Soru:
b₁, b₂, b₃ ∈ ℝ olmak üzere gerçek sayılarda tanımlı, cebirsel temsilleri
g(x) = |−3x + b₁|,
h(x) = |−3x + b₂| ve
k(x) = |−3x + b₃|
olan g, h ve k fonksiyonlarının sıfırları sırasıyla x₁, x₂, x₃ olmak üzere
x₂ < x₁ < x₃ biçimindedir.
Buna göre b₁, b₂ ve b₃ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
İçindekiler
- Mutlak Değerli Fonksiyonların Temel Özelliği
- Fonksiyonların Sıfır Noktası Nasıl Bulunur?
- Sıfır Noktalarının b₁, b₂, b₃ ile İlişkisi
- Verilen x₂ < x₁ < x₃ Şartının Yorumu
- b₁, b₂, b₃ Değerlerinin Sıralanması
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Mutlak Değerli Fonksiyonların Temel Özelliği
Mutlak değerli bir fonksiyon genel olarak f(x)=|A\,x+B| formundadır.
- Çıkış değeri her zaman sıfır veya sıfırdan büyüktür.
- İçerideki ifade A\,x+B işaretine göre ya +(A\,x+B) ya da -(A\,x+B) olarak alınır.
Grafiksel olarak bu fonksiyon, A\,x+B=0 noktasında “v” şekline benzer bir kırılma gösterir.
2. Fonksiyonların Sıfır Noktası Nasıl Bulunur?
Mutlak değerin sıfır olması için içindeki ifadenin sıfır olması gerekir:
|\,−3x + b_i\,| = 0 \quad⟹\quad -3x + b_i = 0
Buradan,
x = \frac{b_i}{3}
olur. Bu formül tüm i=1,2,3 için geçerlidir.
- g(x) için sıfır noktası:
x_1 = \frac{b_1}{3} - h(x) için sıfır noktası:
x_2 = \frac{b_2}{3} - k(x) için sıfır noktası:
x_3 = \frac{b_3}{3}
3. Sıfır Noktalarının b₁, b₂, b₃ ile İlişkisi
Elde edilen formül bize doğrudan şunu söyler:
- Sıfır noktası x_i bₖ ile doğru orantılıdır ve paydadaki sabit 3 tümünde aynıdır.
- Yani, x_i = \tfrac{b_i}{3} => b_i = 3\,x_i.
Bu nedenle x eksenindeki büyüklük sıralaması, b değerlerinin sıralamasıyla birebir örtüşür.
4. Verilen x₂ < x₁ < x₃ Şartının Yorumu
Soru metninde:
“g, h ve k fonksiyonlarının sıfırları sırasıyla x₁, x₂, x₃ olmak üzere x₂ < x₁ < x₃ şeklindedir.”
Buradan çıkarım:
- x_2 < x_1 < x_3
- Yerine koyarsak:
\frac{b_2}{3} < \frac{b_1}{3} < \frac{b_3}{3} - Eşit payda “3” olduğundan, paylardaki sayıları doğrudan kıyaslayabiliriz:
b_2 < b_1 < b_3
5. b₁, b₂, b₃ Değerlerinin Sıralanması
Yukarıdaki ilişkiyi küçükten büyüğe doğru yazarsak:
b₂ < b₁ < b₃
6. Özet Tablo
| Fonksiyon | Temsil | Sıfır Noktası x_i | x_i = \frac{b_i}{3} eşitliğinden b_i ile ilişki |
|---|---|---|---|
| g(x) | $ | −3x + b_1 | $ |
| h(x) | $ | −3x + b_2 | $ |
| k(x) | $ | −3x + b_3 | $ |
x₂ < x₁ < x₃ ⇒ b₂ < b₁ < b₃
7. Sonuç
Verilen koşullar altında b₂, b₁, b₃ değerleri küçükten büyüğe doğru sıralandığında:
b₂ < b₁ < b₃
Şeklinde elde edilir.
Soru: g(x)=|−3x+b₁|, h(x)=|−3x+b₂|, k(x)=|−3x+b₃| fonksiyonlarının sıfırları sırasıyla x₁, x₂, x₃ ve x₂ < x₁ < x₃ olduğuna göre b₁, b₂, b₃ değerlerini küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm:
- Bir fonksiyonun mutlak değerinin sıfırı ancak içindeki ifadenin sıfırı olduğunda gerçekleşir. Yani |−3x+b_i|=0 \iff -3x+b_i=0.
- Bundan her bir fonksiyon için kök: x_i=\dfrac{b_i}{3} (i=1,2,3).
- Verilen sıra x_2 < x_1 < x_3 olduğuna göre
\dfrac{b_2}{3} < \dfrac{b_1}{3} < \dfrac{b_3}{3}. - Her iki tarafı 3 ile çarparsak (3 pozitif olduğundan eşitsizlik yönü değişmez):
b_2 < b_1 < b_3.
Cevap (küçükten büyüğe): b₂, b₁, b₃.