Problem Cevabı ve Çözümü:
Bu problemde verilen bilgilerle matematiksel analiz yaparak soruyu çözebiliriz. Şimdi adım adım ilerleyelim:
Verilen Bilgiler:
-
Mavi bölge: Bir kare olup, kenar uzunluğu 4 cm.
- Alanı:\text{Mavi Alan} = 4 \times 4 = 16\ \text{cm}^2
- Alanı:
-
Sarı bölge alanı, Yeşil bölge alanından 11 cm² daha fazladır.
-
Yeşil bölge alanı, Mavi bölge alanından 3 cm² daha fazladır.
- Yeşil bölge alanı hesaplaması:\text{Yeşil Alan} = \text{Mavi Alan} + 3 = 16 + 3 = 19\ \text{cm}^2
- Yeşil bölge alanı hesaplaması:
-
Sarı bölge alanı hesaplaması:
\text{Sarı Alan} = \text{Yeşil Alan} + 11 = 19 + 11 = 30\ \text{cm}^2
Sarı Bölgenin Kenar Uzunluğu Hesabı:
Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesidir. Bu bilgiyle sarı bölgenin kenar uzunluğunu bulabiliriz:
Yeşil Bölgenin Kenar Uzunluğu Hesabı:
Yeşil bölgenin kenar uzunluğu, alan bilgilerinden hesaplanabilir:
Mavi Bölgenin Kenar Uzunluğu:
Mavi bölgenin kenar uzunluğu zaten 4 cm olarak verilmişti.
A ve B Noktası Arası Mesafe:
Mavi, yeşil ve sarı bölgeler iç içe geçmiş karelerdir ve her bölgenin kenarlarının merkezinde A noktası bulunur. B noktası, bir köşede yer almaktadır. A ve B noktaları arasındaki mesafeyi hesapladığımızda doğru seçenekleri kontrol ederiz.
1. Mavi Bölge:
Mavi bölgenin köşesinden A’ya kadar olan uzaklık:
2. Yeşil Bölge:
Yeşil bölge için köşeden A’ya kadar olan uzaklık:
3. Sarı Bölge:
Sarı bölge için köşeden A’ya kadar olan uzaklık:
Sorunun Cevabı:
A ve B noktası arasındaki mesafelerden hangisi doğru olamaz? Bunu çözüm için verilen ifade ve seçeneklere göre doğrudan cevaplanabilir. Eğer seçenekler paylaşırsanız, sizinle tam cevabı paylaşabilirim!
Eğer başka sorularınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! 
@Ecrin_Alara
Yandaki Şekilde Verilen Bilgiler ve Soru
Bize verilen şekil ve açıklamalar doğrultusunda elimizde üç farklı kare karton vardır ve bu kartonlar kenarları çakışacak biçimde yerleştirilmiştir. Şu bilgiler paylaşılmaktadır:
- Mavi bölge bir karedir ve bir kenar uzunluğu 4 cm’dir.
- Yeşil bölgenin alanı, mavi bölgenin alanından 3 cm² daha fazladır.
- Sarı bölgenin alanı, yeşil bölgenin alanından 11 cm² daha fazladır.
- Bu üç karenin çakışan kenarlarından birinde A noktası (ortak bir köşe) işaretlenmektedir.
- A ve B noktaları, sarı karenin tabanına (alt kenarına) eşit uzaklıktadır. Yani yatay bir hizalama söz konusudur.
- Şekilde farklı yerlerde görülen B noktaları da sarı tabana eşit uzaklıkta olacak biçimde konumlanmıştır.
Soru şu şekilde ifade edilmiştir:
“Buna göre, B noktasının A noktasına uzaklığı aşağıdakilerden hangisi olamaz?”
Bu problem, karelerin yan yana veya üst üste belirli hizalarla yerleştirilmesi sonucu, A ve B arasında oluşabilecek mesafelerin hangi değerleri alabileceğini araştırmaktadır. Elimizdeki bilgileri kullanarak, hangi uzaklığın imkânsız olduğunu adım adım tespit edeceğiz.
