Sorunun Çözümü
Soruda verilen şekil birim karelerden oluşan bir ızgaradır ve iki kare kırmızıya boyanacaktır. İstenen şartlar:
- Boyanan iki parçanın ortak noktası olmayacak.
- Her satırda yalnızca bir birim kare boyanmış olacak.
Adım Adım Çözüm
Şekli analiz ederek çözüme ulaşalım:
- Şekilde 2 satır vardır ve her satırda toplam 3 birim kare bulunmaktadır (üstte 3, altta 3).
- İki kare kırmızı olacak şekilde seçilmelidir.
- İkinci koşul: Boyalı kareler aynı satırda bulunamaz, dolayısıyla biri üst satırda diğeri alt satırda olmalıdır.
- Birinci koşul: Boyalı iki karenin ortak köşesi veya kenarı olmamalıdır. Bu durumda boyanan kareler komşu olmayacak şekilde seçilmelidir.
1. Üst ve Alt Satırdaki Seçenekler
Üst Satırdaki Seçenekleri Belirleyelim:
Üst satırdaki üç karenin her biri için alt satırdaki komşu olmayan karelerden seçim yapılabilir:
| Üst Satırdaki Kare | Alt Satırdaki Komşu Olmayan Kareler |
|---|---|
| 1. Kare | 2 veya 3 (Alt satırdaki seçenekler) |
| 2. Kare | 1 veya 3 |
| 3. Kare | 1 veya 2 |
Alt Satırdaki Her Kombinasyonu Hesaplayalım:
Her satır için komşu olmayan kareleri doğru şekilde eşleştirerek farklı kombinasyonları saymalıyız.
2. Kombinasyonları Hesaplama
Her üst satırdaki kare için alt satırdaki komşu olmayan seçim olanakları 2’dir. Bir satırda toplam 3 kare olduğu için:
$$3 \text{ (üst satırdaki seçenek) } \times 2 \text{ (alt satırdaki her seçime 2 olasılık) } = 6 , \text{farklı boyama olasılığı}$$
Sonuç:
Verilen koşullara uygun şekilde toplamda 6 farklı boyama yapılabilir.
Doğru Cevap: D) 6
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@sorumatikbot
Şekildeki altı birimkarelik parçadan ikisini, ortak nokta paylaşmadan ve her satırda bir tane olacak şekilde nasıl boyarız?
Answer:
Aşağıda sıralanan kareleri üst satırda T1, T2, T3; alt satırda B1, B2, B3 olacak biçimde etiketleyelim:
Üst sıra: (T1) (T2) (T3)
Alt sıra: (B1) (B2) (B3)
• Ortak nokta paylaşmama koşulu; seçilen iki karenin kenar veya köşe bile paylaşmaması anlamına gelir.
• Her satırdan bir kare seçilmesi koşulu gereği birini üst satırdan (T1, T2, T3), diğerini alt satırdan (B1, B2, B3) seçeceğiz.
Şimdi tek tek inceleyelim:
- (T1) seçilirse, alt sırada (B1) ve (B2) ile köşe/kenar paylaştığı için boyanamaz. Sadece (T1)–(B3) ikilisi uygundur.
- (T2) seçilirse, hem (B2) ile kenar, (B1) ve (B3) ile köşe paylaşır. Bu yüzden alt sırada uygun kare kalmaz.
- (T3) seçilirse, alt sırada (B2) ve (B3) ile köşe/kenar paylaştığından uygun değildir. Sadece (T3)–(B1) ikilisi uygundur.
Dolayısıyla iki geçerli çift çıkıyor:
• (T1, B3)
• (T3, B1)
Bu iki boyama dışında başka olasılık yoktur. Dolayısıyla cevap 2’dir.
@username
Şekilde birer birim karelik altı eş parçadan oluşan cismin boyama problemi
Soru (Özet):
Şekilde 2 satır ve 3 sütundan oluşan, toplamda 6 adet birim kare bulunan bir dikdörtgensel düzen vardır. Bu 6 eş parçadan ikisi kırmızıya boyanacaktır. Ancak:
- Kırmızıya boyanacak iki parçanın hiçbir ortak noktasının (köşe veya kenar) olmaması,
- Her satırda tam bir birim karelik parçanın boyalı olması,
koşulları aynı anda sağlanmalıdır. Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı boyama yapılabilir?
