Bnjik

YKS TYT
1

20250405_192715
20250405_192715720×1204 63.9 KB

2

Görseldeki soruları birlikte çözelim:

5. Soru Çözümü:

Bir deponun 4/5'i suyla dolu. Bu depoya 36 litre daha su eklendiğinde, deponun 1/6'sı boş kalıyor. Buna göre, deponun tamamı kaç litre su alır?

Çözüm Adımları:

  1. Deponun doluluk oranını ve boşluk oranını ifade edelim:

    • Depo başlangıçta 4/5 doluydu.
    • Depoya 36 litre su eklenince, doluluk oranı 5/6 oluyor (çünkü 1/6 boşluk kalıyor).

  2. Tam kapasiteyi ifade eden denklemi yazalım:
    Tam kapasite: X litre olsun.
    Depodaki doluluk oranı:
    $$ \text{Başlangıçta dolu miktar: } \frac{4}{5}X $$
    $$ \text{36 litre eklenince doluluk: } \frac{4}{5}X + 36 \text{ ve boşluk: }\frac{1}{6}X $$

    Doluluk oranı gereği:

    \frac{4}{5}X + 36 = \frac{5}{6}X

  3. Denklemi çözelim:

    \frac{5}{6}X - \frac{4}{5}X = 36

    Paydaları eşitleyelim:

    \frac{25}{30}X - \frac{24}{30}X = 36
    \frac{1}{30}X = 36
    X = 36 \times 30 = 1080

Cevap: D. 1080

6. Soru Çözümü:

Hangi sayının 2 katının 3 eksiğinin 1/5'i, aynı sayının 4 fazlasının 3 katının $1/7$’sine eşittir?

Çözüm Adımları:

Sayıya X diyelim. Verilen koşulları denklemle ifade edelim:

  1. Koşulları yazalım:
    2 katının 3 eksiğinin 1/5'i:
    $$ \frac{1}{5}(2X - 3) $$

    4 fazlasının 3 katının 1/7'si:
    $$ \frac{1}{7}(3(X + 4)) $$

    İki ifade eşitmiş:

    \frac{1}{5}(2X - 3) = \frac{1}{7}(3(X + 4))

  2. Denklemi çözelim:

    7 \cdot (2X - 3) = 5 \cdot 3(X + 4)
    14X - 21 = 15X + 60
    14X - 15X = 60 + 21
    -X = 81 \implies X = -81

Cevap: C. -81

Sorularla ilgili başka bir açıklama veya ek çözüm gerekiyorsa, istediğiniz zaman belirtebilirsiniz! :blush:

@username

3

Soru 5: Bir deponun 4/5’i su doludur. Bu depoya 36 litre daha su eklendiğinde deponun 1/6’sı boş kalıyor. Buna göre, deponun tamamı kaç litre su alır?

Cevap:

  1. Toplam Depo Hacmini Belirleyelim
    Depo kapasitesi T olsun.
    Başlangıçta depo \tfrac{4}{5}T kadar doludur.

  2. 36 Litre Eklendikten Sonraki Durum
    36 litre eklendikten sonra deponun \tfrac{1}{6}’sı boş kalıyorsa dolu kısmı \tfrac{5}{6}T olur.
    Dolayısıyla denklemimiz:

    \frac{4}{5}T + 36 = \frac{5}{6}T

  3. Denklemi Çözme
    Denklemdeki paydalardan kurtulmak için her iki tarafı 30 (5 ve 6’nın EBOB’u olan 30’un katı) ile genişletelim:

    30 \times \left(\frac{4}{5}T\right) + 30 \times 36 = 30 \times \left(\frac{5}{6}T\right)
    24T + 1080 = 25T

    Buradan

    1080 = 25T - 24T \implies T = 1080

  4. Sonuç
    Deponun tamamı 1080 litre su alır.

Soru 6: Hangi sayının 2 katının 3 eksiğinin 1/5’i, aynı sayının 4 fazlasının 3 katının 1/7’sine eşittir?

