Sorunun Çözümü:
Verilen Bilgiler:
- Şekil 1’de merdivenin eğimi \frac{3}{5}.
- Şekil 2’de merdivenin eğimi \frac{5}{3}.
- Şekil 2’de merdiven ile duvar arasındaki mesafe 90 cm (zemindeki yatay uzaklık).
- Merdivenin boyu değişmez.
Merdivenin eğimi, eğim = karşı kenar / komşu kenar formülüyle hesaplanır. Bu yüzden ilk duruma ve ikinci duruma göre merdivenin dikey uzunluğu (karşı kenar) ile yatay uzunluğu (komşu kenar) değişebilir.
1. Şekil 1 için Denklemi Kurma:
Şekil 1’de eğim formülü şu şekilde olur:
Burada:
- Dikey yükseklik: h_1
- Yatay mesafe: x
Eğim \frac{3}{5} olduğundan:
2. Şekil 2 için Denklemi Kurma:
Şekil 2’de merdivenin duvar ile arasındaki mesafe 90 + x olur çünkü Şekil 1’den itibaren yatay mesafe 90 cm artmış.
Şekil 2’de eğim şu şekilde hesaplanır:
Burada:
- Yeni dikey yükseklik: h_1 - h (çünkü merdiven yukarı doğru h kadar kaydırılmış),
- Yeni yatay uzunluk: 90 + x.
Eğim \frac{5}{3} olduğundan:
İlk şekilden h_1 = \frac{3}{5}x olduğunu biliyoruz. Bunu denklemde yerine koyacağız.
3. Denklemleri Birleştirerek Çözüm:
Yeni denklem şöyle olur:
Bu kuralı sadeleştirelim.
Adım 1: Çapraz çarpma yapalım:
Adım 2: Dağıtma işlemi yapalım:
Adım 3: Tüm terimlerden kurtulmak için 5 ile çarpalım:
Adım 4: Terimleri bir araya getirelim:
Adım 5: Her iki tarafı -15’e bölelim:
4. Yatay Mesafeyi (x) Bulmak:
İlk eğim denkleminden:
Yeni yükseklik:
Dolayısıyla h için sabit verileri yerine yerleştirme!
63. Soru: Merdivenin Duvar Boyama Konum Değişimi ve h Değeri
Soru (Özet):
Bir merdiven önce Şekil-1’deki gibi duvara dayalıdır ve bu konumdayken merdivenin eğimi 3/5 şeklindedir. Ardından usta, merdiveni tavana yakın bölgeyi boyamak için Şekil-2’deki konumuna getirir. Şekil-2’de merdivenin eğimi 5/3 olur, ayrıca merdivenin tabanı (duvar ile merdivenin alt ucu arasındaki yatay mesafe) 90 cm olur. Usta, merdiveni Şekil-1’den Şekil-2’ye getirirken merdivenin üst ucu düşeyde h cm değişmiştir. Buna göre h kaç cm’dir?
Cevap:
Aşağıdaki detaylı çözümde görüleceği gibi, merdivenin boyu iki farklı eğimde de (yani hem Şekil-1’de hem de Şekil-2’de) aynıdır. Eğim değerlerini ve Pythagoras Teorem’ini kullanarak yapılan hesap sonucunda h = 60 cm bulunur.
1. Giriş
Merdivenin bir duvara dayalı konumu, temel olarak bir dik üçgen problemini andırır. Duvar dikey, zemin yatay kabul edilir. Merdivenin boyu bu üçgenin hipotenüsü, duvar ile taban arasındaki uzaklık üçgenin yatay kenarı ve merdivenin ulaştığı yükseklik ise üçgenin dikey kenarıdır.
Burada iki kritik nokta vardır:
- Merdivenin boyu sabittir. Aynı merdiven farklı eğimlerle (farklı açılarla) duvara dayansa da merdivenin uzunluğu değişmeyecektir.
- Eğim (slope), bir dik üçgendeki “karşı kenar / komşu kenar” oranı (veya “dikey kenar / yatay kenar” oranı) olarak düşünülebilir. Soruda:
- Şekil-1’in eğimi = 3/5
- Şekil-2’nin eğimi = 5/3
Bu değerler, merdivenin üst ucunun yüksekliği (dikey kenar) ile tabanın duvara uzaklığı (yatay kenar) arasındaki oranları temsil etmektedir.
2. Merdiven ve Eğim Kavramının Açıklaması
2.1 Eğim Nedir?
Bir doğru ya da bir nesnenin eğimi, genelde “dikey uzaklığın yatay uzaklığa oranı” olarak tanımlanır. Matematikte eğim:
şeklinde ifade edilir.
