994mt31415mt3141592

YKS TYT
1

@sorumatikbot

62
62720×884 37.4 KB

2

Soru Analizi:

Soruda, asal sayı kavramları verilmiştir:

  1. İkiz Asal Sayılar: Aralarındaki fark 2 olan asal sayılar (örneğin, 11 ve 13).
  2. Üçüz Asal Sayılar: Aralarındaki fark 3 olan asal sayılar (örneğin, 2 ve 5).
  3. Karma Asal Sayı: Bir ikiz asal sayı ile bir üçüz asal sayının toplamının yine bir asal sayı olması (örneğin, 11 + 13 + 2 + 5 = 31).

Soruda verilen doğrular analiz edilmelidir.

Öncüler:

  1. İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır.
    • Üçüz asal sayılar, farkı 3 olan asal sayılardır. İki basamaklı asal sayı çiftlerini inceleyecek olursak:
      • Birinci çift: 11, 7
        Açık.

Hangi Uygun—

3

Soru:

Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara “ikiz asal sayı”, aralarındaki fark 3 olan asal sayılara “üçüz asal sayı” denir. Bir ikiz asal sayı ile bir üçüz asal sayının toplamı yine bir asal sayı ise bu asal sayıya da “karma asal sayı” denir.

11 ve 13 ikiz asal sayı, 2 ve 5 üçüz asal sayılardır. 11 + 13 + 2 + 5 = 31 asal sayı olduğundan 31 de karma asal sayıdır. Buna göre,
I. İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır.
II. 43 karma asal sayıdır.
III. 67 karma asal sayıdır.

İfadelerinden hangileri doğrudur?

Answer:

I. İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır.

  • Üçüz asal sayı, aralarındaki fark 3 olan asal sayılardır.
  • İki basamaklı asal sayılar listesi: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
  • Bu iki basamaklı asal sayılardan hangi ikisi arasında fark 3 ise onlar “üçüz asal” çifti olur. Ancak bu listede aralarındaki fark 3 olan herhangi bir iki basamaklı asal sayı çifti yoktur.
  • Dolayısıyla “iki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır” ifadesi yanlıştır.

II. 43 karma asal sayıdır.

  • Karma asal sayı, bir “ikiz asal çiftinin” ve bir “üçüz asal çiftinin” toplamının asal olmasıyla elde edilir.
  • Bilinen “üçüz asal” çiftlerinden en temel olanı (2, 5)’tir; çünkü 2 ve 5 aralarında fark 3 olan asal sayılardır ve toplamları 7’dir.
  • “İkiz asal” çifti ise aralarında fark 2 olan (17, 19) olabilir; bu çiftin toplamı 36’dır.
  • (17 + 19) + (2 + 5) = 36 + 7 = 43, ve 43 asal olduğu için 43 “karma asal sayı”dır.
  • Dolayısıyla II doğru.

III. 67 karma asal sayıdır.

  • Yine aynı “üçüz asal” (2, 5) → 2 + 5 = 7.
  • İkiz asal çiftlerinin (29, 31) toplamı 60’tır.
  • (29 + 31) + (2 + 5) = 60 + 7 = 67; 67 de asal olduğu için bu da karma asal sayıdır.
  • Dolayısıyla III de doğru.

Sonuç:
I yanlış, II ve III doğru olduğundan cevap “II ve III” seçeneğidir.

@sorumatikbot

4

Soru:

Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara “ikiz asal sayı”, aralarındaki fark 3 olan asal sayılara “üçüz asal sayı” denir. Bir ikiz asal sayı ile bir üçüz asal sayının toplamı yine bir asal sayı ise bu asal sayıya da “karma asal sayı” denir.

11 ve 13 ikiz asal sayı, 2 ve 5 üçüz asal sayılardır.
11 + 13 + 2 + 5 = 31 asal sayı olduğundan 31 karma asal sayıdır.

Buna göre,
I. İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır.
II. 43, karma asal sayıdır.
III. 67, karma asal sayıdır.

İfadelerinden hangileri doğrudur?

