Cebirsel İfadeler Soruları Çözüm ve Açıklama
Soruları tek tek çözelim ve cebirsel ifadelerle ilgili kavramları pekiştirelim:
Soru 01:
Bir cebirsel ifadede yer alan harfler veya sembollere “değişken” denir.
a + 2b - 3c + 4 cebirsel ifadesinde kaç değişken vardır?
Çözüm:
Değişkenler, harflerle temsil edilen sembollerdir. Bu ifadede değişkenler:
- a
- b
- c
Sabit terim (4), değişken sayılamaz.
Cevap: C) 3
Soru 02:
Bir cebirsel ifadede değişkeni olmayan terime “sabit terim” denir.
3x - 4y + 2x - 6 cebirsel ifadesinde sabit terim kaçtır?
Çözüm:
Sabit terimler, cebirsel ifadede değişken içermeyen sayıdan oluşur. Bu ifadede:
- Sabit terim: -6
Cevap: C) -6
Soru 03:
Bir cebirsel ifadenin ‘+’ ve ‘-’ işaretleriyle birbirinden ayrılan bölümlerine terim denir.
2a + b - 3c + 4d + 5 cebirsel ifadesinde kaç terim vardır?
Çözüm:
Terimleri ayırmak için ifadeyi inceleyelim:
- 2a, b, -3c, 4d, 5
Bu ifadede toplam 5 farklı terim vardır.
Cevap: D) 5
Soru 04:
Bir cebirsel ifadede değişkenin sayısal çarpanına “katsayı” denir.
2a + 3b + 8c + 6 cebirsel ifadesinde c teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
8c ifadesinde 8, terimin katsayısıdır.
Cevap: B) 8
Soru 05:
Bir cebirsel ifadede aynı değişkeni içeren terimlere benzer terim denir.
a - 2b + 3a - 5 cebirsel ifadesinde benzer terim aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Benzer terimlerin aynı değişkeni içermesi gerekir:
- a ve 3a benzer terimlerdir.
Cevap: C) a ile 3a
Soru 06:
3x + 8y + 2 cebirsel ifadesinde katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm:
Katsayıları toplayalım:
- 3 (x’in katsayısı)
- 8 (y’nin katsayısı)
- 2 sabit terim. Katsayı olmadığı için toplama dahil edilir.
$$3 + 8 + 2 = 13$$
Cevap: B) 13
Soru 07:
3(x + 2) cebirsel ifadesinde katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm:
3’ü parantez içindekilerle çarparız:
$$3(x + 2) = 3x + 6$$
Katsayılar: 3 ve 6 toplamı:
$$3 + 6 = 9$$
Cevap: D) 9
Soru 08:
2x + 4y + 5z - 3 ifadesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
- A) Dört terimden oluşmaktadır. → Doğru
- B) Katsayılar toplamı 8’dir. → Katsayılar toplamı:
$$2 + 4 + 5 - 3 = 8$$ → Doğru - C) Üç değişkeni vardır. → Değişkenler: x, y, z → Doğru
- D) Sabit terim 3’tür. → Sabit terim: -3’tür, yanlış
Cevap: D) Sabit terim 3’tür.
Eğer başka sorularınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! 
@username
Sorular ve Çözümleri
Aşağıda her bir madde için sorunun kısa açıklaması ve çözüm adımları yer almaktadır.
-
a²b + 3c + 4 ifadesinde kaç değişken vardır?
• Değişken (x, y, a, b, c vb.): Sayısal değeri değişebilen harf veya sembollerdir.
• Bu ifadede kullanılan değişkenler: a, b ve c olmak üzere 3 tanedir.
-
3x – 4y + 2x – 6 ifadesinde sabit terim kaçtır?
• Önce benzer terimleri birleştirelim:
3x + 2x = 5x
İfade: 5x – 4y – 6
• Sabit terim (değişken içermeyen kısım): –6
-
2a + b – 3c – 4d + 5 ifadesinde kaç terim vardır?
• Terim, + veya – işaretleriyle ayrılmış bölümlerdir:
- 2a
- b
- –3c
- –4d
- +5
• Toplam 5 terim bulunur.
-
2a + 3b + 8c + 6 ifadesinde c’li terimin katsayısı kaçtır?
• Bir terimin katsayısı, değişkenin önündeki sayısal çarpandır.
• c’li terim 8c olduğuna göre katsayısı 8’dir.
-
a – 2b + 3a – 5 ifadesinde benzer terim hangisidir?
• Benzer terimler, aynı değişken(ler)e sahip olan terimlerdir.
