4 tane eş ve 4 tane benzer çizin ama cetvele sonrasında neden eş ve benzer olduğu açıklayınız

YKS TYT
, ,
1

1000015776
1000015776720×960 63.3 KB

2

4 tane eş ve 4 tane benzer üçgen çizin ve neden eş ve benzer olduklarını açıklayın.

Görev Açıklaması ve İpuçları:
Bu ödev size üçgenlerin eşlik ve benzerlik kavramlarını öğrenmeniz/uygulamanız için verilmiştir. Aşağıdaki tüm detaylar, çizim ve açıklama kısmında size yol gösterecektir.

Eş ve Benzer Üçgenler Nedir?

Eş Üçgen:
İki üçgen, eş olduğu zaman;

  • Tüm kenar uzunlukları birebir aynıdır.
  • Tüm açı ölçüleri birebir aynıdır.

Benzer Üçgen:
İki üçgen, benzer olduğu zaman;

  • Açıları eşittir, ancak kenarları orantılıdır (orantı katsayısı sabittir).

Çizim için Adımlar

1. Araç Gereçler:

Bu görevde aşağıdaki malzemelere ihtiyaç duyabilirsiniz:

  • Cetvel
  • Pergel
  • Renkli Kalemler
  • Kağıt ve not defteri

2. Eş Üçgen Çizimi

Aşağıdaki özelliklere dikkat ederek 4 tane eş üçgen çizin:

  1. Birinci Eş Üçgen Örneği:

    • Kenar ölçüleri: 5 cm, 4 cm, ve 3 cm.
    • Açı ölçüleri: 90°, 60°, ve 30°.

  2. İkinci Eş Üçgen Örneği:

    • Aynı kenar ölçülerini ve açıları kullanarak başka bir üçgen daha çizin.

  3. Diğer iki üçgeni de aynı ölçülerle çizin.

Açıklama:
Eş üçgenlerin kenar ölçüleri ve açıları birebir aynı olduğundan, bu özellik ile birbirlerine eş olduklarını açıklayabilirsiniz.

3. Benzer Üçgen Çizimi

Aşağıdaki özelliklere dikkat ederek 4 tane benzer üçgen çizin:

  1. Birinci Benzer Üçgen Örneği:

    • Kenar ölçüleri: 6 cm, 8 cm, ve 10 cm.
    • Açı ölçüleri: 90°, 60°, ve 30°.
      (Bu üçgen ile aşağıdaki örnekler aynı açı, farklı büyüklüktedir.)

  2. İkinci Benzer Üçgen Örneği:

    • Kenar ölçülerini 1. Üçgenin orantılı katları olarak belirleyin. (Örneğin: 3 cm, 4 cm, ve 5 cm).

  3. Üçüncü ve Dördüncü Benzer Üçgen:

    • Farklı orantı katsayılarını (örn. 2 katına çıkartarak) kullanarak kenar uzunluklarını belirleyin.

Açıklama:
Benzer üçgenlerin açıları eşit, kenar uzunlukları orantılı olduğundan, bu özellik ile birbirlerine benzer olduklarını açıklayabilirsiniz.

Sonuç: Görevinizin Sunumu

  1. Çizimlerinizi tamamladıktan sonra üçgenlerin bilgilerini yazılı olarak açıklayın. (Kenar uzunlukları, açı ölçüleri, ve neden eş/benzer oldukları).
  2. Çalışmanızı düzenli kağıt üzerine geçirin ve verilen kurallar kapsamında öğretmenine teslim edin.

Not: Eğer “neden eş veya benzer olduklarını” daha detaylı bir şekilde açıklamak isterseniz, aşağıdaki matematik kavramlarından yararlanabilirsiniz:

  • Kenar-Açı-Kenar (KAK) Kuralı
  • Açı-Kenar-Açı (AKA) Kuralı
  • Kenarlardaki Oran Kuralı (Benzerlik).

Gerçek Görseller: Çizimlerinizi fotoğraflayıp paylaşabilirsiniz. Örnek çizimler veya daha fazla yardıma ihtiyacınız varsa buradan yazabilirsiniz!

@username

3

4 tane eş ve 4 tane benzer üçgen çizin ama cetvele sonrasında neden eş ve benzer olduğu açıklayınız

Answer:

Aşağıda adım adım hem 4 tane eş (kongruent) hem de 4 tane benzer üçgen hazırlamanız ve bunların neden eş ya da benzer olduğunu açıklamanız için bir rehber bulacaksınız. Bu etkinliği yaparken cetvel, varsa açıölçer ve pergel gibi araçlar kullanmanız önerilir.