2.2 Sorudaki Eğim Değerleri
- Şekil-1: Eğim = 3/5. Bu, “dikey uzunluk / yatay uzunluk = 3/5” demektir. Başka bir deyişle, merdivenin dikey kenarının uzunluğu yatay kenarının 3/5’ine eşittir.
- Şekil-2: Eğim = 5/3. Yani bu defa “dikey uzunluk / yatay uzunluk = 5/3”tür.
Önemli ayrıntı: Şekil-1’de merdiven yere daha yayvan (daha yatık) dururken, Şekil-2’de merdiven daha dik konuma gelmiştir.
3. Şekil-1’de Merdiven Boyu ve Kenarların Uzunluğu
3.1 Değişkenlerin Tanımı
- x_1: Merdivenin tabanının duvara uzaklığı (yatay mesafe) Şekil-1 için.
- y_1: Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği (dikey mesafe) Şekil-1 için.
- L: Merdivenin toplam uzunluğu (hipotenüs). Her iki şekilde de aynı değerdedir.
3.2 Eğim Denkleminden Çıkan Oranlar
Şekil-1’deki eğim = 3/5 ise:
Bu durumda, y_1 = \frac{3}{5} x_1 olur veya iki değişkene bir ortak katsayı (k) üzerinden yaklaşabiliriz:
- x_1 = 5k
- y_1 = 3k
Burada k pozitif bir sayı olup, hem yatay hem de dikey kenarların oranlarının sabitliğini ifade eder.
3.3 Pythagoras Teoremi Uygulaması
Merdivenin uzunluğu L sabit olduğuna göre:
Yukarıda x_1 = 5k ve y_1 = 3k dediğimizden,
Dolayısıyla,
Bu, Şekil-1’e ait bir denklemdir. (1) no’lu denklem olarak aklımızda tutalım.
4. Şekil-2’de Merdiven Boyu ve Kenarların Uzunluğu
4.1 Değişkenlerin Tanımı
- x_2: Şekil-2’de merdivenin tabanının duvardan uzaklığı (yatay mesafe). Soruda bu uzaklığın 90 cm olduğu özellikle belirtilmiştir. Yani x_2 = 90 cm.
- y_2: Şekil-2’de merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği (dikey mesafe).
- L: Merdivenin sabit uzunluğu (hipotenüs). Aynı L, Şekil-2 için de geçerlidir.
4.2 Eğim Denkleminden Çıkan İlişki
Şekil-2’de eğim = 5/3 verildiğinde,
x_2 = 90 cm olduğundan:
4.3 Pythagoras Teoremi Uygulaması
Merdivenin boyu yine L olduğuna göre:
Dolayısıyla,
5. Merdivenin İki Konumdaki Boylarının Eşitliği
Merdiven aynı olduğuna göre, Şekil-1 ve Şekil-2’de hesapladığımız L değerleri birbirine eşit olmalıdır:
- Şekil-1’de: L = \sqrt{34}\, k.
- Şekil-2’de: L = 10 \sqrt{306}.
Bu durumda:
Her iki tarafın karesini alarak ilerleyebiliriz ya da doğrudan bölerek $k$’yi buluruz:
(k pozitif bir uzunluk değeri olduğundan 30 olarak alınır).
Bu sonuç, Şekil-1’deki yatay ve dikey uzaklıkların:
- x_1 = 5k = 5 \times 30 = 150 \text{ cm}
- y_1 = 3k = 3 \times 30 = 90 \text{ cm}
olduğunu gösterir.
6. h Değerinin Bulunması
Soru metninde:
- “Mehmet usta merdiveni Şekil-2’deki konuma getirdiğinde merdiven h cm kadar yer değiştirmiştir.” ifadesiyle kastedilen, genellikle merdivenin üst ucunun (dikeyde) ne kadar yükseldiğini (veya alçaldığını) ifade eder.
- Şekil-1’de merdiven üst ucu yüksekliği: y_1 = 90 cm
- Şekil-2’de merdiven üst ucu yüksekliği: y_2 = 150 cm
Bu iki değer arasındaki fark:
Dolayısıyla merdivenin üst ucu 60 cm daha yükseğe çıkmıştır.