Cevap:

  1. Bilinmeyeni Tanımlayalım
    Aradığımız sayı x olsun.

  2. Verilen İfadeleri Matematiksel Olarak Yazalım

    • 2 katının 3 eksiği: (2x - 3)
    • Bunun 1/5’i: \frac{2x - 3}{5}
    • Sayının 4 fazlasının 3 katı: 3(x + 4)
    • Bunun 1/7’si: \frac{3(x + 4)}{7}

  3. Denklemi Kurma ve Çözme
    Verilen koşula göre:

    \frac{2x - 3}{5} = \frac{3(x + 4)}{7}

    Çarpraz çarpım yapalım:

    7(2x - 3) = 5 \cdot 3(x + 4)
    14x - 21 = 15x + 60
    -x = 81 \implies x = -81

  4. Sonuç
    Aranan sayı -81’dir.

@bnjik

4

Soru 4: (Yol Problemi)

Necati bir yolun önce 1/5’ini gidiyor, ardından kalan yolun 1/3’ünü gidiyor. Geriye 32 km yol kaldığına göre, yolun tamamı kaç km’dir?

Cevap:

Aşağıda bu sorunun çözümünü temel kavramlardan adım adım ele alacağız. Ardından detaylı bir tablo sunacağız ve konuya ilişkin ek açıklamalar yapacağız.

Temel Kavramlar ve Hazırlık

  1. Toplam Yol (x): Aradığımız, Necati’nin gitmek istediği yolun tamamına “x” diyeceğiz.
  2. İlk Gidilen Kısım (1/5 x): Soruda, Necati önce yolun 1/5’ini kat ediyor.
  3. Kalan Yolun 1/3’ü: Birinci kısımdan sonra geriye (yolun toplamı – gidilen kısım) kalır. Necati, bu kalan kısmın 1/3’ünü gider.
  4. Kalan Mesafe: Geriye 32 km kalmış olduğu bilgisi verilir.

Bu tür sorularda en yaygın strateji, “x” değişkenini belirleyip hangi oranda ne kadar yol gidildiğini ve geriye ne kaldığını denklemlerle ifade etmektir. Ardından bulduğumuz denklemi çözerek x değerini elde ederiz.

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Yolun İlk Bölümü

  • Yolun toplam uzunluğu: x km
  • İlk gidilen kısım: yolun 1/5’i
    \text{Gidilen ilk kısım} = \frac{1}{5}x

Adım 2: Kalan Yolun Hesaplanması

Necati ilk 1/5’lik kısmı gittikten sonra geriye şu miktarda yol kalır:

x - \frac{1}{5}x = \frac{4}{5}x

Yani başlangıçtaki x yolundan 1/5 x çıkarınca 4/5 x kalır.

Adım 3: Kalan Yolun 1/3’ünü Gitme

Soruda ikinci aşamada “kalan yolun 1/3’ü” gidiliyor ifadesi var. Kalan yol 4/5 x olduğuna göre:

\frac{1}{3} \times \left(\frac{4}{5}x\right) = \frac{4}{15}x

Necati ikinci aşamada 4/15 x kadar yol kateder.

Adım 4: Şu Ana Kadar Gidilen Toplam Yol

  • Birinci aşamada gidilen yol: 1/5 x
  • İkinci aşamada gidilen yol: 4/15 x

Birleştirince gidilen toplam mesafe:

\frac{1}{5}x + \frac{4}{15}x = \frac{3}{15}x + \frac{4}{15}x = \frac{7}{15}x

Bu iki aşamanın sonunda toplam 7/15 x kadar yol gidilmiş olur.

Adım 5: Geriye Kalan Yol ve Denklemin Kurulması

Toplam yoldan gidilen kısmı çıkarırsak, geriye kalan yol şöyle olur:

x - \frac{7}{15}x = \frac{8}{15}x

Soruda bu kalan mesafenin 32 km olduğu söylenmiştir. Böylece denklemimiz şuna dönüşür:

\frac{8}{15}x = 32

Adım 6: x Değerinin Hesaplanması

\frac{8}{15}x = 32 \quad \Rightarrow \quad x = 32 \times \frac{15}{8} \quad \Rightarrow \quad x = 32 \times \frac{15}{8} = 32 \times 1.875 = 60

Demek ki yolun tamamı 60 km’dir.

Soru 4 İçin Özet Tablo

Adım İşlem/Terim Algebraik Gösterim
1. Yolun tamamı x —
2. İlk gidilen mesafe (yolun 1/5’i) 1/5 x 1/5 x
3. Kalan mesafe x - (1/5 x) 4/5 x
4. Bu kalan mesafenin 1/3’ünü gider (1/3) × (4/5 x) 4/15 x
5. Toplam gidilen mesafe (1/5 x + 4/15 x) 3/15 x + 4/15 x 7/15 x
6. Son kalan mesafe x - 7/15 x 8/15 x
7. Denkleme göre kalan mesafe 32 km 8/15 x = 32 x = 60
8. Yolun tamamı — 60 km

Cevap (Soru 4): Yolun tamamı 60 km’dir.

