Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
Bir gerçek sayı aralığını veya aralıkların birleşimini mutlak değerli eşitsizlik olarak yazmak için aralığın orta noktası m = \frac{a+b}{2} ve yarıçapı r = \frac{b-a}{2} hesaplanır.
a) \left( \frac{11}{3}, \frac{19}{3} \right) açık aralığı:
- Orta nokta: m = \frac{\frac{11}{3} + \frac{19}{3}}{2} = \frac{10}{2} = 5
- Yarıçap: r = \frac{\frac{19}{3} - \frac{11}{3}}{2} = \frac{4}{3}
- Mutlak değerli eşitsizlik: |x - 5| < \frac{4}{3}
b) [\pi, 3\pi] kapalı aralığı:
- Orta nokta: m = \frac{\pi + 3\pi}{2} = 2\pi
- Yarıçap: r = \frac{3\pi - \pi}{2} = \pi
- Mutlak değerli eşitsizlik: |x - 2\pi| \le \pi
c) (-\infty, -1) \cup (7, \infty) dış açık aralığı:
- Dışarıda bırakılan bölgenin orta noktası: m = \frac{-1 + 7}{2} = 3
- Yarıçap: r = \frac{7 - (-1)}{2} = 4
- Mutlak değerli eşitsizlik: |x - 3| > 4
ç) \left( -\infty, -\frac{11}{6} \right] \cup \left[ -\frac{5}{6}, \infty \right) dış kapalı aralığı:
- Dışarıda bırakılan bölgenin orta noktası: m = \frac{-\frac{11}{6} + \left(-\frac{5}{6}\right)}{2} = -\frac{4}{3}
- Yarıçap: r = \frac{-\frac{5}{6} - \left(-\frac{11}{6}\right)}{2} = \frac{1}{2}
- Mutlak değerli eşitsizlik: \left| x + \frac{4}{3} \right| \ge \frac{1}{2}
Kısa cevap
- a) |x - 5| < \frac{4}{3}
- b) |x - 2\pi| \le \pi
- c) |x - 3| > 4
- ç) \left| x + \frac{4}{3} \right| \ge \frac{1}{2}
Soru 4
Örnek cevap / çözüm yolu
A = [-2, 13] ve B = (-4, 10] aralıkları için küme işlemleri:
a) A \cap B:
- Her iki aralıkta da yer alan ortak elemanlar kümesidir.
- Kesişim aralığı: [-2, 10]
- Cebirsel temsil: {x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 10}
- Sayı doğrusu gösterimi: -2 ve 10 noktaları dahil (içi dolu daire) olmak üzere aradaki doğru parçası çizilir.
b) A \cup B:
- İki aralıktaki tüm elemanların birleşimidir.
- Birleşim aralığı: (-4, 13]
- Cebirsel temsil: {x \in \mathbb{R} \mid -4 < x \le 13}
- Sayı doğrusu gösterimi: -4 noktası açık (içi boş daire), 13 noktası kapalı (içi dolu daire) olacak şekilde aradaki bölge çizilir.
c) A \setminus B:
- A kümasında olup B kümesinde bulunmayan elemanlardır.
- Fark aralığı: (10, 13]
- Cebirsel temsil: {x \in \mathbb{R} \mid 10 < x \le 13}
- Sayı doğrusu gösterimi: 10 noktası açık, 13 noktası kapalı olarak işaretlenip arası çizilir.
ç) B \setminus A:
- B kümesinde olup A kümesinde bulunmayan elemanlardır.
- Fark aralığı: (-4, -2)
- Cebirsel temsil: {x \in \mathbb{R} \mid -4 < x < -2}
- Sayı doğrusu gösterimi: -4 ve -2 noktaları açık (içi boş daire) olarak işaretlenip arası çizilir.
d) A':
- A kümesinin evrensel kümedeki (\mathbb{R}) tümleyenedir.
- Tümleyen aralığı: (-\infty, -2) \cup (13, \infty)
- Cebirsel temsil: {x \in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ veya } x > 13}
- Sayı doğrusu gösterimi: -2’den küçük ve 13’ten büyük bölgeler boyanır (noktalar açık).
e) B':
- B kümesinin evrensel kümedeki (\mathbb{R}) tümleyenedir.
- Tümleyen aralığı: (-\infty, -4] \cup (10, \infty)
- Cebirsel temsil: {x \in \mathbb{R} \mid x \le -4 \text{ veya } x > 10}
- Sayı doğrusu gösterimi: -4 ve daha küçük bölge (-4 dahil) ile 10’dan büyük bölge (10 açık) boyanır.
Kısa cevap
- a) A \cap B = [-2, 10] = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 10\}
- b) A \cup B = (-4, 13] = \{x \in \mathbb{R} \mid -4 < x \le 13\}
- c) A \setminus B = (10, 13] = \{x \in \mathbb{R} \mid 10 < x \le 13\}
- ç) B \setminus A = (-4, -2) = \{x \in \mathbb{R} \mid -4 < x < -2\}
- d) A' = (-\infty, -2) \cup (13, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ veya } x > 13\}
- e) B' = (-\infty, -4] \cup (10, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le -4 \text{ veya } x > 10\}
Soru 5
Örnek cevap / çözüm yolu
Pilotaj bölümüne kabul edilmek için gereken boy uzunluğu x (cm) ile gösterilsin. Problemde verilen alt sınır 165\text{ cm} ve üst sınır 195\text{ cm}'dir. Bu durum basit eşitsizlik olarak 165 \le x \le 195 şeklinde ifade edilir.
Bu aralığı mutlak değerli eşitsizliğe dönüştürmek için:
- Orta nokta: m = \frac{165 + 195}{2} = 180
- Yarıçap: r = \frac{195 - 165}{2} = 15
Eşitsizliğin her tarafından 180 çıkarılırsa:
Mutlak değer tanımından bu ifade |x - 180| \le 15 biçiminde yazılır.
Kısa cevap
|x - 180| \le 15
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 55 · 
Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 57 →