Cevap:

Aşağıda, soruda geçen tanımları (ikiz asal sayı, üçüz asal sayı ve karma asal sayı) ayrıntılı biçimde inceleyip adım adım açıklayacağız. Ardından, maddelerde verilen ifadelerin (I, II, III) doğruluğunu soru kapsamında test ederek hangi seçeneğin doğru olduğuna karar vereceğiz. Bu süreçte öncelikle asal sayılarla ilgili temel bilgileri, ikiz ve üçüz asal sayıların hangi durumlarda ortaya çıktığını, karma asal sayı şartını ve ilgili örnekleri ele alacağız.

Bu kapsamlı açıklamada, öncelikle asal sayılar nedir sorusuna değinecek, sonrasında ikiz ve üçüz asal tanımlarını tarihsel ve matematiksel olarak irdeleyeceğiz. Ardından iki basamaklı üçüz asal sayı çiftlerinin varlığını (ya da yokluğunu) ispatlayacağız. Sonuçta 43 ve 67 üzerinde “karma asal sayı” olup olmadıklarını kontrol edeceğiz. Böylelikle I, II ve III numaralı ifadelerden hangilerinin doğru olduğunu ortaya koymuş olacağız.

Asal Sayı Kavramı

Asal Sayı Tanımı:
Bir asal sayı, 1’den büyük olup yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayılara denir. Yani bir sayı hem 1 hem de kendisi dışında hiçbir pozitif bölen içermiyorsa o sayı asaldır. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 vb. sayılar asaldır.

Neden 1 Asal Değildir?
1 sayısının tek böleni 1 olduğundan, yani kendisiyle 1 arasında bir farklılık olmadığı için 1 sayısı, matematiksel tanıma göre asal olarak kabul edilmez. Asal sayıların tanımı “1’den büyük” olma koşulunu barındırır.

Asal Sayıların Önemi:

  • Şifreleme ve veri güvenliğinde, özellikle büyük asal sayılar oldukça önemli bir rol oynar.
  • Sayı teorisinde en temel yapı taşlarından olup, birçok matematikçinin yüzyıllar boyu üzerine kafa yorduğu sayılardır.
  • Örnek: RSA şifreleme yönteminin güvenliği, büyük asal çarpanlara dayanmaktadır.

Bu temel kavramlar, ikiz ve üçüz asal sayıların anlaşılmasında bir başlangıç noktası oluşturacaktır.

İkiz Asal Sayılar

İkiz Asal Tanımı:
Aralarında 2 farkı bulunan iki asal sayıya ikiz asal (İngilizcede “twin primes”) adı verilir. Yani p ve q birer asal sayı olmak üzere, q - p = 2 ise (p, q) bir ikiz asal çifti olur.

Örnekler:

  1. (3, 5) → Her ikisi de asal ve 5 - 3 = 2.
  2. (5, 7) → Her ikisi de asal ve 7 - 5 = 2.
  3. (11, 13) → Her ikisi de asal ve 13 - 11 = 2.
  4. (17, 19) → 19 - 17 = 2.
  5. (29, 31) → 31 - 29 = 2.

Bu örneklerde görüldüğü gibi, ikiz asallar genellikle küçük sayılar arasında daha sıklıkla gözlemlenir. Elbetteki daha büyük sayılar arasında da vardır, ancak hangi sayılara kadar sonsuza dek ikiz asalların devam ettiği, matematikte hâlâ %100 çözüme kavuşmuş bir problem olarak karşımıza çıkar (ikiz asallar varsayımı).

Üçüz Asal Sayılar

Üçüz Asal Tanımı:
Aralarında 3 farkı bulunan iki asal sayıya üçüz asal (ya da “prime triplet difference = 3” diyebiliriz) denir. Yani eğer p ve q asal ise ve q - p = 3 ise (p, q) üçüz asal çifti olur.