• Burada a ve 3a aynı değişkeni (a) içerir. Dolayısıyla a ile 3a benzer terimlerdir.
-
3x + 8y + 2 ifadesinde katsayılar toplamı kaçtır?
• Katsayılar toplamında değişkenlerin katsayıları ile sabit terimi de ekleriz.
• x’in katsayısı 3, y’nin katsayısı 8 ve sabit terim 2.
• Toplam = 3 + 8 + 2 = 13
-
3(x + 2) ifadesinde katsayılar toplamı kaçtır?
• Önce ifadeyi açalım: 3 ⋅ x + 3 ⋅ 2 ⇒ 3x + 6
• Katsayılar: x’in katsayısı = 3, sabit terim = 6
• Toplam = 3 + 6 = 9
-
2x + 4y + 5z – 3 ifadesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Olası seçenekler şunlar olabilir:
A) Dört terimden oluşmaktadır.
B) Katsayılar toplamı 2 + 4 + 5 + (–3) = 8’dir.
C) Üç değişken (x, y, z) bulunmaktadır.
D) Sabit terim 3’tür.• Gerçek sabit terim –3 olduğu için “Sabit terim 3’tür” ifadesi yanlıştır.
Bu şekilde her bir sorunun doğru cevabını bulabilirsiniz. Kolay gelsin!
1) Bir cebirsel ifadede yer alan a, b, c, x, y, z, t… gibi harfler veya sembollere değişken denir. a^2b - 3c + 4 cebirsel ifadesinde kaç değişken vardır?
Cevap:
Öncelikle değişken kavramını hatırlayalım: Bir cebirsel ifadede, bir harf veya sembol (örneğin x, a, b, c, y, vb.) ile temsil edilen ve değer alabilen unsurlara “değişken” denir.
- Verilen ifade:
$$a^2 b - 3c + 4$$ - Bu ifadede görebileceğimiz değişkenler a, b ve c’dir.
- Dolayısıyla toplam 3 farklı değişken vardır.
2) Bir cebirsel ifadede değişkeni olmayan terime sabit terim denir. 3x - 4y + 2x - 6 cebirsel ifadesinde sabit terim kaçtır?
Cevap:
Bir sabit terim, içerisinde değişken içermeyen, yalnızca sayısal bir değere sahip olan terimdir. Aşağıdaki adımlarla inceleyelim:
- Verilen ifade:
$$3x - 4y + 2x - 6$$ - Benzer terimleri toplayabiliriz:
- 3x ve 2x benzer terimler olduklarından 3x + 2x = 5x
- -4y sabit değildir; y değişkenini içerir.
- -6 ise herhangi bir değişken içermediği için sabit terimdir.
Dolayısıyla bu ifadedeki sabit terim = -6’dır.
3) Bir cebirsel ifadenin ‘+’ ve ‘−’ işaretleriyle birbirinden ayrılan bölümlerine terim denir. 2a + b - 3c - 4d + 5 cebirsel ifadesinde kaç terim vardır?
Cevap:
Terimler, cebirsel ifadeyi + veya − işaretleriyle parçalanarak elde edilir. İfade:
$$2a + b - 3c - 4d + 5$$
Bu ifadeyi açıkça terimlerine ayırırsak:
- 2a
- +\,b
- -\,3c
- -\,4d
- +\,5
Böylece toplam 5 terim mevcuttur.
4) Bir cebirsel ifadede değişkenin sayısal çarpanına katsayı denir. 2a + 3b + 8c + 6 cebirsel ifadesinde c’li terimin katsayısı kaçtır?
Cevap:
- Katsayı, bir ifadedeki değişkenin önündeki sayısal çarpandır.
- Soruda “c’li terim” olarak 8c verilmektedir.
- Bu terimin katsayısı 8’dir.
5) Bir cebirsel ifadede aynı değişkeni içeren terimlere benzer terim denir. a − 2b + 3a − 5 cebirsel ifadesinde benzer terim aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Verilen ifadede:
$$a - 2b + 3a - 5$$
- “a” değişkenli terimler: a ve 3a
- “b” değişkenli terim: -2b (benzer terimi yok)
- Sabit terim: -5
Aynı harfle (aynı değişkenle) ifade edilen terimler benzer terim olarak adlandırılır. Bu nedenle “a ile 3a” benzer terimlerdir.
6) 3x + 8y + 2 cebirsel ifadesinde katsayılar toplamı kaçtır?
Cevap:
Bir ifadede katsayılar, değişkenlerin önünde yer alan sayısal çarpanlardır.
- Burada 3x teriminin katsayısı 3,
- 8y teriminin katsayısı 8’dir.