İçindekiler
- Problemin Tanımı ve Önemi
- Temel Kavramlar ve Koşullar
- Şeklin İncelenmesi ve Mevcut Karelerin Etiketlenmesi
- Tüm Olası Boyama Seçeneklerinin Listelenmesi
- Adım Adım Çözüm
- Ayrıntılı Tablo ile Boyama Olasılıklarının Gösterimi
- Sonuç ve Ulaşılan Cevap
- İlave Açıklamalar ve Örnekler
- Kısa Özet
1. Problemin Tanımı ve Önemi
Bu problem, son derece sade bir görselliğe sahip olsa da geometrik kısıtlar (köşe veya kenar paylaşmama) ve kombinatorik (boyama sayılarının hesaplanması) unsurları bir arada barındırdığı için ilgi çekicidir. Problemde temel olarak 2 satır ve 3 sütundan oluşan dikdörtgensel bir ızgara (toplamda 6 birim kare) üzerinde yapılan iki kırmızı boyama seçiminin kaç farklı şekilde gerçekleşebileceği isteniyor.
Özellikle:
- Her boyalı birim kare farklı satırda olacak.
- Boyanan karelerin birbirine dokunmaması (ortak bir kenar veya köşe paylaşmaması) gerekmekte.
Bu tür sorular, TYT, AYT gibi sınavlarda ve çeşitli seviye belirleme testlerinde çıkabilen hem görsel hem de sayısal muhakeme gerektiren örneklerdir. Aynı zamanda, “geometrik combinatorics” olarak sınıflandırabileceğimiz bir konuya da örnek teşkil eder.
2. Temel Kavramlar ve Koşullar
2.1. Ortak Noktası Olmamak (Köşe veya Kenar Paylaşmamak)
İki karesel parçanın ortak noktasının olmaması, bu iki parçanın ne kenar ne de köşe (köşegen teması) anlamında temas etmemesi demektir. Bu sayede, kırmızıya boyanmış karelerden biri diğerinin hemen yanında bulunamaz, ne bitişiğinde (yan yana) ne de çaprazında (köşe köşeye dokunur şekilde) olmalıdır.
Bu kuralı netleştirmek için:
- Aynı sütundaki üstlü-altlı kareler kenar paylaştığından kesinlikle yasaktır.
- Yan sütunlara (bir sütun farkla) denk gelen üstlü-altlı kareler de köşe paylaşırlar (çapraz temas). Bu da yasaktır.
- Ancak aralarında en az 2 sütun farkı olursa üst ve alt kare kesinlikle ne kenar ne de köşe paylaşır.
2.2. Her Satırda Bir Kare Boyama Koşulu
Toplam 2 satır ve 3 sütunlu bir ızgarada, istenen koşul gereği:
- Birinci satırda tam 1 kırmızı kare,
- İkinci satırda tam 1 kırmızı kare
oynayacak şekilde seçim yapılmalıdır. Buna göre, boyayacağımız 2 kareden ilki yukarıdaki satırda, ikincisi aşağıdaki satırda konumlanacaktır.
3. Şeklin İncelenmesi ve Mevcut Karelerin Etiketlenmesi
Sorudaki şekil (2 satır x 3 sütun) şu şekilde düşünülebilir:
Üst satır (Satır 1):
- Sütun 1: Kare (1,1)
- Sütun 2: Kare (1,2)
- Sütun 3: Kare (1,3)
Alt satır (Satır 2):
- Sütun 1: Kare (2,1)
- Sütun 2: Kare (2,2)
- Sütun 3: Kare (2,3)
Böylece tüm kareleri (Satır, Sütun) biçiminde belirtirsek:
- (1,1), (1,2), (1,3) üstte,
- (2,1), (2,2), (2,3) altta.
Toplamda 6 eş parçamız vardır.
4. Tüm Olası Boyama Seçeneklerinin Listelenmesi
4.1. Birinci Satır Seçimi
Birinci satırda boyayabileceğimiz kareler: (1,1), (1,2), (1,3).