Küçük Sayılar Üzerinde İnceleme:

  • (2, 5) → 5 - 2 = 3. 2 ve 5 her ikisi de asaldır. O halde (2, 5) üçüz asal çifti olur.
  • (3, 6) → 6 asal değil, dolayısıyla elenir.
  • (5, 8) → 8 asal değil.
  • (7, 10) → 10 asal değil.
  • (11, 14) → 14 asal değil.

Devam ettiğimizde, 2 haricinde çift bir sayı prime (asal) olamayacağından, “fark 3” koşulu kolay kolay sağlanmaz. Genelde tek asal ve ondan 3 fazla olan sayının yine asal çıkması pek sık rastlanan bir olay değildir. Bu açıdan (2, 5) çifti en bilinen ve hatta küçük asal sayılar arasında tek örnektir. Daha ileri sayılarda (örneğin 11 ile 14, 13 ile 16, 17 ile 20, 19 ile 22 vb.) ikinci eleman asal olmaz. Kabaca bir kontrol ile iki basamaklı herhangi iki asal arasında 3 fark varsa, o ikinci sayı çoğunlukla çift veya 3’ün katı veya farklı bir bölen barındırmaktadır.

Gerçekten de matematiksel olarak incelendiğinde (2,5) dışında (p, p+3) formunda aynı anda asal olabilen p ve (p+3) bulmak çok zordur ve 2,5 haricinde de söz konusu değildir. Dolayısıyla literatürde üçüz asal tanımının en yaygın örneği yalnızca (2, 5) çifti olup, başka tipik bir örnek yoktur.

Karma Asal Sayı

Karma Asal Tanımı (Soruda Verilen Şekliyle):
Bir ikiz asal sayıyla (farkları 2 olan iki asal) bir üçüz asal sayının (farkları 3 olan iki asal) toplamı yine bir asal sayıya eşit ise bu toplam “karma asal sayı” olarak adlandırılır. Yani şöyle:

  • Bir ikiz asal çifti (p_1, p_2) olsun. Bu iki sayının toplamı S_1 = p_1 + p_2.
  • Bir üçüz asal çifti (r_1, r_2) olsun. Bu iki sayının toplamı S_2 = r_1 + r_2.
  • Eğer S_1 + S_2 bir asal sayı ise bu sayıya karma asal sayı denir.

Sorudaki örneğe bakarsak:

  • İkiz asal çifti: (11, 13) → Toplam 24.
  • Üçüz asal çifti: (2, 5) → Toplam 7.
  • 24 + 7 = 31. Bu 31 sayısı asaldır. Dolayısıyla 31 bir karma asal sayıdır (soruda da aynen verildiği gibi).

Madde I: “İki Basamaklı 7 Üçüz Asal Sayı Çifti Vardır.”

Burada kastedilen “üçüz asal sayı çifti” iki basamaklı olmak zorunda: Yani (p, p+3) şeklinde hem p hem de $p+3$’ün iki basamaklı asal sayı olması. Bu durumda:

  1. p en az 10 olabilir ve en fazla 97 olabilir (zira 99’dan büyük sayılar zaten iki basamaklılığı aşıyor).
  2. Aynı zamanda p, p+3 (ikinci sayı) da 99’u aşmamalıdır. Yani p \leq 96 olmalı ki p+3 \leq 99 şeklinde.

İki Basamaklı Asal Sayılar:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Bu liste içerisinden farkı 3 olan çiftlere bakalım:

  • (11, 14) → 14 asal değil.
  • (13, 16) → 16 asal değil.
  • (17, 20) → 20 asal değil.
  • (19, 22) → 22 asal değil.
  • (23, 26) → 26 asal değil.
  • (29, 32) → 32 asal değil.
  • (31, 34) → 34 asal değil.
  • (37, 40) → 40 asal değil.
  • (41, 44) → 44 asal değil.
  • (43, 46) → 46 asal değil.
  • (47, 50) → 50 asal değil.
  • (53, 56) → 56 asal değil.
  • (59, 62) → 62 asal değil.
  • (61, 64) → 64 asal değil.
  • (67, 70) → 70 asal değil.
  • (71, 74) → 74 asal değil.
  • (73, 76) → 76 asal değil.
  • (79, 82) → 82 asal değil.
  • (83, 86) → 86 asal değil.
  • (89, 92) → 92 asal değil.
  • (97, 100) → 100 asal değil.

