9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 1. Kitap Sayfa 190 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)

Ders Kitabı Cevapları ve Çözüm Rehberleri 9. Sınıf
, , ,
1

Soru 1

Örnek cevap / çözüm yolu

  1. adımda elde edilen değerler kullanılarak tablo şu şekilde doldurulur:

| |DB| |DC| |AB| |AC| |DB|+|DC| |AB|+|AC|
|—|—|—|—|—|—|—|
| Değerler | 5,4 cm | 7,6 cm | 17,6 cm | 10,7 cm | 13,0 cm | 28,3 cm |

Hesaplama ve Kontrol:

  • |DB| + |DC| = 5,4 + 7,6 = 13,0\text{ cm}
  • |AB| + |AC| = 17,6 + 10,7 = 28,3\text{ cm}

Elde edilen değerlere göre |DB| + |DC| < |AB| + |AC| olduğu görülür.

Soru 2

Örnek cevap / çözüm yolu

D noktası üçgenin iç bölgesinde farklı konumlara taşındığında [AB] ve [AC] uzunlukları sabit kalırken |DB| ve |DC| uzunlukları değişir.

Değişim Görselleme ve Örnek Tablo Değerleri:

  • 1. Konum (İlk Durum): |DB| = 5,4\text{ cm}, |DC| = 7,6\text{ cm} \rightarrow |DB|+|DC| = 13,0\text{ cm}
  • 2. Konum (A Köşesine Yakın): |DB| = 12,1\text{ cm}, |DC| = 8,5\text{ cm} \rightarrow |DB|+|DC| = 20,6\text{ cm}
  • 3. Konum (BC Kenarına Yakın): |DB| = 4,2\text{ cm}, |DC| = 7,3\text{ cm} \rightarrow |DB|+|DC| = 11,5\text{ cm}

D noktası iç bölgede nerede olursa olsun |DB| + |DC| toplamı değişir fakat her durumda |DB| + |DC| < |AB| + |AC| eşitsizliği korunur.

Soru 3

Örnek cevap / çözüm yolu

  • İlişkinin Doğruluğu: Tablo değerleri incelendiğinde, D noktası ABC üçgeninin iç bölgesinde kaldığı sürece |DB| + |DC| < |AB| + |AC| önermesi tamamen doğrudur.
  • D Noktasının A Noktası ile Çakışması Durumu: D noktası A noktası ile çakıştığında D = A olur. Bu durumda |DB| = |AB| ve |DC| = |AC| olacağından |DB| + |DC| = |AB| + |AC| eşitliği sağlanır. Yani eşitsizlik yerini tam eşitliğe bırakır.

Soru 4

Örnek cevap / çözüm yolu

Bu önerme, matematik yazılımı dışında geometrik üçgen eşitsizliği kullanılarak teorik olarak doğrulanabilir:

  1. BD ışını uzatılarak [AC] kenarını bir E noktasında kessin.
  2. ABE üçgeninde üçgen eşitsizliği yazılırsa:
    |AB| + |AE| > |BE| = |BD| + |DE| \quad \text{(1. Eşitsizlik)}
  3. DEC üçgeninde üçgen eşitsizliği yazılırsa:
    |DE| + |EC| > |DC| \quad \text{(2. Eşitsizlik)}
  4. (1) ve (2) eşitsizlikleri taraf tarafa toplanır:
    |AB| + |AE| + |DE| + |EC| > |BD| + |DE| + |DC|
  5. Eşitsizliğin her iki tarafından |DE| terimi çıkarılır ve |AE| + |EC| = |AC| olduğu göz önüne alınırsa:
    |AB| + |AC| > |BD| + |DC| \implies |BD| + |DC| < |AB| + |AC|

Böylece önerme teorik olarak da doğrulanmış olur.

Soru 5

Örnek cevap / çözüm yolu

Önerme: Bir üçgenin içinde alınan bir noktanın köşelere olan uzaklıkları toplamı, üçgenin çevresinden küçük, çevresinin yarısından büyüktür.

Üçgenin kenarları a, b, c, çevresi Ç = a + b + c ve iç noktası P olsun. P noktasının köşelere uzaklıkları x = |PA|, y = |PB|, z = |PC| olmak üzere doğrulanması gereken eşitsizlik:

\frac{Ç}{2} < x + y + z < Ç

1. Matematik Yazılımı (GeoGebra) İle Doğrulama:

  • Bir ABC üçgeni oluşturulur ve iç bölgesinde keyfi bir P noktası belirlenir.
  • [PA], [PB] ve [PC] doğru parçaları çizilip uzunlukları (x, y, z) ölçülür.
  • Üçgenin kenar uzunlukları ve çevresi (Ç) hesaplanır.
  • P noktası sürüklenerek hareket ettirildiğinde x + y + z toplamının daima \frac{Ç}{2} ile Ç arasında kaldığı dinamik olarak gözlemlenir.

2. Teorik İspat ve Kontrol:

  • Alt Sınır (\frac{Ç}{2} < x + y + z):
    APB, BPC ve CPA üçgenlerinde üçgen eşitsizliğinden:

    x + y > c
    y + z > a
    z + x > b

    Taraf tarafa toplandığında: 2(x + y + z) > a + b + c \implies x + y + z > \frac{Ç}{2} elde edilir.

  • Üst Sınır (x + y + z < Ç):
    Soru 4’teki teorik sonuç her köşe çifti için uygulanırsa:

    y + z < b + c
    x + z < a + c
    x + y < a + b

    Taraf tarafa toplandığında: 2(x + y + z) < 2(a + b + c) \implies x + y + z < Ç elde edilir.

Bu iki adım birleştirildiğinde \frac{Ç}{2} < |PA| + |PB| + |PC| < Ç önermesi tam olarak doğrulanmış olur.

Kitapta kolayca gezin

← Önceki sayfa: 189 · :blue_book: Matematik Ders Kitabı 1. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 191 →

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı 1. Kitap Sayfa 189 Cevapları ve Çözümleri (2025-2026)