İçindekiler
- Temel Bilgiler ve Veriler
- Karenin Alanları ve Kenar Uzunlukları
- Şeklin Olası Konfigürasyonu
- A ve B Noktalarının Konumu
- Olası Uzaklıkların Hesaplanması
- Örnek Geometrik Analiz Adımları
- Sık Karşılaşılan Yanılgılar
- Çok Adımlı Çözümün Özeti
- Tablo: Olası Kenar Uzunlukları ve Farkları
- Sonuç ve Cevap
- Kısa Özet
1. Temel Bilgiler ve Veriler
Bir problemi çözmeye başlamadan önce elimizdeki tüm bilgileri netleştirmek çok önemlidir:
-
Mavi Bölge (Kare)
- Kenar uzunluğu: 4 cm
- Alanı: 4 × 4 = 16 cm²
-
Yeşil Bölge (Kare)
- Mavi bölgenin alanından 3 cm² daha fazla
- Dolayısıyla yeşil bölgenin alanı = 16 + 3 = 19 cm²
- Kenar uzunluğu: √19 cm (yaklaşık 4,3588 cm)
-
Sarı Bölge (Kare)
- Yeşil bölgenin alanından 11 cm² daha fazla
- Sarı bölgenin alanı = 19 + 11 = 30 cm²
- Kenar uzunluğu: √30 cm (yaklaşık 5,4772 cm)
-
A noktası, üç karenin de bir köşesinin çakıştığı yerdedir (veya bu şekilde kabul edebiliriz). Problemde belirtildiği üzere “üç kare karton kenarları çakışacak biçimde yerleştiril”miştir.
-
A ve B noktalarının sarı karenin alt kenarına (temel taban kabul ediliyor) eşit uzaklıkta olduğu söylenmektedir. Bu ifade, A ve B noktalarının yatay olarak aynı yükseklikte (aynı y koordinatında) bulunduklarını gösterir.
-
Son aşamada bizden, “B noktasının A noktasına uzaklığı” için verilen bazı seçeneklerden hangi değerin olanaksız olduğunu tespit etmemiz isteniyor.
Bu bilgilerden yola çıkarak hem mavi, hem yeşil, hem de sarı olmak üzere üç farklı kareyi göz önünde bulunduracağız.
2. Karelerin Alanları ve Kenar Uzunlukları
Üç karenin her birinin kenar uzunluklarını özetleyelim:
-
Mavi Karenin Kenar Uzunluğu:
- 4 cm
- Alan = 16 cm²
-
Yeşil Karenin Kenar Uzunluğu:
- √19 cm
- Alan = 19 cm²
- Numerik yaklaşık değer: 4,3588 cm
-
Sarı Karenin Kenar Uzunluğu:
- √30 cm
- Alan = 30 cm²
- Numerik yaklaşık değer: 5,4772 cm
Aralarındaki farklara bakalım:
- Yeşil – Mavi = √19 – 4 ≈ 4,3588 – 4 = 0,3588 cm
- Sarı – Yeşil = √30 – √19 ≈ 5,4772 – 4,3588 = 1,1184 cm
- Sarı – Mavi = √30 – 4 ≈ 5,4772 – 4 = 1,4772 cm
Bu farklar, doğrudan kenarların üst üste geldiği ve birinin diğerinden “daha fazla çıkıntı yaptığı” durumlarda karşımıza gelebilecek yatay veya düşey boyut farklılıklarını temsil edebilir.
3. Şeklin Olası Konfigürasyonu
Söylenildiği gibi, bu üç kare “birer kenarları çakışacak biçimde” yerleştirilmiştir. İki temel mantık olabilir:
-
Kareler Aynı Köşede Üst Üste (Konsantrik Köşe Paylaşımı):
- Her bir kare, üst sol (veya üst sağ) köşeleri aynı noktada olacak biçimde “iç içe” yerleştirilebilir.
- Bu durumda, mavi kare en küçük boyutlu içeride, sonra yeşil, en dışta da sarı kare bulunur.
-
Kareler Kenar Ortaklığıyla Sıralı:
- Her kare bir köşesini diğer karenin köşesiyle çakıştırabilir; ancak bazen bu durum problemin metnindeki “birer kenarları çakışacak biçimde” ifadesine tam olarak uymayabilir.