Eş Üçgenler (Kongruent Üçgenler)

Eş (kongruent) üçgenler, bire bir aynı (aynı boyutlarda ve aynı açılarda) üçgenlerdir. Yani kenar uzunlukları ve açı ölçüleri tamamen aynıdır.

1. Eş Üçgenlerin Özellikleri

  • Kenar-Kenar-Kenar (KKK): Üçgenin üç kenar uzunluğu da aynıysa.
  • Kenar-Açı-Kenar (KAK): İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı ölçüleri aynıysa.
  • Açı-Kenar-Açı (AKA): İki açı ve bu açının arasındaki kenar aynıysa vb.

Bu koşullardan herhangi birini karşılayan iki üçgen, birbirine EŞ (kongruent) kabul edilir.

2. Eş Üçgen Çizimi Adımları

Aşağıdaki yöntemi kullanarak 4 tane eş üçgen çizebilirsiniz. Üçgenleri tek tek açıklıyoruz:

  1. Üçgen ABC’yi Çizin:

    • Bir cetvel yardımıyla istediğiniz uzunluklarda üç kenar belirleyin. Örneğin; AB = 5 cm, BC = 4 cm, CA = 3 cm.
    • Açıölçer veya pergel yardımıyla açıları doğru ayarlayarak ilk üçgeninizi çizin.
    • Çıkan üçgenin kenarlarını ölçün ve doğruluğundan emin olun.

  2. Aynı Ölçülerde İkinci Üçgen (A’B’C’) Çizin:

    • İlk üçgende kullandığınız kenar ölçülerini yeniden kullanın: A’B’ = 5 cm, B’C’ = 4 cm, C’A’ = 3 cm.
    • Kenarları aynı olacak şekilde bir üçgen daha oluşturun.

  3. Benzer Teknikle Üçüncü ve Dördüncü Üçgen (A”B”C”, A‴B‴C‴) Çizin:

    • Aynı kenar uzunluklarını tekrar kullanarak toplamda 4 tane eş üçgen oluşturun.

  4. Neden Eş Olduklarını Açıklama:

    • Tüm üçgenlerin üç kenarları birebir aynıdır (örneğin 5 cm, 4 cm, 3 cm).
    • Hepsinin kenar ölçüleri ve dolayısıyla açı ölçüleri eşit olacağı için bu 4 üçgen kongruenttir (eş üçgendir).

Benzer Üçgenler

Benzer üçgenler, açıları aynı ancak kenar uzunlukları orantılı (farklı çarpanla büyüyüp küçülmüş) olan üçgenlerdir.

1. Benzer Üçgenlerin Özellikleri

  • Üçgenlerde tüm açıların ölçüleri eşit olmalıdır.
  • Karşılık gelen kenarların uzunlukları orantılı olmalıdır. Örneğin, bir üçgende kenarlar 3, 4, 5 cm ise; benzeri olan başka bir üçgende kenarlar 6, 8, 10 cm olabilir (iki katı).

2. Benzer Üçgen Çizimi Adımları

Şimdi de 4 tane benzer üçgen çizerek neden benzer olduklarını gösterelim:

  1. İlk Üçgen (XYZ):

    • Örneğin, yoklama amaçlı bir dik üçgen çizin: XY = 3 cm, YZ = 4 cm, XZ = 5 cm (3-4-5 üçgeni).
    • Açılarını ölçüp not edin (aradaki açılar yaklaşık 90°, 53°, 37° olacaktır).

  2. İkinci Üçgen (X’Y’Z’):

    • Kenarları önceki üçgenin belli bir katı olacak şekilde seçin. Mesela XY = 3 cm → X’Y’ = 6 cm; YZ = 4 cm → Y’Z’ = 8 cm; XZ = 5 cm → X’Z’ = 10 cm. Yani her kenarın uzunluğu 2 katına çıktı.
    • Açıları yine 90°, 53°, 37° civarında kalır, çünkü kenarların oranı aynı (3:6 = 1:2, 4:8 = 1:2, 5:10 = 1:2).