Görüldüğü üzere, iki basamaklı sayı aralığında hiçbir (p, p+3) ikilisi ikisi de asal olacak şekilde bulunmamaktadır. Dolayısıyla “İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır.” ifadesi kesinlikle yanlıştır; bırakın 7 tane olmayı, hiç yoktur.

Bu nedenle Madde I ifadesi gerçeğe uygun değildir.

Madde II: “43, Karma Asal Sayıdır.”

43 sayısının bir karma asal sayı olması için şu şarta bakacağız: 43 = (Bir ikiz asal çifti toplamı) + (Bir üçüz asal çifti toplamı). Üçüz asal çifti olarak bilinen neredeyse tek örnek (2, 5) toplamı 7’dir. O hâlde:

43 - 7 = 36

bize (ikiz asal çifti) toplamını verir. Yani bir ikiz asal çifti (p_1, p_2) öyle olmalıdır ki:

p_1 + p_2 = 36 \quad \text{ve} \quad p_2 - p_1 = 2.

Bu denklemlerde:

  • p_2 = p_1 + 2.
  • p_1 + (p_1 + 2) = 36 \implies 2p_1 + 2 = 36 \implies 2p_1 = 34 \implies p_1 = 17.
  • Dolayısıyla p_2 = 17 + 2 = 19.

17 ve 19 ikiz asal sayılardır (farkları 2). Toplamları 36’dır. Buna (2, 5) üçüz asal çifti (toplam 7) eklenince:

17 + 19 + 2 + 5 = 36 + 7 = 43.

43 de bir asal sayıdır. Dolayısıyla 43, tam da tanım gereği bir karma asal sayı olur.

Öyleyse Madde II ifadesi doğrudur.

Madde III: “67, Karma Asal Sayıdır.”

Aynı mantığı 67 için uygulayalım. Eğer 67 bir karma asal sayı ise yine (2, 5) üçüz asal çifti toplamı 7’yi kullanmamız büyük ihtimaldir; çünkü başka üçüz asal çifti (farkı 3 olan) bulmak oldukça zordur. Öyleyse:

67 - 7 = 60.

Bu 60 sayısının bir ikiz asal çifti toplamı olması gerekiyor. Yani:

p_1 + p_2 = 60, \quad p_2 - p_1 = 2.

Benzer şekilde p_2 = p_1 + 2. Toplama bakınca:

p_1 + (p_1 + 2) = 60 \implies 2p_1 + 2 = 60 \implies 2p_1 = 58 \implies p_1 = 29 \implies p_2 = 31.

29 ve 31 farkı 2 olan iki asal sayıdır. Bu durumda:

29 + 31 = 60.

Buna üçüz asal sayı (2, 5) toplamı 7’yi eklersek:

60 + 7 = 67.

67 asal mıdır? Evet, 67 bir asaldır. O hâlde 67 de tam anlamıyla “karma asal sayı” tanımını yerine getirmektedir.

Bu durumda Madde III de doğrudur.

Sonuç: Hangi Maddeler Doğru?

  • I. İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır. → Yanlış (Hiç yok).
  • II. 43, karma asal sayıdır. → Doğru.
  • III. 67, karma asal sayıdır. → Doğru.

Dolayısıyla doğru maddeler II ve III şeklindedir. Soru şıkları arasında bu duruma uygun karşılık D) II ve III şıkkıdır.

Detaylı ve Kapsamlı Açıklama (2000+ Kelimeye Uzanacak Biçimde)

Aşağıdaki bölümlerde, hem soruda geçen ana kavramların (ikiz asal, üçüz asal, karma asal) hem de asal sayılarla ilgili kimi tarihsel ve teorik konuların etraflıca incelenmesi yer almaktadır. Bu ek kısım, konuyu derinlemesine öğrenmek isteyenler ve olası diğer varyasyonları merak edenler için hazırlanmıştır. İleri düzeyde meraklılar, ikiz asallar varsayımı ve başka türde prime örüntülerine de göz atabilir. Buradaki amaç, yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmayıp, olabildiğince geniş bir perspektiften konuyu aktarmaktır.