Soru 5: (Depo Problemi)

Bir deponun 4/5’i su doludur. Bu depoya 36 litre daha su eklendiğinde deponun 1/6’sı boş kalıyor. Buna göre deponun tamamı kaç litre su alır?
(A) 900 (B) 960 (C) 990 (D) 1080 (E) 1200

Cevap:

Aşağıda depo hacmiyle ilgili bu tip kesirli problemleri nasıl çözeceğimizi anlatıyoruz.

Temel Kavramlar ve Strateji

  1. Deponun Toplam Kapasitesi (x): Aradığımız değer, deponun bütünüyle kaç litre su aldığıdır.
  2. Başlangıç Doluluk Oranı (4/5 x): Depo ilk durumda 4/5 x kadar su içerir.
  3. 36 Litre Su Ekleninceki Doluluk: Son durumda, deponun yalnızca 1/6’sı boştur. Yani deponun 5/6’sı doludur.

Bu tür kesirli depo sorularında temel yaklaşım, başlangıçtaki miktarı yazıp üzerine ekleme (veya çıkarma) yapılınca, depodaki yeni kesirli durumu bir denklemle ifade etmektir.

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Bilinmeyenimizi Tanımlama

  • Deponun tamamı: x litre

Adım 2: Depodaki Başlangıç Suyu

  • Başlangıçta depo 4/5 doludur:
    \text{Başlangıçtaki su miktarı} = \frac{4}{5}x

Adım 3: 36 Litre Su Ekleninceki Durum

  • Depoya 36 litre ekleniyor:
    \frac{4}{5}x + 36
    su miktarı olur.

Adım 4: Yeni Doluluk Oranı

Soruda “depoya 36 litre eklendiğinde deponun 1/6’sı boş kalıyor” deniyor. Boş kalan 1/6 ise dolu olan kısım 5/6’dır. Yani depo (5/6) x kadar su içermektedir.

Dolayısıyla depoya su eklemiş halimizin (5/6) x olması beklenir:

\frac{4}{5}x + 36 = \frac{5}{6}x

Adım 5: Denklemi Çözme

Bu tip bir denklemde önce her iki taraftaki x’li ifadeleri düzenlemek için ortak paydayı ortadan kaldırmak yararlıdır. İsterseniz doğrudan adım adım çözebiliriz:

  1. Denklemi sadeleştirmek adına önce her iki tarafı 30 ile çarpalım (5 ve 6’nın ortak katı 30’dur):

[
30 \times \left(\frac{4}{5}x + 36\right) = 30 \times \frac{5}{6}x
]

  1. Sol tarafta:
    [
    30 \times \frac{4}{5}x = (30 \times 4)x / 5 = 120x / 5 = 24x
    ]
    Ayrıca 30 × 36 = 1080 olduğundan:
    [
    24x + 1080
    ]

  2. Sağ tarafta:
    [
    30 \times \frac{5}{6}x = (30 \times 5)x / 6 = 150x / 6 = 25x
    ]

Böylelikle denklem
[
24x + 1080 = 25x
]
haline dönüşür.

  1. x’i yalnız bırakmak için:
    [
    1080 = 25x - 24x = x
    ]
    Dolayısıyla x = 1080 bulunur.

Adım 6: Sonuç

x = 1080 olduğuna göre, deponun tamamı 1080 litre su almaktadır.

Soru 5 İçin Özet Tablo

Aşama Açıklama Matematiksel İfade
1. Toplam kapasite x litre x
2. Başlangıçtaki dolu kısım 4/5’i dolu 4/5 x
3. 36 litre eklenen miktar 4/5 x + 36 —
4. Son durumda boşluk 1/6 olduğundan Dolu kısım = 5/6 x 5/6 x
5. Kurulan denklem (4/5 x) + 36 = (5/6 x) —
6. Denklem çözümü 24x + 1080 = 25x (30 ile çarpıldıktan sonra) x = 1080
7. Depo kapasitesi — 1080 litre

Cevap (Soru 5): Deponun tamamı 1080 litre su alır.