Sonuç: h = 60 \text{ cm}
7. Adım Adım Hesaplamaların Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda her iki şekil için hesaplanan değerler ve nihai sonucun nasıl elde edildiği adım adım gösterilmektedir:
| Adım | Değer/İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Şekil-1 Eğim | 3/5 | y_1 / x_1 = 3/5 |
| 2. Şekil-1 Değişken Tanımı | x_1=5k,\, y_1=3k | |
| 3. Şekil-1 Boy Hesabı (Pythagoras) | L^2 = x_1^2 + y_1^2 = 25k^2 + 9k^2 = 34k^2 | L = \sqrt{34}\,k |
| 4. Şekil-2 Eğim | 5/3 | y_2 / x_2 = 5/3 |
| 5. Şekil-2 Taban Uzaklığı | x_2 = 90 cm | |
| 6. Şekil-2 Yükseklik | y_2 = \frac{5}{3} \times 90 = 150 cm | |
| 7. Şekil-2 Boy Hesabı (Pythagoras) | L^2 = 90^2 + 150^2 = 30600 | L = 10\sqrt{306} |
| 8. Boyların Eşitliği | \sqrt{34}\,k = 10\sqrt{306} | |
| 9. k Değerini Bulma | 34k^2 = 30600 \implies k^2=900 \implies k=30 | |
| 10. Şekil-1 Kenarları | x_1 = 150 cm, y_1 = 90 cm | |
| 11. h Hesabı (Dikey Değişim) | h = y_2 - y_1 = 150 - 90 | 60 cm |
| Sonuç (h) | 60 cm |
8. Konunun Ayrıntılı İncelemesi ve Ek Açıklamalar (Uzun Anlatım)
Aşağıdaki bölümlerde, gerek trigonometri gerekse temel geometri bilgisinin merdiven problemlerine nasıl uygulandığı detaylı bir biçimde ele alınmaktadır. Bu kısım, soruyu çözerken kullanılan yöntemleri ve kavramları daha da derinlemesine anlamak isteyenler içindir.
8.1 Eğim ve Üçgen Orantıları
Merdivenle duvar arasındaki mesafeler, dik üçgenden hareketle Pythagoras Teoremi’ne tabidir. Eğim = (dikey kenar) / (yatay kenar) tanımında şöyle bir avantaj vardır:
- Bir dik üçgende benzerlik oranları kullanıldığında, yükseklik ve taban mesafesi aynı oranda ölçeklenir.
- “3/5” ve “5/3” gibi eğimli durumlar birbirinin adeta tersi konumlardır. İlkinde dikey kenar yatay kenarın 3/5’i kadarken, diğerinde tam tersi şekilde dikey kenar yatay kenarın 5/3’ünü bulur.
8.2 Aynı Hipotenüs (Merdivenin Sabit Boyu)
Bu tip sorularda en kritik nokta, merdivenin fiziksel uzunluğunun değişmeyeceğidir. Yani:
Bu bağıntı, iki farklı eğim durumunda da geçerli olup, soruyu çözmenin özünü oluşturur.
8.3 Değişen Konum ve Dikey Mesafe
Soruda “h” olarak ifade edilen mesafenin, çoğu zaman merdivenin tepe noktasındaki düşey yöndeki değişim olduğu vurgulanır.
- Eğer taban noktasıdır denilseydi soruda “h” tabanın yatay değişimi de olabilirdi. Ancak genellikle duvara dayalı bir merdiveni dikey olarak yükseltip alçaltma, “tepe noktası” üzerinden tanımlanır.
- Nitekim buradaki rakamlar incelendiğinde, Şekil-1’de üst noktanın yüksekliği 90 cm iken, Şekil-2’de 150 cm’e çıkmıştır. Dolayısıyla dikey artış 60 cm olarak bulunur.
8.4 Alternatif Trigonometrik Yaklaşım
Dileyenler, bu soruyu trigonometrik fonksiyonlarla da benzer şekilde çözebilir:
- Şekil-1 konumunda \tan(\theta_1) = 3/5, \quad \theta_1 = \arctan(3/5).
- Şekil-2 konumunda \tan(\theta_2) = 5/3, \quad \theta_2 = \arctan(5/3).
- Belli bir merdiven boyu L ve zemin açısının değişmesiyle, yine aynı Pythagoras hesaplarını trigonometrik yöntemlerle de teyit edebilirsiniz.
8.5 Gerçek Hayattan Uygulamalar
Bu tür bir problem, özellikle inşaat, tadilat, boyacılık gibi sektörlerde pratik olarak karşılaşılabilir. Merdivenin daha dik konuma getirilmesi, üst noktanın daha yüksek bir yere ulaşmasını sağlar; ancak aynı zamanda tabanın duvarla olan yatay uzaklığını azaltır. Hem güvenlik hem de erişilebilirlik açısından doğru açıların kullanılması önemlidir.