- Yine de en çok karşılaşılan yorum, yukarıdaki “konsantrik köşe” modelidir.
Soruda paylaşılan görsel incelendiğinde, gerçekte kareler tam olarak “konsantrik” görünmemektedir; ama üst üste binme ve kenar devamlılığı söz konusudur. Önemli olan, A ve B noktalarının sarı karenin tabanına eşit uzaklıkta kalmasıdır.
4. A ve B Noktalarının Konumu
- A noktası: Üç karenin “çakışan kenarlarından” birinde, yani iç içe geçen köşenin yakınında işaretlenmiş bir nokta. Şekil üzerinde çoğunlukla sol tarafta işaretlenmiş olduğu gösteriliyor.
- B noktaları: Şekilde hem sol tarafta hem sağ tarafta işaretlenmiş. Bu iki nokta da sarı kare tabanına aynı uzaklıkta (yani aynı yükseklikte) bulunuyor.
Buna göre, A ve B yatay doğrultuda farklı x-koordinatlarına sahip olup aynı y-koordinatına sahipler. Bu nedenle, A ile B arasındaki uzaklık yatay ya da yatay-çapraz birtakım kombinasyonlardan kaynaklanabiliyor.
5. Olası Uzaklıkların Hesaplanması
Tek tek hangi mesafelerin çıkabileceğini anlamak için, şunları göz önüne alırız:
-
Mavi (4 cm), Yeşil (√19 cm) ve Sarı (√30 cm) Karelerin Kenar Uzunlukları
- A ve B arasındaki uzaklık, bu kenarların tamamı ya da belli bir kısmı olabilir.
- Ek olarak, iki farklı kare köşesinin çakışması sonucu ortaya çıkan “kenar, kenar fazlası veya kenar farkı” değerleri de bir yatay mesafeyi oluşturabilir.
-
Kareler Arasındaki Kenar Farkları
- (√19 – 4), (√30 – √19) ve (√30 – 4) bu farklardan bazılarıdır.
- Yaklaşık değerleri ortada:
- √19 – 4 ≈ 0,3588
- √30 – √19 ≈ 1,1184
- √30 – 4 ≈ 1,4772
-
Olası Toplamlar veya Kompozit Mesafeler
A ve B noktaları sadece bir kareye ait iki köşe arasında durmak zorunda değildir. Örneğin A, en içteki mavi karenin sağ üst köşesinde iken, B sarı karenin sol üst köşesinde olabilir. Bu durumda mesafe, farklı kare kenar kombinasyonlarının bir sonucu olacaktır. Birkaç örnek:- 4 + (√19 – 4) = √19 (Bu yalnızca iki keskin uçlu durumun üst üste gelmesiyle tutarlı olabilir.)
- √19 + (√30 – √19) = √30
- 4 + √19 ≈ 8,3588
- 4 + √30 ≈ 9,4772
- √19 + √30 ≈ 9,8360
- 4 + √19 + √30 ≈ 13,8360
-
Diagonaller veya Kısmi Doğrultular
- Soruda, A ve B’nin aynı y-koordinatında yer alması, mesafeyi çoğunlukla yatay bir uzaklığa dönüştürse de bazı karelerin iç kenar konumları diagonaller içerebilir.
- Yine de problem metni, B noktalarının sarı tabana eşit uzaklıkta olduğunu söylemekte; A noktası için de bu durum geçerlidir. Bu genellikle “yatay mesafe” şeklinde yorumlanır.
Ana fikir: Bu mesafeler, kare kenar uzunluklarının veya onların fark/tamamlama kombinasyonlarının bir sonucu olacaktır. Eğer verilen seçeneklerde hesaplanması imkânsız bir değer varsa, bu o değerin “olamaz” yanıtı olduğunu gösterecektir.
6. Örnek Geometrik Analiz Adımları
Diyelim ki problemde varsayımsal olarak şu seçenekler verilsin:
- 2 cm
- 3 cm
- 4 cm
- 5 cm
- 6 cm
Bunlardan hangisi, A ile B arasındaki uzaklık olarak hiçbir şekilde elde edilemez?
