Zxvbccc

YKS TYT
1

IMG_20260212_113643
IMG_20260212_113643720×960 24.6 KB

2

A, B ve C Rakamları Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Üç farklı basamaklı sayılar ACB, ABA ve CCA sırasıyla 12, 15 ve 9’a tam bölünür.
  • A, B ve C birbirinden farklı rakamlardır (0-9 arası).
  • Amaç: A + B + C toplamını bulmak.

Üç basamaklı sayılar ACB, ABA ve CCA’nın sırasıyla 12, 15 ve 9 ile tam bölünebilmesi koşullarına göre A, B ve C rakamlarını bulup toplamını hesaplayalım.

İçindekiler

  1. Verilen Sayıların Anlamı ve Bölünebilme Kuralları
  2. A, B, C İçin Bölünebilme Denklemleri
  3. A, B, C Değerlerinin Çözümü
  4. Sonuç

Verilen Sayıların Anlamı ve Bölünebilme Kuralları

  • ACB sayısı: yüzler basamağı A, onlar basamağı C, birler basamağı B
  • ABA sayısı: yüzler basamağı A, onlar basamağı B, birler basamağı A
  • CCA sayısı: yüzler basamağı C, onlar basamağı C, birler basamağı A

Bu sayıların tam bölünme şartları:

  1. ACB sayısı 12 ile bölünür
    12 = 3 × 4
    → Hem 3’e hem 4’e bölünmeli

    • 3’e bölünebilme: rakamların toplamı 3’ün katı olmalı
    • 4’e bölünebilme: son iki basamağı (CB) 4’ün katı olmalı

  2. ABA sayısı 15 ile bölünür
    15 = 3 × 5
    → Hem 3’e hem de 5’e bölünmeli

    • 3’e bölünebilme: rakamların toplamı 3’ün katı olmalı
    • 5’e bölünebilme: son basamak ya 0 ya 5 olmalı (A son basamak)

  3. CCA sayısı 9 ile bölünür

    • 9’a bölünebilme: rakamların toplamı 9’un katı olmalı

A, B, C İçin Bölünebilme Denklemleri

1) ACB sayısı için:

  • 3’e bölünme: A + C + B mod 3 = 0
  • 4’e bölünme için CB sayısı 4’ün katı olmalı
    Yani, 10 × C + B sayısı 4’e tam bölünür.

2) ABA sayısı için:

  • 3’e bölünme: A + B + A = 2A + B mod 3 = 0
  • 5’e bölünme: birler basamağı A olmalı, yani A = 0 veya 5

3) CCA sayısı için:

  • 9’a bölünme: C + C + A = 2C + A mod 9 = 0

Ek koşul:

  • A, B, C farklı rakamlar
  • A, B, C doğal sayılar (0-9 arası rakam)
  • A, B, C ≠ birbirinin aynısı

A, B, C Değerlerinin Çözümü

1) A’nın son basamakta olma durumu (ABA sayısının 5 ile bölünebilmesi için):

A = 0 veya 5

  • A = 0 olamaz çünkü üç basamaklı sayılarda yüzler basamağı 0 olamaz.
  • O halde A = 5

2) ABA sayısının 3’e bölünebilme koşulu:

2A + B ≡ 0 (mod 3)
2×5 + B ≡ 0 (mod 3)
10 + B ≡ 0 (mod 3)
10 mod 3 = 1
1 + B ≡ 0 (mod 3)
B ≡ 2 (mod 3)

3) ACB sayısının 4 ile bölünebilmesi için:

Son iki basamak CB sayısı 4’ün katı olmalı.

Bunu akılda tutarak C ve B’yi deneyelim.

4) CCA sayısı 9 ile bölünebilmeli:

2C + A ≡ 0 (mod 9)
2C + 5 ≡ 0 (mod 9)
2C ≡ -5 ≡ 4 (mod 9) (çünkü -5 mod 9 = 4)
2C ≡ 4 mod 9
C ≡ 2 mod 9/2 (Burada 9 asal olmadığından modüler tersini alarak çözelim:)

2C ≡ 4 (mod 9)
2’yi mod 9 içinde tersini bulalım:
2 × 5 = 10 ≡ 1 (mod 9), yani 5 mod 9 tersi

C ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 2 (mod 9)

Yani C ≡ 2 (mod 9), C = 2 veya 11 (ama C basamak olduğu için sadece 2 geçerli).

5) B’nin 3’e bölümünden kalan 2 olmalı ve C = 2

B ≡ 2 (mod 3), yani B = 2, 5, 8 olabilir.

B’nin A ve C ile farklı olması gerekir:
A=5, C=2, B ∈ {2,5,8} → B ≠ 2,5 (zaten farklı olması lazım)

O hâlde B = 8

6) ACB sayısının 3’e bölünebilme koşulu:

A + C + B mod 3 = 0 mu?
5 + 2 + 8 = 15, 15 mod 3 = 0 → Koşul sağlandı.

7) ACB sayısının 4’e bölünme koşulu:

Son iki basamak: CB = 28
28 mod 4 = 0 → Koşul sağlandı.

8) ABA sayısı:

A = 5, B = 8, A = 5 → sayı: 585
585 mod 15 ?
585 / 15 = 39 → Tam bölünür.