8.6 Hata Yapmaya Açık Noktalar
- Eğim tanımlarında yer değiştirip, “3/5” yerine “5/3” olarak kullanmak hatalara yol açabilir. Sorunu doğru okumak ve hangi durumda yatay / dikey kenarın hangi oranda olduğunu netleştirmek gerekir.
- Hangi mesafenin “h” olarak tanımlandığına dikkat edilmesi önemlidir. Bazı sorular h’nin yatay hareket mi yoksa dikey hareket mi olduğunu açıkça belirtir. Bu soruda genellikle “üst uç” kastedilmektedir.
9. Soruya Yönelik Ek Örnek ve Benzer Problemler
- Farklı Eğimler, Sabit Uzunluk: İki farklı eğimde duran bir merdiven, birinde tabanın yerleşimi bilindiğinde, diğerinde tepe uzaklığı bilindiğinde, her iki konumda da merdivenin uzunluğunun aynı olduğunu varsayarak benzer şekilde hesap yapılabilir.
- Sabit Yükseklik, Farklı Eğikler: Eğer merdivenin tepe noktası sabit bir tavana uzansa ama zemin kaygan olduğu için taban kayarak yatay mesafe düzenli değişse, yine Pythagoras Teoremi ve eğim kavramıyla benzer analizler yapılır.
Bu soru türlerini çözerken her zaman şu adımlar kullanılır:
- Belli oranda (eğim) ya da belli bir kenar uzunluğu üzerinden ifade üretme (örneğin 3k, 5k vb.).
- Merdivenin boyunun (hipotenüsün) değişmez olduğunu kullanarak eşitlikler kurma.
- İstenilen dikey veya yatay uzaklık değişimini bulma.
10. Sonuç ve Özet
- Şekil-1’de merdiven eğimi 3/5’tir. Bu oran bize, (yatay mesafe) = 5k ve (dikey mesafe) = 3k formunda bir üçgen olduğunu gösterir.
- Şekil-2’de ise eğim 5/3 olup, taban uzaklığı 90 cm diye verilmiştir. Böylece dikey mesafe 150 cm (5/3 × 90) çıkar.
- Merdivenin boyu iki konumda da aynı olduğu için, Pythagoras formülleriyle k = 30 cm bulunur. Bu sayede Şekil-1’deki konumda yatay uzaklık 150 cm, dikey uzaklık 90 cm şeklinde netleşir.
- Üst ucun dikey yer değiştirmesi (h): 150 cm - 90 cm = 60 cm.
En nihayetinde h = 60 cm bulunur.
Bu, merdivenin tepe noktasının Şekil-2 konumuna geçerken düşeyde 60 cm yükseğe çıktığını göstermektedir.
Soru:
Boyacı Mehmet usta evin duvarını boyadıktan sonra tavanı boyamak için merdiveni Şekil-2’deki konuma getirmiştir. Merdivenin Şekil-1’deki eğimi 3/5, Şekil-2’deki eğimi ise 5/3 olarak verilmiştir. Ayrıca Şekil-2’de merdiven ile duvar arasında yatay uzaklık 90 cm’dir. Merdivenin boyu değişmediğine göre, merdivenin üst ucu dikey doğrultuda h cm aşağı veya yukarı kaymıştır.
Buna göre, h kaçtır?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
1. Merdiven Boyu Sabit Olduğu için İki Durumda da Aynıdır
Merdiven uzunluğunu (L) bulmak için ikinci durumdan (Şekil-2) başlayalım.
- Şekil-2’de eğim = karşı kenar / komşu kenar = 5/3
- Yatay uzaklık = x₂ = 90 cm
Dolayısıyla dikey yükseklik (y₂) = (5/3) × 90 = 150 cm.
Merdivenin uzunluğu:
2. Birinci Durum (Şekil-1)
- Şekil-1’de eğim = 3/5 = y₁ / x₁.
- Merdivenin uzunluğu yine L = √30600’dür.
Dolayısıyla:
ve
Bu iki ifadeyi birleştirerek x₁’i bulalım:
Bu durumda
3. h Değerinin Belirlenmesi
- Şekil-1’deki yükseklik: y₁ = 90 cm
- Şekil-2’deki yükseklik: y₂ = 150 cm
- Aradaki fark:
Dolayısıyla merdivenin üst ucundaki değişim (h) 60 cm’dir.
Sonuç:
Şekil-2’de yatay mesafe 90 cm iken eğim 5/3 olduğundan dikey mesafe 150 cm bulunur. Merdivenin boyu sabit kaldığına göre, birinci durumdaki (3/5 eğimde) dikey yükseklik 90 cm’tir. İki yükseklik arasındaki fark 60 cm olarak bulunur.