Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Algoritmanın işleyişini ifade eden akış şeması adımları ve geometrik şekilleri şu şekildedir:
- Başla (Elips)
- Girdi Al: Kullanıcıdan bir S doğal sayısı alınır (Paralelkenar).
- Rakamlar Toplamını Hesapla: T = \text{rakamlar toplamı} işlemi yapılır (Dikdörtgen).
- Kalanı Bul: K = S \pmod T işlemi ile sayının rakamlar toplamına bölümünden kalan hesaplanır (Dikdörtgen).
- Karar: K = 0 mı? (Eşkenar Dörtgen / Baklava)
- Evet ise: Ekrana “Sayı Harshad sayısıdır.” yazdırılır (Paralelkenar).
- Hayır ise: Ekrana “Sayı Harshad sayısı değildir.” yazdırılır (Paralelkenar).
- Bitir (Elips)
Soru 2
Kısa cevap
Verilen sayıların Harshad sayısı olma durumlarının testi:
- 103 için: Rakamlar toplamı 1 + 0 + 3 = 4. 103 \div 4 işleminde kalan 3 \neq 0 olduğundan ekrana “Sayı Harshad sayısı değildir.” yazdırılır.
- 116 için: Rakamlar toplamı 1 + 1 + 6 = 8. 116 \div 8 işleminde kalan 4 \neq 0 olduğundan ekrana “Sayı Harshad sayısı değildir.” yazdırılır.
- 231 için: Rakamlar toplamı 2 + 3 + 1 = 6. 231 \div 6 işleminde kalan 3 \neq 0 olduğundan ekrana “Sayı Harshad sayısı değildir.” yazdırılır.
- 402 için: Rakamlar toplamı 4 + 0 + 2 = 6. 402 \div 6 = 67, kalan 0 olduğundan ekrana “Sayı Harshad sayısıdır.” yazdırılır.
- 514 için: Rakamlar toplamı 5 + 1 + 4 = 10. 514 \div 10 işleminde kalan 4 \neq 0 olduğundan ekrana “Sayı Harshad sayısı değildir.” yazdırılır.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Önermenin İspatı:
Dört basamaklı abcd doğal sayısı basamak değerlerine göre çözümlenir:
abcd = 1000a + 100b + 10c + d
İfade 9’un katı olan terimler ayrılarak düzenlenir:
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
abcd = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
Hipotezde a + b + c + d = 9x (x \in \mathbb{N}) verildiğinden yerine yazılır:
abcd = 9(111a + 11b + c) + 9x
abcd = 9(111a + 11b + c + x)
a, b, c, d, x \in \mathbb{N} olduğundan y = 111a + 11b + c + x ifadesi de bir doğal sayıdır. Böylece abcd = 9y (y \in \mathbb{N}) elde edilir. Dolayısıyla önerme doğrudur.
Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler Değerlendirmesi:
- Gerektirme (\Rightarrow): Hipotezin (a + b + c + d = 9x) doğruluğu kabul edilip matematiksel adımlarla hükmün (abcd = 9y) doğruluğuna ulaşıldığı için p \Rightarrow q gerektirmesi kanıtlanmıştır.
- Evrensel Niceleyici (\forall): İspat, tüm dört basamaklı abcd doğal sayıları için geçerli olan basamak çözümlemesine dayanır.
- Varlık Niceleyicisi (\exists): Çözümleme sonucunda abcd = 9y eşitliğini sağlayan en az bir y \in \mathbb{N} doğal sayısının var olduğu gösterilmiştir.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Algoritma (Algoritmik Doğal Dil):
- 1. adım: Başla.
- 2. adım: Kullanıcıdan dört basamaklı bir abcd doğal sayısı girmesini iste.
- 3. adım: Sayının rakamlar toplamını hesapla (T = a + b + c + d).
- 4. adım: Rakamlar toplamının 9’a bölümünden kalanı bul (K = T \pmod 9).
- 5. adım: Eğer K = 0 ise ekrana “Sayı 9’a tam bölünür.” yazdır. Değilse ekrana “Sayı 9’a tam bölünmez.” yazdır.
- 6. adım: Bitir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 146 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 148 →