  3. Üçüncü ve Dördüncü Benzer Üçgen (X”Y”Z”, X‴Y‴Z‴):

    • İster yine 3-4-5 oranını sürdürün, farklı bir oranda büyütüp küçültebilirsiniz (örneğin 9, 12, 15 veya 1.5, 2, 2.5 gibi).
    • Hepsinde açılar aynı olduğundan benzerlik bozulmaz.

  4. Neden Benzer Olduklarını Açıklama:

    • Tüm üçgenlerin açıları eşit (hepsi 90°, 53°, 37° vb.).
    • Kenar uzunlukları birbirine sabit bir oranla bağlı (örnek: 3:6:9 …, 4:8:12 …, 5:10:15 …).
    • Dolayısıyla bu dört üçgen benzer üçgen olarak adlandırılır.

Özet ve Sonuç

  1. Eş (Kongruent) Üçgenler:

    • Her üçgenin kenar ölçüleri tamamen aynı olduğundan, bu üçgenlerin hepsi aynı boyutlarda ve açılarda olur.

  2. Benzer Üçgenler:

    • Açıları aynı fakat kenar uzunlukları arasında sabit bir oran bulunduğundan, üçgenler şekilsel olarak aynı görülür ancak farklı büyüklüktedir.

Bu şekilde 4 tane eş üçgen ve 4 tane benzer üçgen çizdikten sonra, cetvel ve açıölçer yardımıyla kenarları ve açıları ölçerek her grubun neden eş veya neden benzer olduğunu kolayca kanıtlayabilirsiniz.

Kaynak/Referans Önersi:

  • MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) 9. Sınıf Matematik Ders Kitabı, “Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik” Üniteleri.
  • Açık Lise Geometri, “Eşlik ve Benzerlik Konuları.”

@User

4

4 Tane Eş ve 4 Tane Benzer Üçgen Çizme ve Açıklama

Soru:
“4 tane eş ve 4 tane benzer üçgen çizin ama cetvel ve diğer geometrik araçları kullanarak bu üçgenlerin neden eş ve benzer olduğunu açıklayınız.”

Cevap:
Aşağıda, eş (congruent) ve benzer (similar) üçgenlerin tanımını, çizim aşamalarını ve neden bu şekilde olduklarına dair kapsamlı açıklamaları bulacaksınız. Ayrıca her adımda, hangi geometrik araç ve yöntemleri kullanabileceğinize dair ipuçları verilmektedir. Bu çalışma ile önce 4 tane eş üçgen, ardından 4 tane benzer üçgen oluşturacağız ve her birinin eşlik/benzerlik koşullarını nasıl sağladığını detaylıca inceleyeceğiz.

Eş ve Benzer Üçgen Kavramları

Eş (Congruent) Üçgenler Nedir?

  • Tanım: İki üçgenin tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları bire bir aynı ise bu üçgenler eş (congruent) olarak adlandırılır. Eş üçgenler, biri diğeri üzerine tam olarak oturacak şekilde üst üste getirilebilir.
  • Önemli Koşullar (Eşlik Kriterleri):
    1. SSS (Side-Side-Side): Üç kenar da birbirine eşit ise.
    2. SAS (Side-Angle-Side): İki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüleri aynı ise.
    3. ASA (Angle-Side-Angle): İki açı ve bu açıların arasında kalan kenar uzunlukları aynı ise.
    4. AAS (Angle-Angle-Side): İki açı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın uzunluğu aynı ise.

Benzer (Similar) Üçgenler Nedir?

  • Tanım: İki üçgenin sadece açı ölçüleri aynı, ancak kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzer (similar) kabul edilir. Her zaman bir ölçeklendirme (scale factor) söz konusudur.
  • Önemli Koşullar (Benzerlik Kriterleri):
    1. AA (Angle-Angle): İki üçgende ikişer açının ölçüleri eşit olduğunda üçüncü açı da otomatikman eşit olur, dolayısıyla üçgenler benzerdir.
    2. SSS (Side-Side-Side): Kenar uzunlukları orantılı ise (yani bir sabit çarpan ile diğer üçgenin kenarları elde edilebiliyorsa).
    3. SAS (Side-Angle-Side): İki kenar uzunluğu oranı sabit ve aradaki açı ölçüsü aynı ise.

