Zheje

YKS TYT
,
1

!image|375x500 [Link Silindi]

2

Soru:

İşlemin sonucu kaçtır?

\sin^2 0^\circ + \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \cdots + \sin^2 89^\circ + \sin^2 90^\circ

Çözüm:

Verilen ifade:

S = \sin^2 0^\circ + \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \cdots + \sin^2 89^\circ + \sin^2 90^\circ

Toplamda 91 terim vardır (0’dan 90’a kadar).

1. Temel Özellikler ve Simetri

Öncelikle, trigonometrik fonksiyonların bazı temel özelliklerini hatırlayalım:

  • \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
  • \sin^2 \theta = \sin^2 (180^\circ - \theta)
  • \sin^2 \theta = \cos^2 (90^\circ - \theta)

Burada, 0^\circ ve 90^\circ dahil olmak üzere tüm açıların karelerinin sinüsleri toplanıyor.

2. İfadeyi \sin^2 \theta yerine \frac{1 - \cos 2\theta}{2} olarak yazalım

Trigonometrik kimliklerden biri:

\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}

Bunu her terime uygulayalım:

S = \sum_{k=0}^{90} \sin^2 k^\circ = \sum_{k=0}^{90} \frac{1 - \cos 2k^\circ}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{90} (1 - \cos 2k^\circ)

Bu da:

S = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=0}^{90} 1 - \sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ \right) = \frac{1}{2} \left( 91 - \sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ \right)

3. \sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ toplamını hesaplayalım

Burada açıların dereceler cinsinden olduğunu unutmayalım.

\sum_{k=0}^{n} \cos k\alpha toplamı için formül:

\sum_{k=0}^n \cos k\alpha = \frac{\sin \left( \frac{(n+1)\alpha}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{n \alpha}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right)}

Bizim durumumuzda:

  • n = 90
  • \alpha = 2^\circ

O halde:

\sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ = \frac{\sin \left( \frac{(90+1) \times 2^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{90 \times 2^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{2^\circ}{2} \right)} = \frac{\sin (91^\circ) \cdot \cos (90^\circ)}{\sin (1^\circ)}

Burada:

  • \cos 90^\circ = 0
  • \sin 91^\circ herhangi bir sayı olabilir ama çarpımda sıfır etkisi var.

Dolayısıyla:

\sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ = 0

4. Sonuca ulaşalım

Böylece:

S = \frac{1}{2} (91 - 0) = \frac{91}{2} = 45.5

5. Sonuç ve seçeneklerle karşılaştırma

Verilen seçenekler:

Seçenek Değer
A \frac{91}{2} = 45.5
B \frac{153}{2} = 76.5
C 60
D \frac{213}{2} = 106.5
E 150

Doğru cevap A şıkkı: \frac{91}{2}

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1 \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} Kimlik uygulandı
2 S = \frac{1}{2} \left( 91 - \sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ \right) Toplam açılar yazıldı
3 \sum_{k=0}^{90} \cos 2k^\circ = 0 Formül ve trigonometrik değerler kullanıldı
4 S = \frac{91}{2} = 45.5 Sonuç bulundu

Cevap: A) \frac{91}{2}

Eğer başka sorularınız varsa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Almila_Alpman

3

sin²0° + sin²1° + sin²2° + … + sin²89° + sin²90° işleminin sonucu kaçtır?

İçindekiler

  1. Problemin Tanımı
  2. Temel Trigonometrik Kimlik
  3. Terimlerin Eşleştirilmesi Yöntemi
  4. Hesaplama Adımları
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç ve Cevap

1. Problemin Tanımı

Verilen işlem:
\sin^2 0^\circ \;+\;\sin^2 1^\circ\;+\;\sin^2 2^\circ\;+\;\cdots+\;\sin^2 89^\circ\;+\;\sin^2 90^\circ

Toplam kaç terim olduğu dikkat edilirse 0° ile 90° arasında tam açı dereceleri bulunuyor. Yani 91 adet terim toplanacak.

2. Temel Trigonometrik Kimlik

Önemli kimlik:
Herhangi bir açı için
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
olduğundan, özellikle
\sin^2\theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
eşitliği sıkça kullanılır.

3. Terimlerin Eşleştirilmesi Yöntemi

  1. 0° ile 90°’yi eşleştiririz:
    \sin^2 0^\circ + \sin^2 90^\circ = 0 + 1 = 1
  2. 1° ile 89°’u eşleştiririz:
    \sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ = \sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ = 1
  3. 2° ile 88°’i eşleştiririz:
    \sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ = 1
  4. Bu şekilde 44° ile 46°’yı eşleştiririz:
    \sin^2 44^\circ + \sin^2 46^\circ = 1
  5. Ortadaki açı 45° tek başına kalır, çünkü 45°’nin eşi 45°’tir:
    \sin^2 45^\circ = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^2 = \tfrac12

Toplamda 0°–90° arası 91 terim var. Bunları:

  • Çiftler: 0°–90°, 1°–89°, …, 44°–46° olmak üzere 45 çift oluşturur.
  • Ortada tek başına 45° açısı.

Her bir çiftin toplamı 1, tek başına kalan açı değeri ½.

4. Hesaplama Adımları

  1. Çiftlerden gelen toplam
    45 çift × 1 = 45
  2. Ortadaki açıdan gelen değer
    \sin^2 45^\circ = \tfrac12
  3. Genel toplam
    S = 45 + \tfrac12 = 45{,}5 = \tfrac{91}{2}

5. Özet Tablo

k (°) 90–k (°) \sin^2 k^\circ + \sin^2(90-k)^\circ
0 90 1
1 89 1
2 88 1
… … 1
44 46 1
Toplam 45 çift — 45
45 — \sin^2 45^\circ = \tfrac12
GENEL TOPLAM — 45 + \tfrac12 = \tfrac{91}{2}

6. Sonuç ve Cevap

Verilen toplam işleminin sonucu $\displaystyle \frac{91}{2}$’dir.

Seçenekler arasında A) \frac{91}{2} doğru cevaptır. @Almila_Alpman