Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
n tane bozuk para arasından kütlesi farklı olan 1 tanesini kesin olarak bulmak için paralar üç eşit (veya birbirine en yakın) gruba ayrılır. İki grup iki kefeli teraziye konulur:
- Kefeler dengede kalırsa kütlesi farklı para tartılmayan 3. gruptadır.
- Kefeler dengede kalmazsa kütlesi farklı para kefedeki gruplardan birindedir.
Her tartım adımında aranan para seçeneği 3 kat azaldığı için k tartım ile en fazla 3^k adet para kontrol edilebilir. Dolayısıyla n para için en az tartım sayısı k, 3^{k-1} < n \le 3^k eşitsizliğini sağlayan k doğal sayısıdır (k = \lceil \log_3 n \rceil).
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
3^{k-1} < n \le 3^k bağıntısına göre farklı n değerleri için en az tartım sayıları:
- n = 2 için: 3^0 < 2 \le 3^1 \implies 1 tartım
- n = 3 için: 3^0 < 3 \le 3^1 \implies 1 tartım
- n = 4 için: 3^1 < 4 \le 3^2 \implies 2 tartım
- n = 8 için: 3^1 < 8 \le 3^2 \implies 2 tartım
- n = 9 için: 3^1 < 9 \le 3^2 \implies 2 tartım
- n = 16 için: 3^2 < 16 \le 3^3 \implies 3 tartım
- n = 27 için: 3^2 < 27 \le 3^3 \implies 3 tartım
- n = 32 için: 3^3 < 32 \le 3^4 \implies 4 tartım
- n = 64 için: 3^3 < 64 \le 3^4 \implies 4 tartım
- n = 81 için: 3^3 < 81 \le 3^4 \implies 4 tartım
Tablo Değerleri:
- n = 2 \rightarrow 1
- n = 3 \rightarrow 1
- n = 4 \rightarrow 2
- n = 8 \rightarrow 2
- n = 9 \rightarrow 2
- n = 16 \rightarrow 3
- n = 27 \rightarrow 3
- n = 32 \rightarrow 4
- n = 64 \rightarrow 4
- n = 81 \rightarrow 4
Genelleme: k tartım ile çözülebilecek maksimum para sayısı 3^k kadardır. n sayısı 3^k sınırını aştığında tartım sayısı 1 artar.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
- Önerme 1: n tane bozuk para içinden kütlesi farklı olan 1 tanesini belirlemek için gereken en az tartım sayısı k, 3^{k-1} < n \le 3^k koşulunu sağlayan k pozitif tam sayısıdır.
- Önerme 2: Para sayısı n, 3’ün bir tam sayı kuvveti (3^k) olduğunda en az tartım sayısı tam olarak k olur; 3^k + 1 olduğunda ise en az tartım sayısı k+1 olur.
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
Algoritma Doğal Dil İfadesi:
- Adım 1: Başla.
- Adım 2: Para sayısını (n) gir ve tartım sayacını k = 0 yap.
- Adım 3: Eğer n \le 1 ise Adım 7’ye git.
- Adım 4: Paraları n_1, n_2, n_3 şeklinde 3 yakın gruba ayır (n_1 = n_2 = \lceil n/3 \rceil).
- Adım 5: n_1 ve n_2 gruplarını terazi kefelerine koy, tartım sayısını 1 artır (k = k + 1).
- Adım 6: Dengede ise n = n_3 yap; dengede değilse sorunlu grubun para sayısını n yap ve Adım 3’e dön.
- Adım 7: Ekrana “En az tartım sayısı: k” yaz ve Bitir.
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
Farklı n değerleri için uygulama:
- n = 5 için: 3^1 < 5 \le 3^2 \implies 2 tartım bulunur.
-
- Tartım: Paralar (2, 2, 1) şeklinde ayrılır. 2’şerli gruplar tartılır.
-
- Tartım: Şüpheli gruptan 1 tartım daha yapılarak farklı para bulunur.
-
- n = 20 için: 3^2 < 20 \le 3^3 \implies 3 tartım bulunur.
-
- Tartım: (7, 7, 6) ayrılır, 7 ve 7 tartılır.
-
- ve 3. Tartım: Şüpheli grup tekrar 3’e bölünerek toplam 3 adımda sonuca ulaşılır.
-
Karşılaştırma: Para sayısı katlanarak büyüse bile 3’lü gruplama algoritması sayesinde en az tartım sayısı logaritmik hızda (3^k katlarıyla) yavaş büyür.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 113 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 115 →