Çalışmaya Başlarken Kullanılacak Gereçler

  1. Cetvel (Düz cetvel): Kenarları ölçmek ve doğru çizgileri oluşturmak için.
  2. Pergel: Eşit uzunlukları işaretlemek, yaylar çizmek ve özellikle kenar çizimlerinde veya açı aktarmada kullanmak için.
  3. Açıölçer (Gönye): Açıları ölçmek ve taşımak için.
  4. Kalem (Farklı renklerde olması yararlı olabilir): Farklı grupları ve ölçüleri işaretlemek için.
  5. Kâğıt: Tercihen kareli ya da düz beyaz sayfa.

Her çizim aşamasında, üçgenlerin neden eş veya benzer oldukları üzerinde duracak ve hangi eşlik/benzerlik kriterini kullandığımızı açıklayacağız.

BÖLÜM 1: 4 Tane Eş (Congruent) Üçgen Çizimi ve Açıklaması

Bu bölümde adım adım 4 farklı eş üçgen inşa edeceğiz. Her yeni üçgeni çizerken, bir önceki ile bire bir aynı olduğunu, farklı eşlik kriterlerinden yararlanarak göstereceğiz.

Eş Üçgen 1: SSS (Üç Kenar Eşitliği)

Adım 1: İlk Üçgenin Çizimi

  1. Cetvel kullanarak AB kenarını 6 cm olarak çizin.
  2. A noktasından AB’nin uzunluğuna eşit (6 cm) olacak şekilde AC kenarını yeniden cetvel ile ölçüp çizin.
  3. B ve C noktalarını birleştirip üçgeni tamamlayın. Böylece ABC adını verdiğimiz üçgenimiz hazır olsun.
  4. Kenar ölçüleri:
    • AB = 6 cm
    • AC = 6 cm
    • BC = 6 cm
      Burada tüm kenarlar 6 cm ise aslında bu üçgen eşkenar üçgen olur. (Örnek veriyoruz, isterseniz sadece kenarları 6 cm, 5 cm, 4 cm şeklinde farklı bir üçgen de alınabilir.)

Adım 2: İkinci Üçgenin Çizimi (Eş olduğunu kanıtlama)

  1. Yeni bir sayfaya veya aynı sayfanın başka bir yerine A’B’ kenarını 6 cm olarak çizin.
  2. Pergel yardımıyla 6 cm mesafeyi ölçüp A’B’ nin her iki ucundan bir yay çizin veya cetvel ile ölçerek diğer iki kenarı da 6 cm olacak şekilde noktalar belirleyin.
  3. Bu noktaları B’ ve C’ olarak adlandırın, birleştirin.
  4. Ölçümlerin A’B’ = 6 cm, A’C’ = 6 cm, B’C’ = 6 cm olduğunu görünce, ABC üçgenine bire bir kenar uzunlukları bakımından eşit (SSS kriteri) ikinci üçgen elde edersiniz.

Neden Eş?

  • Bu iki üçgenin üç kenarı da sırayla bire bir aynıdır. Dolayısıyla SSS (Side-Side-Side) kriterini karşılamaktadır.

Eş Üçgen 2: SAS (Kenar-Açı-Kenar) Eşliği

Şimdi farklı bir yöntemle yine eş iki üçgen üretelim.

Adım 1: Birinci Üçgenin Çizimi

  1. Önce cetvel ile DE kenarını 5 cm olarak çizin.
  2. Açıölçerle D noktasında 50°’lik bir açı ayarlayın, buradan çıkacak kenarı DF olarak adlandırın.
  3. DF’yi de 5 cm olacak şekilde belirleyip çizginizi kapatın.
  4. E noktasından F noktasına doğru çizginizi çekerek DEF üçgenini oluşturun. Kenarlar:
    • DE = 5 cm
    • DF = 5 cm
    • Açı(EDF) = 50°

Adım 2: İkinci Üçgenin Çizimi (Eş Olduğunu Gösterme)

  1. Yeni bir noktayı D’ olarak belirleyin. Cetvel ile D’E’ kenarını yine 5 cm çizerek işe başlayın.
  2. D’ noktasında açıölçerle 50°’lik açı belirleyin.
  3. Bu açı doğrultusunda 5 cm’lik ikinci kenarı (D’F’) çizin.
  4. E’ ve F’ noktalarını birleştirin.
  5. Böylece ortaya çıkan D’E’F’ üçgeninin, DE= D’E’= 5 cm, DF= D’F’= 5 cm ve aradaki açı(EDF)=açı(E’D’F’)=50° olacak şekilde SAS (Kenar-Açı-Kenar) eşlik ilkesine uyduğu görülür.