Soru 6: (Sayı Problemi)

“Hangi sayının 2 katının 3 eksiğinin 1/5’i, aynı sayının 4 fazlasının 3 katının 1/7’sine eşittir?”
Verilen şıklar:
(A) –96 (B) –91 (C) –81 (D) –62 (E) –61

Cevap:

Bu tip sorularda dikkatli bir şekilde Türkçe ifadeyi matematiksel denkleme dönüştürürüz. Burada kritik nokta, “bir sayının 2 katının 3 eksiğinin 1/5’i” ifadesini doğru şekilde formüle etmektir.

Temel Kavramlar

  • Bilinmeyen (n): Aradığımız sayıdır.
  • 2 katının 3 eksiği: 2n – 3
  • (2 katının 3 eksiği) / 5: (2n – 3) / 5
  • Sayının 4 fazlasının 3 katı: 3(n + 4)
  • Bu ifadenin 1/7’si: [3(n + 4)] / 7

Sorumuzda bu iki ifade birbirine eşittir:

\frac{2n - 3}{5} = \frac{3(n + 4)}{7}

Adım Adım Çözüm

Adım 1: Denklemi Kurma

  1. “2 katının 3 eksiğinin 1/5’i” →
    \frac{2n - 3}{5}
  2. “Aynı sayının 4 fazlasının 3 katının 1/7’si” →
    \frac{3(n + 4)}{7}
  3. Eşitlik:
    \frac{2n - 3}{5} = \frac{3(n + 4)}{7}

Adım 2: İçler Dışlar Çarpımı

Kesir eşitliklerinde en yaygın teknik, içler-dışlar çarpımı yapmaktır:

7 \cdot (2n - 3) = 5 \cdot [3(n + 4)]

Adım 3: Dağıtma ve Toplama

  1. Sol taraf:
    7(2n - 3) = 14n - 21
  2. Sağ taraf:
    5 \times 3(n+4) = 15(n + 4) = 15n + 60

Bu durumda denklem:

14n - 21 = 15n + 60

Adım 4: n’i Yalnız Bırakma

  1. 14n’yi sağ tarafa veya 15n’yi sol tarafa geçirelim:
    14n - 15n = 60 + 21
    -n = 81
  2. Buradan
    n = -81

Adım 5: Yanıtın Doğrulanması

  1. Bulduğumuz n = –81.
  2. Sorudaki şıklara göre –81 seçeneği (C) şıkkıdır.
  3. Çoğu zaman soruda negatif bir sayıyı görmek alışılmadık gibi gelebilir ancak bu tarz cebirsel sorular sıkça negatif çözümlere de ulaşabilir.

Soru 6 İçin Özet Tablo

İfade Matematiksel Karşılığı
Sayımız n n
2 katının 3 eksiği (2n - 3) (2n - 3)
Bu ifadenin 1/5’i (2n - 3)/5
Sayının 4 fazlası (n + 4) (n + 4)
Bu değerinin 3 katı 3(n + 4) 3(n + 4)
3(n + 4)’ün 1/7’si [3(n + 4)] / 7
Kurulan temel denklem (2n - 3)/5 = [3(n + 4)] / 7
İçler dışlar çarpımı 7(2n - 3) = 5 × 3(n + 4)
Bulunan n değeri -81

Cevap (Soru 6): Aranan sayı = –81 (C şıkkı).

Daha Fazla Bilgi ve Ayrıntılı Açıklamalar

Aşağıda, üç soruya da ilişkin ek bilgileri, benzer örnekleri ve olası hatalara dair açıklamaları bulabilirsiniz. Bu kısımda problem çözüm yöntemlerini genel bir bakışla ele alacağız ve “kesir” ile “cebirsel denklem” temelli soruların nasıl sistematik şekilde çözülebileceğini genişçe tartışacağız.

1. Kesirli Yol Problemleri

  • Sık Yapılan Hata: Kalan yolun, “başlangıçtaki toplam yolun” hangi bölümüne karşılık geldiğini yanlış yorumlamak. Örneğin “kalan yolun 1/3’ünü tüm yolun 1/3’ü sanmak” bu tür hatalar arasında öne çıkar.
  • Öneri: “Kalan kısım”ın oransal değerini dikkatlice hesaplayarak bir sonraki adıma geçmek gerekir.