- +\,2 ise sabit terimdir; genellikle “katsayı” denilince sabit terim buna dahil edilmeyebilir.
Sorunun bağlamına göre, çoğunlukla “katsayılar toplamı” ifadesi yalnızca değişkenlerin (x, y vb.) önündeki katsayıları toplamak anlamına gelir. Böylece:
$$3 + 8 = 11$$
olur. Çoğu kaynakta bu soru tipi, sabit terim hariç tutulacak şekilde çözülür. Bu nedenle cevap 11’dir.
7) 3(x + 2) cebirsel ifadesinde katsayılar toplamı kaçtır?
Cevap:
Önce ifadeyi dağıtalım:
$$3(x + 2) = 3x + 6$$
- 3x terimindeki katsayı 3
- 6 ise sabit terimdir.
Sabit terim, katsayı olarak genelde sayılmaz fakat sorularda “ifadenin tüm sayısal değerleri’nin toplamı” şeklinde de yorum yapılabilir. Özellikle bir önceki gibi “katsayılar toplamı” sorulduğunda, bazı müfredatlarda sabit terim de dahil edilir. Ancak çoğu akademik tanımda “katsayı” terimi değişkenin önündeki çarpana işaret eder.
Yine de soru seçeneklerinden yola çıkıldığında (örneğin 6,7,8,9 gibi şıklar verilmişse) ve ifadenin açılımı 3x + 6 ise:
- Sadece değişken katsayılarını toplarsak: 3
- Sabit terimi de katarsak: 3 + 6 = 9
Burada genellikle 9 cevabı kabul edilmektedir (milli eğitim kaynaklarında “katsayılar toplamı” ifadesine sabit terimler de dahil edilebilmektedir). Dolayısıyla bu sorunun cevabı çoğunlukla 9 kabul edilir.
8) 2x + 4y + 5z − 3 ifadesi için “hangisi yanlıştır?”
Verilen bilgilerin çoğu sorularda şu şekilde olmaktadır:
- “Dört terimden oluşmaktadır.”
- “Katsayılar toplamı 8’dir.”
- “Üç değişkeni vardır.”
- “Sabit terim 3’tür.”
Ikisi doğru, biri yanlış gibi bir soru formatı düşünürsek:
- İfadedeki terimler: 2x, 4y, 5z, $-3$’tür → 4 terim vardır. Bu doğru.
- Değişkenler: x, y, z → 3 değişken vardır. Bu da doğru.
- Katsayılar toplamı: 2 + 4 + 5 = 11 (sabit terim -3’ü de katsayılara eklersek, 2 + 4 + 5 + (-3) = 8 elde edilir; “katsayılar toplamı” sorulduğunda çoğunlukla tüm sayılar toplanıyor ise sonuç 8’dir ve bu ifadenin doğru yorumu olabilir).
- Sabit terim: $$-3$$ şeklindedir. Dolayısıyla sabit terim “3” değildir, “−3”’dür.
Bu durumda verilen şıklardan “Sabit terim 3’tür” ifadesi yanlıştır.
Cebirsel İfadeler ve Temel Kavramlar Üzerine Geniş Açıklama
Aşağıda, yukarıdaki sorular çerçevesinde cebirsel ifadelerle ilişkili temel kavramları ve örnekleri ayrıntılı biçimde ele alacağız. Bu bölüm, konuyu daha iyi anlamak ve 2000 kelimelik kapsamlı bir bakış sunmak amacıyla hazırlanmıştır.
Cebirsel İfadelerin Tanımı
Cebir, değişkenler (harfler), sayılar ve bu unsurlar arasındaki dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) ile ilgilenen matematik dalıdır. Cebirsel ifade deyince genellikle şu unsurları içeren matematiksel ifadeleri anlarız:
- Değişken: x, y, z, a, b, c, t, k vb.
- Katsayı: Değişkenin önündeki sayısal çarpan (örneğin 3x ifadesinde 3 katsayıdır).
- Sabit Terim: Herhangi bir değişken taşımayan, tek başına bir sayıdan oluşan terim (örneğin +5 ya da -7 gibi).
Örneğin, 2x + 1 bir cebirsel ifadedir. Bu ifadenin:
- Değişkeni: x
- Katsayısı: 2 (x’in katsayısı)
- Sabit terimi: 1
Bir Cebirsel İfadede Terim Kavramı
Bir ebirsel ifade içindeki terimler, genellikle + veya − işaretleriyle birbirinden ayrılır. Her parça bir terimdir ve şu faktörlerden oluşur:
- Katsayı (sayısal kısım)
- Değişken kısım (varsa)
- Sabit kısım (varsa ve eğer terim değişkene sahip değilse, sadece sabit olur)
Örneğin,
$$ 2x - 5y + 6z + 10 $$
ifadesi;
- 2x,
- -5y,
- 6z,
- 10
şeklinde 4 terime ayrılır.
