Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Cebirsel İspat Adımları:
- 1. Adım: n \in \mathbb{Z} için x = 2n + 1 olsun. (x bir tek tam sayıdır.)
- 2. Adım: İfadenin her iki tarafının karesi alınır: x^2 = (2n + 1)^2
- 3. Adım: Tam kare ifadesi açılır: x^2 = 4n^2 + 4n + 1
- 4. Adım: İfade 2 parantezine alınır: x^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1
- 5. Adım: n bir tam sayı olduğundan 2n^2 + 2n ifadesi de bir tam sayıdır. Bu ifadeye k \in \mathbb{Z} denirse x^2 = 2k + 1 olur.
- 6. Adım: x^2 = 2k + 1 biçimindeki sayılar tek sayı tanımına uyduğundan, her tek tam sayının karesinin de tek sayı olduğu cebirsel olarak ispatlanmış olur.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
1. Algoritmik Doğal Dil:
- Adım 1: Başla.
- Adım 2: Bir x tam sayısı giriniz.
- Adım 3: x sayısının tek sayı olup olmadığını kontrol et (x \pmod 2 \neq 0). Eğer tek sayı değilse “Girilen sayı tek sayı değildir” yaz ve bitir.
- Adım 4: Sayının karesini al: y = x^2
- Adım 5: y sayısının 2 ile bölümünden kalanı bul (y \pmod 2).
- Adım 6: Kalan 1 ise “Girilen tek sayının karesi de tek sayıdır” yaz.
- Adım 7: Bitir.
2. Akış Şeması Adımları:
- [Başla] \rightarrow Şekil: Oval
- [Giriş: x sayısını al] \rightarrow Şekil: Paralelkenar
- [Karar: x mod 2 ≠ 0 mı?] \rightarrow Şekil: Eşkenar Dörtgen
- Hayır: [Yaz: “Sayı tek değil”] \rightarrow [Bitir]
- Evet: [İşlem: y = x²] \rightarrow Şekil: Dikdörtgen
- [Karar: y mod 2 = 1 mi?] \rightarrow Şekil: Eşkenar Dörtgen
- Evet: [Yaz: “Karesi tek sayıdır”] \rightarrow Şekil: Paralelkenar
- [Bitir] \rightarrow Şekil: Oval
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
-10 ile 10 arasındaki tek tam sayılar: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9.
- x = -9 \implies (-9)^2 = 81 = 2 \cdot 40 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = -7 \implies (-7)^2 = 49 = 2 \cdot 24 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = -5 \implies (-5)^2 = 25 = 2 \cdot 12 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = -3 \implies (-3)^2 = 9 = 2 \cdot 4 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = -1 \implies (-1)^2 = 1 = 2 \cdot 0 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = 1 \implies 1^2 = 1 = 2 \cdot 0 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = 3 \implies 3^2 = 9 = 2 \cdot 4 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = 5 \implies 5^2 = 25 = 2 \cdot 12 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = 7 \implies 7^2 = 49 = 2 \cdot 24 + 1 \rightarrow Tek sayı
- x = 9 \implies 9^2 = 81 = 2 \cdot 40 + 1 \rightarrow Tek sayı
Sonuç: Test edilen tüm değerlerde karesi alınan tek sayıların sonucu yine tek sayı çıkmış, algoritmanın doğru çalıştığı teyit edilmiştir.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
- Benzerlikler: Her iki yaklaşım da aynı mantıksal hipotez ve hüküm ilişkisini (x tek ise x^2 tektir) esas alır ve adım adım ilerleyen bir yapıya sahiptir.
- Farklılıklar:
- Cebirsel İspat: Tüm tam sayılar kümesini temsil eden sembolik değişkenler (n, x) kullanır. Genel ve evrensel bir kanıt sunar.
- Algoritma: Belirli girdiler üzerinde işlem adım sırasını, kontrol koşullarını ve veri akışını gösterir. Belirli örneklerle test etmeye ve adım adım çalıştırmaya dayanır.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
- Evrensel Niceleyici (\forall - Her): Önermedeki “Her tek tam sayı” ifadesi için tüm elemanları kapsayan genel bir kural ortaya koymak amacıyla kullanılır.
- Varlıksal Niceleyici (\exists - En az bir / Bazı): Tek sayı tanımı yapılırken (x = 2n + 1) bu eşitliği sağlayan en az bir n tam sayısının varlığını ifade etmek için gereklidir.
- Koşullu Önerme (\Rightarrow - İse Bağlacı): “Sayı tek sayı ise karesi de tek sayıdır” biçimindeki hipotez ve hüküm arasındaki neden-sonuç bağını kurmak için kullanılır.
- Mantık Bağlaçları ve Koşullar (Algoritmada): Algoritmadaki karar adımlarında (Eğer / Değilse) doğruluk değerine göre akışı yönlendirmek için mantıksal sınamalara ihtiyaç duyulur.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 135 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 137 →