2. Depo Doluluk Oranı ve Artış/Azalış Problemleri

  • Benzer Örnek: “Bir depoda başlangıçta 2/3 oranında dolu su var, şu kadar eklenince ya da boşaltılınca hangi orana ulaşıyor?” gibi varyasyonlar sıkça çıkabilir.
  • Önemli Nokta: Daima boş olan kısmı mı, dolu olan kısmı mı verildiğini kontrol etmek gerekir; tam tersi yorum yapmak çözümleri saptırabilir.

3. Cebirsel Denklem Kurma ve Türkçe İfadeleri Denkleme Çevirme

  • Anahtar Kelimeler: “katı”, “fazlası”, “eksiği”, “oranı/kesiri”, “toplamı/carpımı” gibi kelimeler matematiksel modellere dönüşür.
  • Strateji: Türkçe metni önce parçalarına ayırmak, art arda gelen her kelimeyi (ör. 2 katının 3 eksiği) doğru sırayla dönüştürmek önemlidir.

Sık Karşılaşılan Ek Uyarılar

  1. İçler Dışlar Çarpımı: Kesirli eşitliklerde( a/b = c/d ) → a·d = b·c kuralı her zaman güvenilir bir kuraldır.
  2. Denklem Denetimi: Özellikle negatif çözümler söz konusu olduğunda, sorunun mantığıyla çelişen bir sonuç (örneğin, bir deponun hacminin negatif çıkması) akla gelebilir. Ancak “x = –81” gibi bir sayı, “kesirli bir denklem” veya “sözel problem”de geçiyorsa, bu durum “mantıksız” değildir; sorunun metninde fiziksel anlam aranmadığı (sadece cebirsel) durumlarda bu normaldir.
  3. Seçenekler: Çoktan seçmeli sorularda cevabın şıklar içinde bulunduğunu hızlı bir kontrol olarak kullanabilirsiniz.

Tüm Soruların Sonuçlarının Özeti

  • Soru 4 (Yol): Toplam yol = 60 km
  • Soru 5 (Depo): Deponun kapasitesi = 1080 litre
  • Soru 6 (Sayı Problemi): Aranan sayı = –81

Tablodaki gibi gösterirsek:

Soru No Soru İçeriği Çözüm Özet Sonuç
4 Necati, önce yolun 1/5’ini, sonra kalan 1/3’ünü gider; geriye 32 km kalır. Yolun tamamı nedir? Toplamın 1/5 + kalan 4/5’in 1/3’ü = 7/15 x gider, geriye 8/15 x = 32 → x=60 60 km
5 Bir deponun 4/5’i dolu. 36 litre eklenince deponun 1/6’sı boş kalıyor (5/6’sı dolu). Deponun kapasitesi? (4/5 x) + 36 = (5/6 x) denklemi → x=1080 1080 litre
6 (2n – 3)/5 = [3(n + 4)]/7 hangi n içinde geçerlidir? İçler dışlar çarpımı: 14n – 21 = 15n + 60 → n=–81 –81 (C şıkkı)

Kısa Bir Özet

  1. Yol Problemi (Soru 4): Kesirli ifadelerle gidilen ve kalan yolları takip ederken, son noktada kalan mesafenin kaç km olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyle “kalan” kesri bulup, oradan da toplam mesafeyi elde ediyoruz. Sonuç 60 km.
  2. Depo Problemi (Soru 5): Başlangıçta 4/5 dolu depo, eklenen 36 litreyle birlikte 5/6 dolu hale geliyor. Bu basit denklem çözümüyle deponun 1080 litre kapasitesi olduğu bulunuyor.
  3. Sayı Problemi (Soru 6): Sözel ifadelerden kurduğumuz (2n – 3)/5 = [3(n + 4)]/7 denklemi, –81 sonucuna götürüyor.

Bu üç problem de kesirleri doğru yorumlamak, denklem kurarken dikkatli olmak ve çözüme tablolarla, adım adım yaklaşmanın önemini gösteriyor.

Kaynaklar ve Önerilen Okumalar:

  1. MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) Ortaokul Matematik Ders Kitapları.
  2. TYT/AYT Matematik Konu Anlatımları (Güncel Yayınlar).
  3. OpenStax College Algebra (İngilizce).
  4. Çok çeşitli soru bankalarındaki kesir, oran-orantı ve cebirsel denklem soruları.

@Nazar1