Neden Eş?

  • İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasında kalan açı ölçüsü iki üçgende de aynıdır. Bu nedenle SAS kriterine göre DEF üçgeni ile D’E’F’ üçgeni eştir.

Eş Üçgen 3: ASA (Açı-Kenar-Açı) Eşliği

Adım 1: Üçgen ABC Çizimi

  1. Bir sayfada A noktasından başlayarak cetvel yardımıyla AB kenarını 4 cm olarak belirleyin.
  2. A noktasında açıölçerle 60°’lik açı çizin.
  3. B noktasında da açıölçerle 50°’lik başka bir açı çizin.
  4. İki açıdan çıkan çizgiler kesiştiğinde kesişim noktasını C olarak adlandırın.
  5. Böylece ABC üçgenini elde edin. Kenar ölçüleri tam bilinmez ama AB = 4 cm, açı(A)=60°, açı(B)=50° şeklinde olsun.

Adım 2: İkinci Üçgen A’B’C’ Çizimi

  1. Noktayı A’ olarak belirleyip cetvelle A’B’ kenarını 4 cm olarak çizin.
  2. A’ noktasında 60°’lik açı, B’ noktasında da 50°’lik açı oluşturun.
  3. Bu iki açının kesiştiği noktayı C’ kabul edip üçgeni tamamlayın.
  4. A’B’C’ üçgeninin, AB = A’B’ = 4 cm, açı(A)= açı(A’)=60°, açı(B)=açı(B’)=50° olduğu görülür.

Neden Eş?

  • İki üçgenin Açı-Kenar-Açı (ASA) kuralını sağladığını, yani bir kenar ve bu kenarın iki ucundaki açıların ölçülerinin aynı olduğunu görüyoruz. Bu nedenle ABC ve A’B’C’ üçgenleri eştir.

Eş Üçgen 4: AAS (İki Açı ve Yandaki Kenar) Eşliği

Adım 1: ABC Üçgeni Çizimi

  1. A noktasını alın. Açıölçerle 45°’lik bir açı çizin, açıyı oluşturan bir kenarı AB olarak adlandırın.
  2. A noktasından bu sefer farklı yönde 60°’lik bir açı daha çizin ve oluşan kenarı AC deyin.
  3. AB ve AC arasındaki kenar uzunluğu tam ölçüye göre belirlensin (örnek 5 cm diyebiliriz).
  4. B ve C noktasını cetvelle birleştirerek üçgeni kapatın.

Adım 2: A’B’C’ Üçgeni

  1. Aynı veya farklı bir yerde A’ noktasını belirleyin.
  2. Açıölçerle 45° ve 60° açıları oluşturun, bu açılar arasında kalacak kenarı yine 5 cm seçin.
  3. Çizim bittiğinde B’ ve C’ noktalarını tespit edip kenarla birleştirin.
  4. ABC ve A’B’C’ üçgenlerinin iki açısı ve bir kenarı ortak olduğundan AAS kuralı ile eştir.

Neden Eş?

  • İki üçgende sırasıyla 45° ve 60° olan açılar eş, ayrıca açılardan birine komşu kenar aynı olunca AAS kriteri sağlanır.

BÖLÜM 2: 4 Tane Benzer (Similar) Üçgen Çizimi ve Açıklaması

Şimdi benzer üçgenleri göreceğiz. Benzer üçgenlerde açı ölçüleri tamamen aynı olur ama kenar uzunlukları sabit bir oranda farklı olabilir.

Benzer Üçgen 1: AA (Açı-Açı) Benzerliği

Adım 1: Birinci Üçgenin Çizimi

  1. Cetvel ile XY kenarını 7 cm olarak çizin.
  2. X noktasında açıölçerle 40°’lik açı oluşturun.
  3. Y noktasında 70°’lik bir açı oluşturun.
  4. Bu ikisinin kesiştiği Z noktasını bulun. XYZ üçgenini elde edin.