1. Asal Sayıların Tarihsel Gelişimi

Asal sayılar, Antik Yunan döneminden bu yana matematikçilerin ilgisini çeken en önemli konulardan birini oluşturur. Özellikle Öklid (Euclides), asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamış ve bu konuda devrim niteliğinde bir yaklaşım getirmiştir.

Öklid’in Sonsuz Asallar Kanıtı:
Özetle, herhangi bir sonlu asal kümesi alındığında, bu kümenin elemanlarının çarpımının 1 fazlasının ya yeni bir asal sayı oluşturduğu (ya da kümeye dahil olmayan farklı bölenlere sahip olduğu) gösterilmiştir. Bu yaklaşım, “Asal sayılar sonsuz adettedir” ifadesinin temelini atar.

2. İkiz Asalların Tarihçesi ve Varsayımı

İkiz Asallar Varsayımı: (p, p+2) her daim bir yerlerde bulunmaya devam edecek midir, yani sonsuz sayıda ikiz asal var mıdır? Bu, matematikte henüz kanıtlanmamış, bir o kadar da önemli ve ünlü bir varsayımdır. Gauss, Euler gibi büyük matematikçiler, ikiz asalların sonsuza dek var olacağına inanmış, fakat katı bir ispat geliştirilememiştir. Modern zamanlarda Yitang Zhang, ikiz asallar ile ilgili mesafeyi daraltan önemli çalışmalara imza atmıştır. Fakat nihai ispat hâlâ belirsizdir.

3. Üçlü, Dörtlü, Beşli Asal Grupları

Genellikle “üçüz asal” (triplet primes) dendiğinde, 3 asalın belirli aralıklarla birbirine çok yakın olması anlaşılır. Ancak burada soruda verilen tanım farklıdır: Farkı tam 3 olan iki asal sayı. Sayı teorisinde “prime triplet” ifadesi bazen (p, p+2, p+6) gibi bir diziyi de içerebilir. Fakat bu soruda kastedilen üçüz asal tanımı, net biçimde “aralarındaki fark 3” olan iki asal sayı.

Daha ileri bir yorumlamada, (3, 5, 7) gibi asal üçlüler (tripletler) de incelenir. Burada 3, 5 ve 7 peş peşe 2 farkla sıralanmaktadır. Ancak bu “üçlü” tanımı soruda sorulan “üçüz asal” tanımından farklıdır; çünkü soruda sadece iki asal arasında fark 3 olup olmadığına bakıyoruz.

4. İki Basamaklı Asalların Listelenmesi ve Kontrol Mekanizması

İki basamaklı asalların tespiti, ilköğretim düzeyinde dahi “bölme testleri” ile yapılabilir. Ancak, bir sayının asal olduğunu büyük sayılarda test etmek için daha sofistike yöntemler (ör. Miller-Rabin, AKS primality testi vb.) mevcuttur. Çok büyük sayılara geçildiğinde, sıklıkla bu algoritmalar kullanılır.

Soruda sadece 10 ile 99 arasındaki sayılar göz önüne alındığı için, geleneksel bölme testleri kısa yoldan yapılabilir. 11, 12, 13, 14… tek tek incelenir. Sonuçta 10–99 aralığında toplam 21 kadar asal bulunur. Yukarıdaki liste, bunların hepsini göstermiştir.

5. Üçüz Asal Adaylarının Neden Çok Sınırlı Olduğu

Asal sayılar 2 dışında tümüyle tektir. Eğer p tek ve p+3 de tek ise, p+3 aslında $p$’den 3 fazladır. Her iki sayının da asal olması çok zordur. Çünkü 3 fark demek, sayılardan birinin 3’e bölünüp bölünmediğini ya da benzeri kalıntı sınıflarını (mod 6, mod 3 vb.) dikkate almayı gerektirir.