Bu üçünden tam birini seçeceğiz.
4.2. İkinci Satır Seçimi
İkinci satırda boyayabileceğimiz kareler: (2,1), (2,2), (2,3).
Bu üçünden de tam birini seçeceğiz.
Bu doğrultuda, boyama seçimleri (birinci satırda “X kare”, ikinci satırda “Y kare”) biçiminde 3 x 3 = 9 muhtemel çiftlemeden oluşur. Ancak bu 9’un hepsi geçerli değildir; çünkü “hiçbir ortak noktasının olmaması” kısıtı birçok durumu eler.
4.3. Satırlar Arasında Ortak Nokta Olmama Şartının Kontrolü
İki kare arasında sütun farkı:
- 0 ise üst-alt kareler tam olarak kenar paylaşıyor,
- 1 ise köşeden dokunuyor (çapraz komşu),
- 2 ise arada en az bir sütun boşluk var ve bu ikili birbirine değmiyor.
Dolayısıyla, iki kare arasındaki sütun farkı tam 2 olduğunda, “hiçbir ortak nokta” koşulu sağlanır.
Örneğin:
- (1,1) ile (2,1) arasında fark 0 (kesinlikle olmaz)
- (1,1) ile (2,2) arasında fark 1 (köşe paylaşımı var)
- (1,1) ile (2,3) arasında fark 2 (uygun)
- (1,2) ile (2,1) fark 1 (uygun değil)
- (1,2) ile (2,2) fark 0 (uygun değil)
- (1,2) ile (2,3) fark 1 (uygun değil)
- (1,3) ile (2,1) fark 2 (uygun)
- (1,3) ile (2,2) fark 1 (uygun değil)
- (1,3) ile (2,3) fark 0 (uygun değil)
Tabloda da göreceğimiz gibi, sadece sütun farkı 2 olan kombinasyonlar geçerli.
5. Adım Adım Çözüm
5.1. Tüm Seçimlerin Denenmesi
Aşağıda listelenen (Üstteki kare, Alttaki kare) çiftlerini sıralayalım:
- (1,1) – (2,1)
- (1,1) – (2,2)
- (1,1) – (2,3)
- (1,2) – (2,1)
- (1,2) – (2,2)
- (1,2) – (2,3)
- (1,3) – (2,1)
- (1,3) – (2,2)
- (1,3) – (2,3)
Bu 9 ihtimalden hangileri “kare farkı 2 sütun olan” yani kenar veya köşe paylaşmayan çifti temsil eder? Aşağıdaki aşamada karar vereceğiz.
5.2. Geçerli ve Geçersiz Durumların Analizi
- (1,1) – (2,1): Sütun farkı 0 → Kenar paylaşıyor. Geçersiz.
- (1,1) – (2,2): Sütun farkı 1 → Köşe paylaşımı. Geçersiz.
- (1,1) – (2,3): Sütun farkı 2 → Ortak nokta yok. Geçerli.
- (1,2) – (2,1): Sütun farkı 1 → Köşe paylaşımı. Geçersiz.
- (1,2) – (2,2): Sütun farkı 0 → Kenar paylaşıyor. Geçersiz.
- (1,2) – (2,3): Sütun farkı 1 → Köşe paylaşımı. Geçersiz.
- (1,3) – (2,1): Sütun farkı 2 → Ortak nokta yok. Geçerli.
- (1,3) – (2,2): Sütun farkı 1 → Köşe paylaşımı. Geçersiz.
- (1,3) – (2,3): Sütun farkı 0 → Kenar paylaşıyor. Geçersiz.
Böylece, geçerli kombinasyonlar yalnızca:
- (1,1) – (2,3)
- (1,3) – (2,1)
Bu iki durumda (üst kare – alt kare) birbirinin üzerinden veya köşesinden temas etmez ve her satırda tam bir kırmızı kare boyanmış olur.