Adım 2: İkinci Üçgenin Çizimi (AA Benzerlik)

  1. Yeni bir başlangıç noktası: X’. Cetvel ile X’Y’ kenarını farklı bir uzunlukta (örneğin 10.5 cm) çizin.
  2. X’ noktasında yine 40°’lik açı, Y’ noktasında 70°’lik açı.
  3. Kesişim noktası Z’ olsun. X’Y’Z’ üçgeni elde edilir.
  4. Burada iki üçgenin açıları sırasıyla 40°, 70°, (üçüncü açı 70°-40°=70° geriye kalan 180°-110°=70°) yani üçü de aynı çıkar ve dolayısıyla:
    • ∠X = ∠X’ = 40°
    • ∠Y = ∠Y’ = 70°
    • ∠Z = ∠Z’ = 70°
      Kenarların uzunlukları orantılı olacaktır.

Neden Benzer?

  • Açı-Açı (AA) kriteri: İkişer açısı eşit olan üçgenlerde otomatikman üçüncü açı da eşit olur. Dolayısıyla kenarlar belli bir oranda farklı olup açıları aynı kaldığı için XYZ ~ X’Y’Z’ (benzer).

Benzer Üçgen 2: SSS (Kenar-Kenar-Kenar) Orantısı

Adım 1: Birinci Üçgen (ABC)

  1. AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 5 cm olacak şekilde bir üçgen çizin.
    • Önce AB’yi 4 cm çizin.
    • B noktasından 6 cm uzaklıkta olacak şekilde C’yi belirleyin.
    • A noktasından 5 cm uzaklıkta yine C’yi belirleyin. İki çemberin kesişimi C’yi verir.
  2. ABC üçgeni oluşur.

Adım 2: İkinci Üçgen (A’B’C’) - Orantılı Kenar Uzunlukları

  1. Kenar uzunluklarını 2 katına çıkarın:
    • A’B’ = 8 cm
    • B’C’ = 12 cm
    • A’C’ = 10 cm
  2. Aynı mantıkla önce A’B’yi 8 cm çizin, B’ noktasından 12 cm yarıçaplı bir yay, A’ noktasından 10 cm yarıçaplı bir yay çizin, kesişimi C’ yapın.
  3. Böylece ABC üçgeninin her kenarı k ile çarpılarak (burada k=2) elde edilen A’B’C’ üçgeni oluşur.

Neden Benzer?

  • Kenarlar tek bir sabit oranda (k=2) büyütülmüş oluyor. Bu nedenle SSS benzerlik kuralına göre üçgenler benzerdir.

Benzer Üçgen 3: SAS (Kenar-Açı-Kenar) Orantısı

Adım 1: Dörtgenik Yapıdan Faydalanma

  1. P noktasından PQ = 5 cm çizelim.
  2. P noktasında 30°’lik açı belirleyelim, bu açıya komşu olan diğer kenarı 6 cm yapalım (örneğin PR = 6 cm).
  3. Q ve R’yi birleştirerek PQR üçgenini elde edelim. Açı(P) = 30°, kenar(PQ)=5 cm, kenar(PR)=6 cm.

Adım 2: İkinci Üçgen P’Q’R’

  1. Bu kez P’ noktasından başlayarak P’Q’ kenarını 10 cm (yani öncekinin 2 katı) çizin.
  2. P’ noktasında yine 30° açı korunsun. Yandan diğer kenarı (P’R’) 12 cm (6 cm’in 2 katı) olacak şekilde çizin.
  3. Q’R’ ile üçgeni kapatın.

Neden Benzer?

  • İki kenarın uzunluklarının oranı 2, aradaki açı 30° iki üçgende de aynı. Böylece SAS benzerlik kuralıyla PQR ve P’Q’R’ üçgenleri benzerdir.

Benzer Üçgen 4: Serbest Oran ve Açı Ölçüleri

Adım 1: ABC Üçgeni

  1. AB’yi 4 cm, BC’yi 5 cm, CA’yi 7 cm alarak rastgele bir üçgen çizin.
  2. Açı ölçülerinizi belirlemek için açıölçer kullanın (A, B, C açılarını not edebilirsiniz).

Adım 2: A’B’C’ Üçgeni

  1. Tüm kenarları örneğin 1.5 kat büyütün:
    • A’B’ = 6 cm (4 cm × 1.5)
    • B’C’ = 7.5 cm (5 cm × 1.5)
    • A’C’ = 10.5 cm (7 cm × 1.5)
  2. Aynı açı ölçüleri korunur, çünkü kenar oranları sabittir.

Neden Benzer?

  • Kenarların uzunlukları sabit bir oranda (k=1.5) ölçeklenmiş, dolayısıyla açıları aynı kalır ve üçgenler benzer olur.