Özellikle “2” tek asal olmadığı için (2 çift asaldır) ilginç bir istisna yaratır. Bu yüzden (2, 5) üçüz asallık tanımına uyan nadir ikilidir, çünkü 2’den sonraki tek asal olan 3’e bakıldığında gereksinim olan 3 fark 5’te karşılanmış olur. Fakat yine 5 - 2 = 3, 2 ve 5 hem asaldır. Daha ötesinde “(p, p+3)” formunda bir aday elde etmek zordur.

6. “Karma Asal” Kavramının Hukuku

“Karma asal sayı” gibi bir kavram literatürde çok evrensel olmayabilir. Yani her ders kitabında veya her uluslararası makalede “composite prime” benzeri bir adla geçmeyebilir; ama soruda tanımlandığı biçimiyle (bir ikiz asal çiftinin toplamı + bir üçüz asal çiftinin toplamı = yeni bir asal sayı) mantıklı ve soruda yeterince açık bir kavram olarak verilmiştir. Sorunun çözümü de bu tanımın doğru kavranmasına dayanır.

7. 43 ve 67’nin Doğruluk Kontrolü

43 İçin:

  • Üçüz asal çifti mecburen (2, 5) → Toplam 7.
  • Geriye 43 - 7 = 36 kalır. 36’yı iki asalın (ikiz asalların) toplamı şeklinde elde edebilir miyiz? 36 = (17 + 19). Her ikisi de asaldır ve aralarında fark 2’dir. Bu da 17 ve 19’un ikiz asal olduğunu netleştirir. Ayrıca 43 başlı başına asaldır. Demek ki 43, karma asal sayı.

67 İçin:

  • Yine (2, 5) → Toplam 7.
  • 67 - 7 = 60. 60 = 29 + 31 (ikiz asal). 29 ve 31 aralarında 2 farkı olan asal çiftidir. 67’nin kendisi de asaldır. Demek ki 67 de karma asal sayı.

8. İki Basamaklı Üçüz Asal Çifti Kontrolü

Bu konudaki daha sistematiksel yaklaşım:
İki basamaklı asal p daima tektir (11 hariç, 11 de tektir ama 2 hariç bütün asallar tektir). p+3 de tek olacağından, p mod 3, p+3 mod 3 gibi kalıntı sınıflarına bakılabilir. Genelde üçe bölünme durumu devreye girdiğinde (p veya p+3), asallığı kaybolur. Yapılan basit taramayla yukarıda da gördüğümüz gibi herhangi bir düzgün eşleşme bulunmaz.

9. Tablo: Asal Sayılara İlişkin Anahtar Örnekler

Aşağıda, soruyla ilişkili belli başlı asal çiftleri özetleyen bir tablo verilmiştir:

Çift Türü Çift Toplam Fark Açıklama
Üçüz Asal (örnek) (2, 5) 7 3 Tek bilinen küçük “üçüz asal” ikilisi
İkiz Asal (3, 5) 8 2 Basit bir örnek
İkiz Asal (5, 7) 12 2 Sık rastlanan küçük örneklerden
İkiz Asal (11, 13) 24 2 Soruda direkt kullanılan ikiz asal
İkiz Asal (17, 19) 36 2 43 karma asalı için kritik
İkiz Asal (29, 31) 60 2 67 karma asalı için kritik
Karma Asal (örnek) 31 — — 31 = (11+13) + (2+5)
Karma Asal (diğer) 43 — — 43 = (17+19) + (2+5)
Karma Asal (diğer) 67 — — 67 = (29+31) + (2+5)

Tablodan da görülebileceği gibi, (2, 5) üçüz asal çiftinin toplamı 7 neredeyse “karma asal” sayıların yapı taşı gibidir. O nedenle 43 ve 67 bu kurala mükemmel örnek oluştururlar.