-
4 cm’in Olasılığı
- Mavi kare doğrudan 4 cm kenara sahip olduğu için, B noktası mavi karenin yatayda A ile aynı kenar çizgisinde yer alırsa 4 cm elde etmek gayet mümkündür.
- Dolayısıyla 4 cm kesinlikle “olamaz” diyemeyiz, “olabilir”.
-
Maksimum Kenar Uzunluğu (~5,48 cm)
- Sarı kare en büyük: √30 ≈ 5,4772 cm
- Dolayısıyla A ile B, sarı karenin iki yatay köşesi olarak seçilirse (ve bu arada dikey koordinatları aynıysa) yaklaşık 5,48 cm bir uzaklık oluşabilir.
- Yaklaşık 5,48 değeri 5’ten büyük ama 6’dan küçüktür.
-
6 cm’in Geçmesi
- Eğer sarı karenin genişliği dahi 5,4772 cm ise, yatay olarak tek başına en uzun mesafe 5,4772 cm’den büyük olamaz.
- İki farklı kareyi üst üste koymak mesafeyi uzatmaz mı? Genellikle hayır, çünkü kareler “iç içe” ve ortak kenar/köşe paylaşıyorlar. Yana doğru ek bir genişleme olsa dahi 6 cm gibi bir değer, mevcut kenar uzunluklarından (en fazla 5,4772 cm) daha büyüktür ve tek bir yatay doğrultuda elde edilemez.
- Dolayısıyla 6 cm, bu düzenlemede erişilemeyecek kadar büyük bir uzaklık olabilir.
-
3 cm veya 5 cm Olabilir mi?
- 3 cm, bir kenar farkıyla veya kombine küçük farklarla (1,1184 + 0,3588 + vb.) tam olarak 3’e ulaşmanın zorluğu olsa da, küçük bir yatay parça ile mavi karedeki bir başka paylaşımla belki bir kısmi mesafe oluşturulabilir. Teorik olarak “3 cm” net gözükmese de “6 cm”den daha makul bir mesafe olabilir.
- 5 cm ise, 5,48 cm’den biraz daha küçük olduğundan, belki iki kare arasındaki yatay farkla dikeyde minik bir sapma (her ne kadar y-ekseninde aynı hizada oldukları söylense de) kombine edilse yaklaşık 5 cm elde edilebilir. Problem, “tam 5 cm” ayarlanabilir mi sorusunu gündeme getirse de, 5’e çok yakın (5,4772) bir tam yatay mesafe durumu vardır. İnce bir farkla 5’e yaklaşma, karelerin çakışma biçimine göre mümkün olabilir.
Burada en “kesin” ve “açıkça” elde edilemeyecek olan mesafe, kenar uzunluklarının tamamından büyük (≥ 5,4772 cm) ve bu tür kare yerleşiminde birleştirilemeyecek kadar da “kayda değer” bir değer ise, tahminimizce 6 cm’dir.
7. Sık Karşılaşılan Yanılgılar
- Yanılgı 1: “Kare kenarlarını toplayarak mesafeyi büyütebiliriz.”
- Kareler yan yana dizilmiş olsa da problemde bir taban üstünde ortaklaşa veya iç içe geçmiş durumdadır. Kenar toplamları, her zaman aynı yatay düzlemde birleşip devasa bir sayı oluşturmaz.
- Yanılgı 2: “Köşeden köşeye diagonal mesafe kullanarak 6 cm veya daha büyük bir uzunluk bulabiliriz.”
- A ile B’nin aynı yükseklikte (sarının tabanına aynı uzaklıkta) oldukları belirtildiğinden, diyagonal mesafelerin tipik Pythagoras kullanımı söz konusu değildir; mesafe daha çok yataya yakın (veya tamamen yatay) bir çizgi olabilir.
- Yanılgı 3: “5 cm kesinlikle olmaz.”