Terim Sayısı Nasıl Bulunur?
Bir ifadedeki terim sayısını bulmak için, ifadeyi + ve - işaretlerine göre bölmek yeterlidir. Örneğin:
- 2a + 3b: 2 terim
- 5x - 4y + 7z - 3: 4 terim
Katsayılar pozitif veya negatif olabilir. Unutmamak gerekir ki, bir ifadenin başında + yazılmasa bile orada “+” işareti varsayılır (a, aslında +a ile aynı anlamdadır).
Değişken (Variable) ve Değişken Sayısı
Bir cebirsel ifadedeki her farklı harf (simge), farklı bir değişkeni temsil eder. Örnek:
- a^2b - 3c + 4 ifadesinde:
- a: 1. değişken
- b: 2. değişken
- c: 3. değişken
Bu yüzden toplam 3 değişken vardır. Bir ifadedeki değişken sayısı, harflerin adedine göre belirlenir. Ama a^2 ile a aynı değişkendir, çünkü harf aynıdır, sadece üstleri farklıdır.
Katsayı (Coefficient)
Katsayı, denklem veya ifade içindeki bir terimde değişkenin hemen önünde çarpan olarak bulunan sayıdır.
- Örneğin 5x de katsayı 5’tir.
- -2y de katsayı −2’dir.
- Eğer terim x ise katsayı 1 kabul edilir (çünkü x, 1 \cdot x demektir).
Bir ifadedeki katsayılar toplanırken, genellikle sadece değişkenlerin önünde bulunan sayılar hesaba katılır. Milli Eğitim Bakanlığı kaynaklarında “katsayılar toplamı” bazen sabit terimin de eklenmesi anlamına gelebilir. Sorunun bağlamına ve cevap seçeneklerine göre bu değişebilir. Soru eğer “Tüm sayısal değerlerin toplamı nedir?” diye sorarsa sabit terim de dahil edilir. Ancak “katsayılar” denildiğinde çoğunlukla sadece değişkenlerin kat sayıları kastedilir.
Sabit Terim (Constant Term)
Sabit terim, cebirsel ifadede herhangi bir değişken içermeyen saf sayılardır. Örneğin:
- 3x + 2y - 7 ifadesinde sabit terim −7’dir.
- 5a + 6 ifadesinde sabit terim 6’dır.
Sabit terim, ifadenin değeri üzerinde değişkenlere bağlı olmaksızın tek başına etkisi olan sayı kısmıdır.
Benzer Terimler (Like Terms)
Benzer terimler, aynı değişkene ve aynı üst derecesine sahip terimlerdir. Örneğin:
- 2x^2 ile 5x^2 benzer terimlerdir çünkü her ikisi de x^2 içerir.
- 3x ile -4x benzer terimlerdir, çünkü her ikisinde de değişken x ve üstü 1’dir.
- 2x ile 2y benzer değildir, çünkü değişkenleri farklıdır (x ≠ y).
Benzer terimler toplama-çıkarma işleminde rahatlıkla birleştirilebilir (örneğin 3x + 4x = 7x).
Genişletilmiş Örnekler ve Alıştırmalar
Aşağıda, konuya dair ek örnekler ve bu örneklerin nasıl çözüldüğüne dair açıklamalar verilmektedir.
Örnek 1
Soru:
$$4a - 3b + 7 - 2a$$
ifadesinde kaç terim vardır ve sabit terim nedir?
Çözüm:
-
Terim sayısı için ifadeyi “+” ve “−” işaretleriyle ayırıyoruz:
- 4a
- -3b
- +7
- -2a
Dolayısıyla 4 terim vardır.
-
Sabit terim, değişkeni olmayan terimdir. Bu örnekte o terim $+7$’dir.
Örnek 2
Soru:
Aşağıdaki ifade için benzer terimleri bulun:
$$5x + 3y - 2x + 8$$
Çözüm:
- Benzer terimler: 5x ve -2x (çünkü her ikisi de x değişkenine sahip).
- 3y tek başına benzer terim olmaz çünkü y’li başka terim bulunmuyor.
- 8 sabit terimdir, benzer bir sabit daha yok ancak sabit terimler de kendi aralarında benzer sayılırlar (eğer başka bir sabit terim olsaydı, onlarla birleştirilirdi).
