Açısal Momentum Örnek Sorular
Açısal momentum nedir?
Açısal momentum, bir cismin dönme hareketi esnasındaki hareket miktarını ifade eden bir vektör büyüklüktür. Açısal momentum, doğrusal momentum gibi korunur, yani dış etki olmadıkça sistemin toplam açısal momentumu değişmez. Matematiksel olarak açısal momentum, L = I \cdot \omega formülü ile ifade edilir; burada L açısal momentum, I atalet momenti ve \omega açısal hızdır.
Örnek Soru 1: Dönmekte Olan Çubuk
Soru: Uzunluğu L = 2 \text{ m} ve kütlesi m = 3 \text{ kg} olan bir çubuk yatay düzlemde bir ucundan sabitlenerek 10 \text{ rad/s} sabit açısal hızla dönmektedir. Çubuğun açısal momentumu nedir?
Çözüm:
-
Atalet Momentini Bulma: Çubuğun atalet momentini I = \frac{1}{3}mL^2 formülü ile hesaplayabiliriz.
$$ I = \frac{1}{3} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{3} \times 3 \times 4 = 4 , \text{kg}\cdot\text{m}^2 $$
-
Açısal Momentumu Bulma: Açısal momentum L = I \cdot \omega formülü ile bulunur.
$$ L = 4 \times 10 = 40 , \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$
Çubuğun açısal momentumu 40 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}'dir.
Örnek Soru 2: Daire Çevresinde Dönmekte Olan Kütle
Soru: Yarıçapı r = 0.5 \text{ m} olan bir dairesel yörüngede 5 \text{ m/s} hızla dönen 2 \text{ kg} kütleli bir parçacığın açısal momentumu nedir?
Çözüm:
-
Açısal Hızı Bulma: Açısal hız \omega doğrusal hız v ve yarıçap r ile şu şekilde ilişkilendirilir: \omega = \frac{v}{r}.
$$ \omega = \frac{5}{0.5} = 10 , \text{rad/s} $$
-
Açısal Momentumu Bulma: L = m \cdot r^2 \cdot \omega formülü ile açısal momentum hesaplanır.
$$ L = 2 \times (0.5)^2 \times 10 = 2 \times 0.25 \times 10 = 5 , \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$
Dairesel hareket eden parçacığın açısal momentumu 5 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}'dir.
Örnek Soru 3: Katı Çekim Olan Diskin Açısal Momentumu
Soru: Yarıçapı R = 0.4 \text{ m}, kütlesi M = 6 \text{ kg} olan ve yatay bir eksen etrafında 8 \text{ rad/s} açısal hızla dönen bir diskin açısal momentumu nedir?
Çözüm:
-
Atalet Momentini Bulma: Bir diskin atalet momenti I = \frac{1}{2}MR^2'dir.
$$ I = \frac{1}{2} \times 6 \times (0.4)^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 0.16 = 0.48 , \text{kg}\cdot\text{m}^2 $$
-
Açısal Momentumu Bulma: Açısal momentum L = I \cdot \omega'dır.
$$ L = 0.48 \times 8 = 3.84 , \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$
Diskin açısal momentumu 3.84 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}'dir.
Açısal Momentumun Korunumu
Açısal momentumun korunumu, kapalı bir sistemde toplam açısal momentumun sabit kaldığını belirtir. Bu ilke, farklı durumlar arasında hız ve moment ilişkilerini anlamamıza yardımcı olur.
Örnek Soru 4: Patlayan Roket
Soru: Hareketsiz bir roket, patladıktan sonra iki parçaya ayrılır: biri 4 \text{ kg} ve diğer 6 \text{ kg}. İlk parça 10 \text{ m/s} hızla hareket ediyorsa, diğer parçanın hızını bulalım.
Çözüm:
-
Roketin Başlangıç Açısal Momentumunu Belirleme: Başlangıçta roket hareket etmediği için toplam açısal momentum sıfırdır.
-
Korunumu Kullanarak Diğer Parçanın Hızını Bulma: Açısal momentum korunumu gereğince, m_1v_1 = m_2v_2 denklemi kullanılır.
$$ 4 \times 10 = 6 \times v_2 $$
$$ 40 = 6v_2 $$
$$ v_2 = \frac{40}{6} \approx 6.67 \text{ m/s} $$
Diğer parça -6.67 \text{ m/s} hızla (ters yönde) hareket eder.
Örnek Soru 5: Dönüş Kipinde Buz Patencisi
Soru: Buz patencisi, kolları açık durumda 5 \text{ rad/s} açısal hıza sahipken, kollarını kapattığında 15 \text{ rad/s} hıza çıkıyor. Başlangıç momenti I_1 = 4 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 ise, yeni momenti nedir?
Çözüm:
-
İlk Durum Açısal Momentumu: L = I_1 \cdot \omega_1
$$ L = 4 \times 5 = 20 , \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$
-
Korunum ile Yeni Atalet Momentinin Hesaplanması:
$$ I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2 $$
$$ 4 \times 5 = I_2 \times 15 $$
$$ I_2 = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} , \text{kg}\cdot\text{m}^2 $$
Atalet momenti I_2 = \frac{4}{3} \, \text{kg}\cdot\text{m}^2 'dir.
Özet
- Açısal momentum formülü L = I \cdot \omega ile hesaplanır.
- Kapalı sistemlerde dış bir tork yoksa açısal momentum korunur.
- Farklı türdeki sorular örneğin bir çubuk, parçacık veya disk gibi nesnelerle açısal momentum hesaplamaları yapılabilir.
- Açısal momentum günlük hayatta dönme hareketine sahip pek çok dinamik sistemde kullanılır.