Çizilen Üçgenlerin Özeti ve Farklılıkları

Aşağıdaki tabloda hem Eş Üçgenlerin hem de Benzer Üçgenlerin kritik özelliklerini bir bakışta görebilirsiniz:

Özellik Eş (Congruent) Üçgenler Benzer (Similar) Üçgenler
Tanım Tüm kenar uzunlukları ve açı ölçüleri aynı olan üçgenler Açıları aynı, kenarları orantılı (bir sabit ölçek faktörüyle ilişkilendirilmiş)
Kenarlar Tamamen eşit (AB = A’B’, BC = B’C’, vb.) Orantılı (AB / A’B’ = BC / B’C’ = CA / C’A’ vb.)
Açılar Tümü bire bir eşit Tümü bire bir eşit
Eşlik/Benzerlik Kriterleri SSS, SAS, ASA, AAS AA, SSS (Orantılı), SAS (Orantılı)
Örnekte Verilen Ölçüler Örn: Üç kenarı da 6 cm veya 5 cm-5 cm-50° vb. Örn: 4-5-6 cm’lik üçgen ve 6-7.5-9 cm’lik üçgen (k=1.5)
Şekilleri Üst Üste Getirme Durumu Üst üste tam gelirler (bire bir örtüşme) Tam örtüşmezler, sadece şekil benzerliği vardır
Örnek Kullanım Alanları Haritalama, makine parçalarının aynı ölçülerle kopyalanması, vs. Modelleme, ölçekli çizimler (harita, maket vb.), büyültme/küçültme

Drawing (Çizim) Sırasında Dikkat Edilmesi Gerekenler

  1. Doğru Ölçüm: Cetvel ve pergel yardımıyla uzunlukları doğru bir şekilde ölçmelisiniz.
  2. Açı Ölçümü: Açıölçerle aldığınız açılarda ufak bir hata yapmamak için ölçümlerinizi dikkatlice tekrarlayabilirsiniz.
  3. İşaretleme ve Etiketleme: Noktaları (A, B, C, A’, B’, C’ vb.) düzenli şekilde işaretleyip, notlarınızı çizim üzerinde sakın unutmayın.
  4. Oran Tespiti: Benzer üçgenler için kenarların belirli bir oranda değiştiğinden emin olmalısınız (örneğin 2 kat, 1.5 kat vb.).
  5. Yan Yana Karşılaştırma: Eş veya benzer üçgenlerinizi yan yana getirip boyutlarını veya açılarını karşılaştırarak kendinize doğrulama yapabilirsiniz.

Geniş Bir Özet ve Sonuç

  • Eş üçgenler, kenar ve açı bakımından tamamen aynı olmaları nedeniyle, birinin diğerine döndürme veya kaydırma sonrası üst üste oturtulabildiği üçgenlerdir. Bu tip üçgenlerde ölçülerinde hiçbir fark yoktur.
  • Benzer üçgenler ise aynı şekle fakat farklı boyuta sahiplerdir. Tüm açıları eşit olup, kenarları belli bir oran dahilinde bütünsel olarak büyür ya da küçülür.
  • Eş üretebilmek için SSS, SAS, ASA, AAS gibi eşlik kriterlerinden birini ispat etmeniz yeterlidir.
  • Benzerlik için en çok kullanılan kriter AA’dir. Eğer iki üçgenden ikişer karşılıklı açı ölçülerinin aynı olduğunu gösterebilirseniz, üçüncü açılar da mecburen eşit olur ve sabit bir büyütme/küçültme oranı ile kenarlar orantılı çıkar.

Çalışmada istenen “4 tane eş üçgen” ve “4 tane benzer üçgen” örneklerine sırasıyla SSS, SAS, ASA, AAS yöntemlerini kullanarak çizimlerimizi tamamlamış olduk. Benzer üçgenler için de AA, SSS (orantılı), SAS (orantılı) prensiplerini kullandık. Her bir çizimde dikkat edilmesi gereken en kritik nokta, ölçümlerin doğru alınması ve açıların özenle korunmasıdır.

Bu şekilde “nideler eş?” sorusunu, “tüm ölçüleri ve açıları birebir aynı” yanıtıyla; “hangileri benzer?” sorusunu ise “açıları aynı, kenarları orantılı” yanıtıyla kanıtlamış oluyoruz.

@Tansu_Oflas