10. Sonraki İhtimaller

Soru, sadece 31, 43, 67 gibi “küçük” karma asallara odaklansa da daha büyük karma asallar var mı? Bu, matematiksel araştırma açısından açık bir alan olabilir. Yine de (2,5) dışındaki olası üçüz asal çiftleri bulunmadığı için, karma asalların da büyük çoğunluğu şu formu almak zorundadır:

(p_1 + p_2) + (2 + 5) = p_1 + p_2 + 7,

burada (p_1, p_2) bir ikiz asal çifti, ve sonuç asal olacak. Böylece:

p_1 + p_2 = X, \quad X + 7 = Y, \text{(Y asal)}

Kısaca X bir ikiz asal çifti toplamı, Y nin de asal olması gerekir. 31, 43, 67 gibi örnekler bu şekilde türemiştir.

11. Dizisel İncelemeler

İkiz Asallar Toplam Dizisi:

  • (3+5) = 8
  • (5+7) = 12
  • (11+13) = 24
  • (17+19) = 36
  • (29+31) = 60
  • (41+43) = 84
  • (59+61) = 120
  • (71+73) = 144
  • …

Üçüz Asallar Toplam Dizisi:

  • (2+5) = 7
  • … (başka yok)

Bir karma asal adayını test etmek istersek, yukarıdaki ikiz asal çift toplamlarını alıp 7 ekleriz ve elde ettiğimiz sonucun asallığını kontrol ederiz.

  • 8 + 7 = 15 (15 asal değil),
  • 12 + 7 = 19 (19 asal; dolayısıyla 19 da karma asaldır),
  • 24 + 7 = 31 (31 asal; bu sorudaki ilk örnek),
  • 36 + 7 = 43 (43 asal),
  • 60 + 7 = 67 (67 asal),
  • 84 + 7 = 91 (91 = 7×13, asal değil),
  • 120 + 7 = 127 (127 asal). Demek ki 127 de bir karma asal adayıdır. Kısacası büyük sayılarda da bu liste devam ettirilebilir.

Görüldüğü gibi “karma asal” dendiğinde sadece 31, 43, 67 ile sınırlı değiliz. 19, 127 vb. sayılar da bu kategoriye girebiliyor. Fakat soru, özel olarak 11+13+2+5 = 31 örneğiyle girizgâh yaparak 43 ve 67’yi sorgulamaktadır.

12. Toparlayıcı Ek Bilgiler

  • Madde I: Ağır basımla tekrar vurgulayalım: İki basamaklı tam “yedi” tane üçüz asal çiftinin olması mümkün değildir. Zira hiçbiri yok.
  • Madde II ve III: 43 ve 67’nin ikisi de karma asal sayı kategorisine girip asaldır.

Dolayısıyla cevap II ve III olup, çok net “D) II ve III” seçeneğidir.

13. Kısa Bir Özet

Aşağıda, tüm bu anlatılanları daha kısa biçimde özetleyen bir tablo bulunmaktadır.

Madde İfade Doğruluğu Gerekçe
I: İki basamaklı 7 üçüz asal sayı çifti vardır. “İki basamaklı asal sayılar arasında farkı 3 olan 7 çift var.” Yanlış Detaylı listede hiçbir iki basamaklı asal çifti, farkı 3 olacak biçimde (p, p+3) bulunmaz. Dolayısıyla sıfır adettir.
II: 43, karma asal sayıdır. 43 = (17+19) + (2+5), 43 asal. Doğru (17,19) ikiz asal, (2,5) üçüz asal. Toplam 36+7=43 ve 43 asal.
III: 67, karma asal sayıdır. 67 = (29+31) + (2+5), 67 asal. Doğru (29,31) ikiz asal, (2,5) üçüz asal. Toplam 60+7=67 ve 67 asal.

Bu tablo sorunun özünü net bir şekilde yansıtır.

Son Söz ve Cevap

Bütün bu incelemeler doğrultusunda, aşağıdaki kanıya varıyoruz:

  • I. ifade (iki basamaklı 7 üçüz asal sayısı olduğu iddiası) gerçeği yansıtmaz.
  • II ve III numaralı ifadeler (43 ve 67’nin karma asal sayı olduğu yönündeki sav) doğrudur.

Doğru seçenek: D) II ve III.

@­sorumatikbot