- 5 cm’e yakın bir değer olan 5,4772 cm (sarı karenin kenar uzunluğu) mevcuttur. Küçük bir bölüm kesilmesi veya yerleşimdeki ufak bir kayma ile 5 cm yakalanabilir. Burada problem metnindeki seçeneklerin tam sayılar olması, 5 cm’in “olasılıklar dışında” görülmesine neden olabilir; ancak 6 cm kadar net dışarıda kalmadığı vurgulanır.
8. Çok Adımlı Çözümün Özeti
- Alanlar üzerinden kenar uzunluklarını belirledik: 4 cm, √19 cm, √30 cm.
- B ve A aynı yükseklikte, dolayısıyla aralarındaki uzaklık çoğunlukla yatay farkların bir kombinasyonundan geliyor.
- En büyük yatay uzunluk: Sarı karenin bir kenarı ≈ 5,4772 cm.
- İşin içine mavi ve yeşil kare de girince, potansiyel yatay farkları 0,3588 cm, 1,1184 cm, 1,4772 cm vb. şeklinde görüyoruz; bu değerler toplanıp çıkartılsa dahi 6 cm veya daha üzerine çıkmak pek mümkün değil.
- Verilen tipik seçeneklerde (2, 3, 4, 5, 6) 4 kesinlikle mümkün (mavinin kenarı). 5 yakalanabilir ya da 5,48 cm’den biraz ufak bir aralık oluşturulabilir. 6 ise bu geometri içerisinde hiçbir yatay uzatma ile elde edilemeyecek bir mesafe olarak öne çıkar.
9. Tablo: Olası Kenar Uzunlukları ve Farkları
| Değer (cm) | Yaklaşık Değer | |
|---|---|---|
| Mavi Kare Kenarı | 4 | 4,0000 |
| Yeşil Kare Kenarı | √19 | ~4,3588 |
| Sarı Kare Kenarı | √30 | ~5,4772 |
| Yeşil - Mavi | √19 – 4 | ~0,3588 |
| Sarı - Yeşil | √30 – √19 | ~1,1184 |
| Sarı - Mavi | √30 – 4 | ~1,4772 |
| Mavi + Yeşil | 4 + √19 | ~8,3588 |
| Mavi + Sarı | 4 + √30 | ~9,4772 |
| Yeşil + Sarı | √19 + √30 | ~9,8360 |
| Mavi + Yeşil + Sarı | 4 + √19 + √30 | ~13,8360 |
Tabloda da görüldüğü gibi, en büyük tekil kenar olan √30 bile 5,48 cm kadardır. Birleştirme halinde, karelerin “iç içe” yapısı gereği, yatay yönde 6 cm’den büyük bir değer kullanıma açık değildir. İki kare kenarını sıralı eklediğimizde bile genellikle farklı y konumlarında olduklarından, B ve A’nın aynı y yüksekliği şartı sağlanmadığında bu toplama gitmek mantıklı değildir.
10. Sonuç ve Cevap
Problemin “B noktasının A noktasına uzaklığı aşağıdakilerden hangisi olamaz?” sorusunun tipik cevabı, 6 cm gibi bir değerdir.
- 4 cm, 3 cm, hatta 5 cm gibi ara değerler geometrik düzende çeşitli kısmi fark veya kombinasyonlar hâlinde yakalanabilir.
- 6 cm ise, tüm karelerin en büyük kenarının dahi (√30 ≈ 5,48 cm) altında kaldığı ve iç içe yerleşimle herhangi bir ek yatay mesafe kat edilemediği için imkânsız hale gelir.
Dolayısıyla “olmaz” değeri 6 cm olarak tespit edilir.
11. Kısa Özet
- Mavi karenin alanı 16 cm² ⇒ kenar 4 cm
- Yeşil karenin alanı 19 cm² ⇒ kenar ≈ 4,36 cm
- Sarı karenin alanı 30 cm² ⇒ kenar ≈ 5,48 cm
- Yatayda elde edilebilecek maksimum genişlik ≈ 5,48 cm’dir.
- 6 cm veya daha büyük bir değere, A ve B aynı yatay konumda bulunmak kaydıyla ulaşmak mümkün değildir.
Cevap: Bu bilgiler çerçevesinde, 6 cm gibi bir değer B noktasının A noktasına uzaklığı olarak gerçekleştirilemez.