7. Bir kutu sütün gerçek hacmine bağlı hata payını veren f fonksiyonu
Açıklama: Gerçek hacim x\in[175,185] ml olduğunda hata payı
f(x)=|x-180|
olarak tanımlanır.
a) Tanım ve görüntü kümeleri
-
Tanım kümesi (Domain):
D(f)=\{x\mid 175 \le x \le 185\}. -
Görüntü kümesi (Range):
Hata payı en az 0 ml, en çok 5 ml olabilir.G(f)=\{y\mid 0 \le y \le 5\}.
b) Cebirsel (mutlak değer) ifadesi
\boxed{f(x)=|x - 180|,\quad 175 \le x \le 185.}
c) Sıfır ve parçalı gösterim
-
Sıfır (kök):
f(x)=0\iff |x-180|=0\iff x=180. -
Parçalı tanım:
f(x)= \begin{cases} 180 - x, & 175 \le x < 180,\\ 0, & x = 180,\\ x - 180, & 180 < x \le 185. \end{cases}
ç) Grafiği
y
↑ ●(185,5)
| /
| /
| /
| /
| /
| ●(180,0)
| \
| \
| \
| \
| \
| ●(175,5)
└────────────────→ x
175 180 185
- Tepe noktası (vertex): (180,0)
- Uç noktalar: (175,5) ve (185,5)
d) Bire birlik (İnjektiflik)
- İnjektif mi?
Hayır. Çünkü örneğin f(175)=5 ve f(185)=5 olup farklı x değerlerinde aynı y değeri alınıyor.
Dolayısıyla bire bir değildir.
Özet Tablosu
| Madde | Sonuç |
|---|---|
| a) | D(f)=[175,185], G(f)=[0,5] |
| b) | $f(x)= |
| c) | Sıfır x=180, parçalı olarak yukarıda verildi |
| ç) | V-şeklinde grafik (vertex (180,0), uçlar (175,5),(185,5)) |
| d) | Bire bir değildir |
Ödev sorusu (özet): Bir kutunun nominal dolumu $180,ml; gerçek hacim [175,185]$ aralığında olabilir. Hata payını (ml) gerçek hacime bağlı olarak veren f fonksiyonunu bulunuz; tanım/görüntü kümeleri, cebirsel ifade (mutlak değer), sıfır ve parçalı gösterimi, grafiği ve bire-bir olup olmadığına bakınız.
Çözüm:
- Fonksiyonun yorumu ve ifadeye karar verme
- Hata payı, kutunun gerçek hacmi ile hedef $180,ml arasındaki mutlak farktır. Bu nedenle fonksiyon
f(x)=|x-180|
$
olarak alınır; burada x gerçek hacim (ml) olup x\in[175,185].
- a) Tanım ve görüntü kümeleri
- Tanım kümesi: D=[175,185] (verilen gerçek hacim aralığı).
- Görüntü (değer) kümesi: Hata en az 0 (tam isabet), en fazla 5 (175 veya 185 olduğunda). Yani görüntü f(D)=[0,5].
- b) Mutlak değer (cebirsel) ifade
- Zaten cebirsel olarak: f(x)=|x-180|.
- c) Sıfırın bulunması ve parçalı gösterim
- Sıfır için |x-180|=0 \Rightarrow x-180=0 \Rightarrow x=180. Yani fonksiyonun tek sıfırı x=180 (bu değer tanım kümesine dahildir).
- Parçalı (mutlak değerin açılımı) gösterim, tanım kümesi sınırları içinde:
f(x)=\begin{cases} 180-x, & 175 \le x \le 180,\\[4pt] x-180, & 180 \le x \le 185. \end{cases}
(Burada iki kolda da uçta x=180 için her iki ifade 0 verir; tek bir değer olarak alınır.)
- ç) Grafiğin açıklaması (nasıl çizilir)
- Grafikte V şeklinde bir doğru parçası olur. Tepe (vertex) noktası (180,0).
- Sol kola ait doğru: eğim -1, 175 noktasında değer f(175)=|175-180|=5 ⇒ sol uç (175,5).
- Sağ kola ait doğru: eğim +1, 185 noktasında değer f(185)=5 ⇒ sağ uç (185,5).
- Yani iki doğru parçası: birisi (175,5) ile (180,0) arası (doğru, eğim -1), diğeri (180,0) ile (185,5) arası (eğim +1). Grafiği kareli kağıda bu noktalarla bağlayarak çizersiniz.
- d) Bire-bir (injective) olup olmadığı
- Fonksiyon birden fazla farklı x için aynı y değerini verebiliyorsa bire-bir değildir. Örneğin f(175)=5 ve f(185)=5 fakat 175\ne185. Bu yüzden f tanım kümesi [175,185] üzerinde bire-bir değildir. (Ayrıca her y\in(0,5) için iki farklı x vardır: 180-y ve 180+y.)
Özet tablo
| Özellik | Sonuç |
|---|---|
| Tanım kümesi D | [175,185] |
| Görüntü kümesi f(D) | [0,5] |
| Fonksiyon formu | $f(x)= |
| Parçalı gösterim | f(x)=\begin{cases}180-x,&175\le x\le180,\\ x-180,&180\le x\le185.\end{cases} |
| Sıfır(lar) | x=180 |
| Grafiğin ana noktaları | (175,5),\ (180,0),\ (185,5) |
| Bire-bir mi? | Hayır (değil) |
İsterseniz ben bu grafiğin kareli kağıda çizilmiş hâlini ASCII veya basit bir görsel ile de ekleyebilirim. Yardımcı olayım mı?