6. Ayrıntılı Tablo ile Boyama Olasılıklarının Gösterimi
Aşağıdaki tabloda, satır-sütun bazında yapılabilecek boyamaları ve geçerli/geçersiz ayrımını görebiliriz:
| Üst Satır Seçimi | Alt Satır Seçimi | Aradaki Sütun Farkı | Köşe/Kenar Paylaşımı | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|---|
| (1,1) | (2,1) | 0 | Kenar | Hayır |
| (1,1) | (2,2) | 1 | Köşe | Hayır |
| (1,1) | (2,3) | 2 | Yok | Evet |
| (1,2) | (2,1) | 1 | Köşe | Hayır |
| (1,2) | (2,2) | 0 | Kenar | Hayır |
| (1,2) | (2,3) | 1 | Köşe | Hayır |
| (1,3) | (2,1) | 2 | Yok | Evet |
| (1,3) | (2,2) | 1 | Köşe | Hayır |
| (1,3) | (2,3) | 0 | Kenar | Hayır |
Tabloda “Yok” ifadesi, köşe veya kenar paylaşımı olmadığını; “Evet/Hayır” ise boyamanın geçerli olup olmadığını belirtmektedir.
7. Sonuç ve Ulaşılan Cevap
Tabloda görüldüğü gibi, geçerli boyama sadece 2 farklı seçeneğe sahiptir:
- (1,1) – (2,3)
- (1,3) – (2,1)
Dolayısıyla, sorunun cevabı 2’dir.
Dolayısıyla çoktan seçmeli seçeneklerde bakıldığında, E) 2 ifadesi doğru çözüme denk gelmektedir.
8. İlave Açıklamalar ve Örnekler
Bu problemi genel hale getirirsek:
- Eğer elimizde 2 satır ve n sütundan oluşan bir dikdörtgen varsa, “her satırdan 1 kare, köşe veya kenar paylaşmasın” kuralı, boyanan karelerin sütun indeksleri arasındaki farkın en az 2 olması anlamına gelir.
- Yani, sütun indisi farkı \lvert c_1 - c_2 \rvert \geq 2 olmak zorundadır.
- Bu soru özelinde n=3 olduğundan, farkı 2 yapabilme adına tek olanak \{1,3\} veya \{3,1\} kombinasyonlarıdır.
Öte yandan, soruda “her satırda bir [birimkarelik] parçanın boyalı” olması, herhangi bir satırda 2 parça boyama veya 0 parça boyama durumlarını baştan eler. Dolayısıyla bu problemde net şekilde 2 kare boyanacaktır ve her satırda 1 kare bulunacaktır.
Benzer Bir Örnek:
- Eğer 2 satır ve 4 sütun olsaydı benzer kural geçerli olurdu; farklı sütunlarda, en az 2 sütun mesafesi olan seçimler bulunur. Örneğin 4 sütunda (1,1) ile (2,3), (1,1) ile (2,4), (1,2) ile (2,4), (1,3) ile (2,1), (1,4) ile (2,1), (1,4) ile (2,2) vb. gibi çeşitli kombinasyonlar çıkabilirdi. Orada sayılar daha fazla olurdu.
Bu tür soruları çözerken en temelde, geometri (temas-köşe paylaşımları) ve kombi (olasılık sayısı) mantıklarını birleştirmenin yollarını görebiliriz.
9. Kısa Özet
- Problem: 2 satır x 3 sütunluk 6 karede, 2 kare (biri üst satırdan, diğeri alt satırdan) kırmızıya boyanacak, ancak bu iki kare arasında köşe veya kenar teması olmayacak.
- Koşul: Farklı satırlarda boyanan bu karelerin sütun numaralarının farkı 2 olmak zorunda. Çünkü ancak o zaman üst-alt kare birbirine dokunmaz.
- Analiz: Üst satır seçimi (3 seçenek) x Alt satır seçimi (3 seçenek) = 9. Fakat 9 kombinasyondan sadece 2 tanesi (köşe/kenar paylaşmama) kuralını sağlıyor: (1,1)–(2,3) ve (1,3)–(2,1).
- Cevap: Toplam 2 geçerli boyama vardır.
| Seçilen Kareler (Üst, Alt) | Köşe/Kenar Paylaşımı? | Geçerli mi? |
|---|---|---|
| (1,1) – (2,3) | Yok | Evet |
| (1,3) – (2,1) | Yok | Evet |
Görüldüğü üzere, bu tabloyu incelediğimizde de cevap net biçimde 2 olarak bulunur.