Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
a) 18-25 yaş aralığındaki yüzücülerin yarışı tamamlama süreleri:
- Barış: 57,32 sn
- Ayşe: 57,38 sn
- Azra: 57,67 sn
Yüzme yarışmasında süresi daha az olan yüzücü yarışı birinci bitirir. Gerçek sayılarda 57,32 < 57,38 < 57,67 olduğundan en küçük süreye sahip olan Barış birinci olmuştur. Burada gerçek sayılarda karşılaştırılabilirlik (tam sıralama) özelliği ve ondalık sayıların basamak değerine göre karşılaştırılması kullanılır.
b) Her bir yüzücünün süresine 2 saniye eklendiğinde yeni süreler:
- Barış: 57,32 + 2 = 59,32 sn
- Ayşe: 57,38 + 2 = 59,38 sn
- Azra: 57,67 + 2 = 59,67 sn
Sıralama 59,32 < 59,38 < 59,67 şeklinde kalır ve sıralama değişmez. Bu durum, gerçek sayılarda sıralamanın toplama özelliğine göre korunması ile açıklanır: a < b ise her c \in \mathbb{R} için a + c < b + c olur.
c) 26-35 yaş aralığındaki yüzücülerin süreleri:
- Özlem: 58,02 sn
- Batuhan: 58,15 sn
- Elif: 58,59 sn
Sadece saniye kısımları (tam kısımlar) dikkate alınıp virgülden sonraki saliseler ihmal edilirse üç yüzücünün de derecesi 58 saniye görünür. Bu durumda yüzücüler arasında bir sıralama yapılamaz ve derece farkları ayırt edilemez.
ç) 36-45 yaş aralığındaki yüzücülerin süreleri:
- Uğur (a): 57,88 sn
- Esra (b): 59,43 sn
- Engin (c): 59,75 sn
Burada a = 57,88 \le b = 59,43 ve b = 59,43 \le c = 59,75 eşitsizlikleri geçerlidir. Buradan a = 57,88 \le c = 59,75 olduğu görülür. Böylece sıralamanın geçişme özelliği (a \le b ve b \le c \implies a \le c) doğrulanmış olur.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
İki farklı irrasyonel sayı olarak a = \sqrt{2} \approx 1,414... ve b = \sqrt{3} \approx 1,732... sayılarını alalım.
Bu iki sayı arasında yer alan 5 tane irrasyonel sayı:
- \sqrt{2,1}
- \sqrt{2,2}
- \sqrt{2,3}
- \sqrt{2,4}
- \sqrt{2,5}
İnceleme: Bulduğumuz bu irrasyonel sayıların arasında da sonsuz sayıda başka irrasyonel sayı vardır. Gerçek sayılar kümesinde irrasyonel sayılar kümesi yoğundur; herhangi iki farklı irrasyonel sayı arasında her zaman başka irrasyonel sayılar bulunur.
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
A = \{x \mid x = 2 \cdot k + 1, k \in \mathbb{Z}\} kümesi tek tam sayılar kümesidir. Dört işleme göre kapalılık durumları şöyledir:
- Toplama İşlemi: İki tek tam sayının toplamı çift tam sayıdır. Örnek: 1 \in A ve 3 \in A için 1 + 3 = 4 \notin A. Dolayısıyla toplama işlemine göre kapalı değildir.
- Çıkarma İşlemi: İki tek tam sayının farkı çift tam sayıdır. Örnek: 5 \in A ve 3 \in A için 5 - 3 = 2 \notin A. Dolayısıyla çıkarma işlemine göre kapalı değildir.
- Çarpma İşlemi: İki tek tam sayının çarpımı yine bir tek tam sayıdır. (2k_1 + 1)(2k_2 + 1) = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1 \in A. Dolayısıyla çarpma işlemine göre kapalıdır.
- Bölme İşlemi: İki tek tam sayının bölümü her zaman tek tam sayı çıkmaz. Örnek: 1 \in A ve 3 \in A için \frac{1}{3} \notin A. Dolayısıyla bölme işlemine göre kapalı değildir.
Sonuç: A kümesi sadece çarpma işlemine göre kapalıdır; toplama, çıkarma ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir.
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 65 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 67 →