde de yazılabilir. Dolayısıyla geriye kalan bölgenin alanı:
**9b^2 + 12b + 4 \text{ (yani }(3b+2)^2\text{)}.
Özet Tablosu (Alan Hesaplaması)
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Karenin kenarı | (5b+2) cm | - |
| Karenin alanı | (5b+2)^2 | 25b^2 + 20b + 4 |
| Bir dikdörtgen alanı | 2b \times (2b+1) | 4b^2 + 2b |
| Toplam kesilen alan (4 dikdörtgen) | 4 \times (4b^2 + 2b) | 16b^2 + 8b |
| Kalan alan | (25b^2+20b+4) - (16b^2+8b) | 9b^2+12b+4 |
2. Meyve Suyu Hesaplaması
Bu soruda Eren, meyve suyunun 1/8’ini birinci teneffüste, 3/4’ünü ikinci teneffüste içiyor. Geriye 50 ml kalıyor. Toplam meyve suyu miktarını bulmak için aşamalı olarak ilerleyelim:
-
Toplam Miktarı Tanımlama
Toplam meyve suyu miktarını T (ml) ile gösterelim. -
İçilen Miktarlar
- Birinci teneffüste içilen miktar: T \times \frac{1}{8} = \frac{T}{8}
- İkinci teneffüste içilen miktar: T \times \frac{3}{4} = \frac{3T}{4}
-
İçilen Toplam Miktar
İki teneffüste içilen toplam meyve suyu:\frac{T}{8} + \frac{3T}{4} = \frac{T}{8} + \frac{6T}{8} = \frac{7T}{8}. -
Kalan Miktar
Başlangıçtaki T miktarından içilen \frac{7T}{8} çıkarıldığında geriye \frac{T}{8} kalır. Soruda bu kalan miktarın 50 ml olduğu veriliyor:\frac{T}{8} = 50\text{ ml}. -
Toplam Miktarı Bulma
\frac{T}{8} = 50 eşitliğinden T = 50 \times 8 = **400** ml bulunur.
Dolayısıyla Eren’in toplam meyve suyu miktarı 400 ml’dir.
Özet Tablosu (Meyve Suyu Problemi)
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Toplam meyve suyu miktarı | T | - |
| 1/8’i (birinci teneffüs) | \frac{T}{8} | - |
| 3/4’ü (ikinci teneffüs) | \frac{3T}{4}=\frac{6T}{8} | - |
| Toplam içilen miktar | \frac{T}{8}+\frac{6T}{8} | \frac{7T}{8} |
| Kalan miktar | T - \frac{7T}{8}=\frac{T}{8} | 50 ml |
| Toplam miktar hesabı (\frac{T}{8}=50) | T=50\times 8 | 400 ml |
3. y = 2x - 4 Doğrusal Denklemin Grafiği
Bu doğruyu çizerken şu temel adımları izleyebiliriz:
-
Denklemin Biçimi
Denklem y = 2x - 4 şeklindedir. Burada;- Doğrunun eğimi (slope) 2,
- y-kesim noktası (y-intercept) -4’tür.
-
Örnek Noktalar Belirleme
Kolaylıkla hesaplanan birkaç noktayı bulup (x,y) koordinat düzleminde işaretleyerek doğruyu çizebiliriz:- x=0 için: y=2(0)-4=-4 (Nokta: (0, -4))
- x=2 için: y=2(2)-4=4-4=0 (Nokta: (2, 0))
- x=3 için: y=2(3)-4=6-4=2 (Nokta: (3, 2))
-
Doğruyu Çizme
Bu noktaları koordinat düzlemine yerleştirip düz bir doğruyla birleştirdiğimizde, y = 2x - 4 doğrusunu elde ederiz.
Örnek Noktalar Tablosu
| x | Hesaplanan y değeri | Koordinat Noktası |
|---|---|---|
| 0 | y=2\times0-4=-4 | (0, -4) |
| 2 | y=2\times2-4=0 | (2, 0) |
| 3 | y=2\times3-4=2 | (3, 2) |
Bu adımlarla doğrusal denklem grafiğini rahatça çizebilirsiniz. Denklemleri çözme ve alan hesaplama gibi temel matematik konularında da benzer yaklaşımlarla adım adım ilerlemek, hem cebirsel ifadeleri daha anlaşılır kılar hem de hataları en aza indirir.