9) CCA sayısı:

C = 2, C = 2, A = 5 → sayı 225
225 mod 9?
2 + 2 + 5 = 9 → 9 mod 9 = 0 → Tam bölünür.

10) Farklılık kontrolü:

A=5, B=8, C=2 → hepsi farklıdır.

Sonuç

A + B + C = 5 + 8 + 2 = 15

Özet Tablo

Element Detay
A 5
B 8
C 2
A+B+C 15
Sayılar ACB=528 (12’ye bölünür), ABA=585 (15’e bölünür), CCA=225 (9’a bölünür)

Sık Sorulan Sorular

1. Bölünebilme kurallarını nasıl kullanıyoruz?
Bölünebilme kuralları, sayının basamaklarını ve özelliklerini kullanarak sayının belirli sayılara tam bölünüp bölünmediğini anlamaya yarar.

2. Modüler aritmetik nedir?
Modüler aritmetik, sayıların bir mod ile bölümü sonrası kalanlarına göre işlem yapmayı sağlar ve bu tür sorularda sıkça kullanılır.

3. Farklı sayılar olma koşulu neden önemli?
Soruda A, B, C’nin birbirinden farklı olacağı belirtilmiştir, bu da rakamların birbirinden ayrı seçilmesi gerektiğini belirtir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz modüler aritmetiği daha iyi anlamak için örnek sorular ve çözüm yöntemleri anlatabilirim ya da farklı sayılarla benzer bölünebilme problemi çözelim.

@Elif_Yolcu

3

Soru:

A, B ve C birbiriyle farklı birer rakam olmak üzere, üç basamaklı ACB, ABA ve CCA doğal sayıları sırasıyla 12, 15 ve 9 ile tam bölünmektedir. Buna göre A + B + C toplamı kaçtır?

Anahtar Çıkarımlar

  • 12 ile bölünebilme: Sayı hem 3’e hem 4’e bölünebilmeli. 4’e bölünebilmesi için son iki basamak (CB) 4’e tam bölünmeli, 3’e bölünebilmesi için rakamlar toplamı 3’ün katı olmalı.
  • 15 ile bölünebilme: Sayı hem 3’e hem 5’e bölünebilmeli. 5’e bölünebilmesi için son basamak 0 veya 5 olmalı.
  • 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı.

A + B + C toplamı 15’tir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Karşılaştırmalı Bölünebilme Kuralları
  3. Özet Tablo
  4. SSS

Çözüm

  1. ABA sayısının 15 ile tam bölünebilmesi için son basamak A’nın 0 veya 5 olması gerekir. A sıfır olamayacağına göre
    A = 5.
  2. CCA sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için
    2C + A \equiv 0 \pmod{9}
    yerine koyarsak A=5 olduğundan
    2C + 5 \equiv 0 \pmod{9} \quad\Longrightarrow\quad 2C \equiv 4 \pmod{9} \quad\Longrightarrow\quad C \equiv 2 \pmod{9}
    Buradan tek basamak çözümler içinde C = 2 bulunur.
  3. ACB sayısının 12 ile tam bölünebilmesi için hem 3’e hem 4’e bölünmeli:
    • 4’e bölünebilmesi için son iki basamak “CB” yani “2B” sayısı 4’e bölünebilmeli. Bu, B’nin çift olması demektir.
    • 3’e bölünebilmesi için A + C + B = 5 + 2 + B sayısı 3’ün katı olmalı:
      7 + B \equiv 0 \pmod{3} \;\Longrightarrow\; B \equiv 2 \pmod{3}.
    Çift ve mod 3’te 2 olan tek basamak B = 8’dir (C = 2 ile farklı olmalı).

Sonuç olarak

A = 5,\quad B = 8,\quad C = 2 \quad\Longrightarrow\quad A + B + C = 5 + 8 + 2 = 15.

Karşılaştırmalı Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme Şartı 3 ile 4 ile 5 ile 9 ile
Temel Kural Rakamlar toplamı 3’ün katı olmalı Son iki basamak 4’e bölünebilmeli Son basamak 0 veya 5 olmalı Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı
Örnek 528: 5+2+8=15 :white_check_mark: 528: “28” ÷4=7 :white_check_mark: 585: son basamak 5 :white_check_mark: 225: 2+2+5=9 :white_check_mark:

Özet Tablo

Değişken Değer Sayı Bölünebilme Şartı
A 5 ABA = 585 15 (5’e ve 3’e)
B 8 ACB = 528 12 (4’e ve 3’e)
C 2 CCA = 225 9 (9’a)
Toplam — — 15

SSS

  1. 12 ile bölünebilme kuralı nedir?
    Bir sayı hem 3’e hem 4’e bölünebiliyorsa 12’ye de bölünür.
  2. 15 ile bölünebilme kuralı nedir?
    Bir sayı hem 3’e hem 5’e bölünebiliyorsa 15’e de bölünür; 5’e bölünebilmesi için son basamak 0 veya 5 olmalıdır.
  3. 9 ile bölünebilme kuralı nedir?
    Rakamlar toplamı 9’un katıysa sayı 9’a tam bölünür.
  4. Neden A sıfır olamaz?
    A, üç basamaklı bir sayı olan ACB ve ABA’nın yüzler basamağını oluşturduğu için sıfır olamaz.

Benzer bir problemle daha pratik yapmak ister misiniz?
@Elif_Yolcu