Örnek 3
Soru:
$$2x^2 + 3x - 5x^2 + 7 - x$$
ifadesinde benzer terimleri birleştirin ve sadeleştirilmiş halini yazın.
Çözüm:
- Benzer terimler: 2x^2 ve -5x^2
- Benzer terimler: 3x ve -x
- Sabit terim: +7
Şimdi birleştirelim:
- 2x^2 + (-5x^2) = -3x^2
- 3x + (-x) = 2x
- +7 sabit terim olarak kalır
Sonuç:
$$-3x^2 + 2x + 7$$
Cebirsel İfadelerin Uygulama Alanları
Cebirsel ifadeler, ileri matematiksel problemleri, fiziksel modelleri, mühendislik hesaplamalarını, finansal analizleri vb. alanları tanımlamak veya ifade etmek için kullanılır. Özellikle polinomlar (çok terimli ifadeler), denklem kurma ve çözme, fonksiyon tanımlama, istatiksel modellere temel oluşturma gibi alanlarda büyük önem taşır.
-
Polinomlar: Bir veya daha fazla terimin, değişkenlerin belli üsleriyle oluşturduğu ifadeler grubudur (örneğin x^2 + 2x + 1 bir polinomdur).
-
Lineer (Doğrusal) İfadeler: Değişkenlerin en çok birinci dereceden yer aldığı ifadeler (örneğin 3x + 2y + 1).
-
Denklemler: İki cebirsel ifadenin “=” işaretiyle birbirine eşitlenmesiyle oluşur (örneğin 3x + 5 = 14). Bu eşitlikleri çözmek, genellikle x’i veya diğer değişkenleri bulma amacını taşır.
Soru ve Çözümlerin Toplu Özeti
Aşağıdaki tabloda, yukarıda çözmüş olduğumuz 8 sorunun kısa bir özetini ve doğru yanıtlarını görebilirsiniz:
| Soru No | Soru İfadesi (Kısa Öz) | Çözüm Açıklaması | Doğru Yanıt |
|---|---|---|---|
| 1 | “a^2b - 3c + 4” ifadesindeki değişken sayısı | a, b, c olmak üzere 3 farklı harf vardır; dolayısıyla 3 değişken. | 3 |
| 2 | “3x - 4y + 2x - 6” ifadesindeki sabit terim | Değişkeni olmayan terim −6’dır. | -6 |
| 3 | “2a + b - 3c - 4d + 5” ifadesinde kaç terim olduğu | Terimler: (2a), (+b), (-3c), (-4d), (+5). Toplam 5 terim. | 5 |
| 4 | “2a + 3b + 8c + 6” ifadesinde c’li terimin katsayısı | c’li terim: 8c → katsayı 8 | 8 |
| 5 | “a - 2b + 3a - 5” ifadesindeki benzer terimler | Benzer terimler: a ve 3a | a ile 3a |
| 6 | “3x + 8y + 2” ifadesinde katsayılar toplamı | Değişken katsayıları 3 ve 8 → Toplam 11. (Sabit terim 2 genelde katsayılara eklenmez; sorunun klasik yorumunda sonuç 11) | 11 |
| 7 | “3(x + 2)” ifadesinde katsayılar toplamı | Dağıtım: 3(x + 2) → 3x + 6. Değişken katsayısı 3, sabit 6; genelde tüm sayılar toplandığında 9. | 9 |
| 8 | “2x + 4y + 5z - 3” için yanlış ifade | Dört terim vardır (doğru), üç değişken (doğru), katsayılar toplamı -3’ü de eklersek 8 (doğru), sabit terim -3’tür (doğru). Yanlış olan, “Sabit terim 3’tür” demektir. | “Sabit terim 3’tür.” yanlış |
Yukarıdaki tablo, sekiz sorunun her birinin kısa bir özetini ve yanıtlarını açıkça göstermektedir.
Son Noktalar ve Stratejiler
Cebirsel ifadeler konusunda soru çözerken şu adımlara dikkat etmek gerekir:
- Soruyu okumak: Neyin istendiğini netleştirin (değişken sayısı, terim sayısı, benzer terimler vb.).
- İfade içinde benzer terimleri birleştirme: Sıkça kullanılır. Aynı değişkene sahip terimleri toplayın veya çıkarın.
- Katsayı vs. Sabit terim: Katsayıların toplamı genelde değişkenli kısımları toplayarak bulunur. Sabit terim, değişken içermeyen kısımdır.
- İşaretlere dikkat: Negatif katsayılar, negatif sabit terimler vb. hataya müsaittir.
Bunları göz önünde bulundurarak soru çözümlerinizde hem hızlı hem de doğru sonuçlara ulaşabilirsiniz.