Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Önerme: Her a \in \{1, 2, \dots, 9\} ve b, c \in \{0, 1, \dots, 9\} için n = 100a + 10b + c üç basamaklı doğal sayısı 8 ile tam bölünür ancak ve ancak 4a + 2b + c ifadesi 8’in bir katıdır.
İspat:
Üç basamaklı n doğal sayısının basamak açılımı n = 100a + 10b + c şeklindedir.
100a ve 10b terimleri 8’in katı olan çarpanlarına ayrılırsa:
100a = 96a + 4a = 8 \cdot (12a) + 4a
10b = 8b + 2b = 8 \cdot b + 2b
Bu ifadeler n sayısının açılımında yerine yazıldığında:
n = 8 \cdot (12a) + 4a + 8 \cdot b + 2b + c
n = 8 \cdot (12a + b) + (4a + 2b + c) elde edilir.
Burada 12a + b \in \mathbb{Z} olduğundan 8 \cdot (12a + b) terimi 8 ile tam bölünür. Dolayısıyla n sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için geriye kalan 4a + 2b + c toplamının da 8’in bir tam katı olması gerekir. Böylece önermenin doğruluğu ispatlanmış olur.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
- Mantık Bağlaçları: İspat sürecinde “ancak ve ancak” (\Leftrightarrow) çift yönlü koşullu önerme bağlacı kullanılmıştır. Sayının 8’e bölünmesi ile 4a + 2b + c toplamının 8’e bölünmesi arasındaki gerek ve yeter şart ilişkisi bu bağlaçla ifade edilir. Adımlar arası mantıksal geçişlerde ise “ise” (\Rightarrow) ve “ve” (\wedge) bağlaçlarından yararlanılır.
- Niceleyiciler: Evrensel niceleyici (\forall) kullanılarak durumun tüm üç basamaklı doğal sayılar için geçerli olduğu belirtilir (\forall n \in \mathbb{N}, 100 \le n \le 999). Varoluşsal niceleyici (\exists) ise 12a + b = k denkliğini sağlayan en az bir k \in \mathbb{Z} tam sayısının varlığını gösterir.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Üç basamaklı bir sayının 8’e tam bölünüp bölünmediğini denetleyen algoritmanın akış şeması adımları:
- Başla
- Girdi: Üç basamaklı n sayısını al.
- İşlem: Sayının yüzler basamağını a, onlar basamağını b, birler basamağını c olarak ayır.
- Hesaplama: T = 4 \cdot a + 2 \cdot b + c değerini hesapla.
- Koşul: T \bmod 8 = 0 mı?
- Evet ise: “Sayı 8’e tam bölünür.” yazdır.
- Hayır ise: “Sayı 8’e tam bölünmez.” yazdır.
- Bitir
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Önerme: \forall a > 0 için f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonu artandır.
İspat:
Artan fonksiyon tanımına göre tanım kümesindeki her x_1, x_2 \in \mathbb{R} için x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) olduğu gösterilmelidir.
- Tanım kümesinden x_1 < x_2 koşulunu sağlayan rastgele x_1, x_2 \in \mathbb{R} elemanları seçilsin.
- Önermede a > 0 (pozitif) olarak verilmiştir. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişmez:
x_1 < x_2 \Rightarrow a \cdot x_1 < a \cdot x_2 - Eşitsizliğin her iki tarafına aynı b \in \mathbb{R} gerçek sayısı eklendiğinde eşitsizliğin yönü korunur:
a \cdot x_1 + b < a \cdot x_2 + b - Fonksiyon kuralı f(x) = ax + b olduğundan eşitsizlikte yerlerine yazılırsa:
f(x_1) < f(x_2) elde edilir.
Böylece x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) sağlandığından \forall a > 0 için f(x) = ax + b fonksiyonunun artan olduğu ispatlanır.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
Cebirsel ispat adımlarının sözel ifadesi:
- Birinci Adım (Varsayım ve Tanım Kümesi): Tanım kümesinden biri diğerinden küçük iki gerçek sayı (x_1 < x_2) seçilir ve a katsayısının pozitif (a > 0) olduğu varsayımı esas alınır.
- İkinci Adım (Pozitif Çarpan Özelliği): Eşitsizlik kuralları uyarınca eşitsizliğin iki tarafı pozitif a sayısı ile çarpılır ve eşitsizliğin yön değiştirmediği belirtilir.
- Üçüncü Adım (Sabit Terim Eklenmesi): Eşitsizliğin her iki tarafına reel sayı olan b terimi eklenir ve sıralama ilişkisinin korunduğu ifade edilir.
- Dördüncü Adım (Sonuç Değerlendirmesi): Elde edilen ifadelerin fonksiyon değerlerine (f(x_1) ve f(x_2)) denk geldiği görülerek f(x_1) < f(x_2) bağıntısına ulaşılır ve fonksiyonun artan olduğu sözel olarak doğrulanır.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 137 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 139 →