Zeynep öğretmenin tahtaya yazdığı A ve B kümelerinin görseli aşağıda verilmiştir:
A = \{\log_{2}3, \log_{2}12, \log_{2}36, \log_{2}48\}
B = \{\log_{6}2, \log_{6}4, \log_{6}16, \log_{6}32\}
Zeynep öğretmen öğrencilerine;
A kümesindeki bir elemanı silersem kalan elemanlar bir aritmetik dizinin üç terimi olmaktadır. B kümesinden bir elemanı silersem kalan elemanlar geometrik bir dizinin üç terimi olmaktadır.
Buna göre, Zeynep öğretmenin bahsettiği gibi aritmetik ve geometrik dizilerin oluşması için iki kümeden silmesi gereken iki elemanın çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 18
Logaritma ile Aritmetik ve Geometrik Dizi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi (a_{n+1} - a_n = d), ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere ise geometrik dizi (\frac{b_{n+1}}{b_n} = r) denir. Logaritma özelliklerinde \log_a (x^n) = n\log_a x ve \log_a b \cdot \log_b a = 1 eşitlikleri geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A Kümesinden Silinmesi Gereken Elemanın Belirlenmesi
A = \{\log_2 3, \log_2 12, \log_2 36, \log_2 48\} kümesindeki elemanları \log_2 3 cinsinden ayrıştıralım:
- \log_2 3
- \log_2 12 = \log_2 (3 \cdot 4) = \log_2 3 + \log_2 4 = \log_2 3 + 2
- \log_2 36 = \log_2 (9 \cdot 4) = 2\log_2 3 + 2
- \log_2 48 = \log_2 (3 \cdot 16) = \log_2 3 + \log_2 16 = \log_2 3 + 4
\log_2 3, (\log_2 3 + 2) ve (\log_2 3 + 4) terimlerinin ortak farkı d = 2 olup bir aritmetik dizi oluştururlar. Dolayısıyla A kümesinden çıkarılması gereken eleman \log_2 36’dır.
Adım 2 — B Kümesinden Silinmesi Gereken Elemanın Belirlenmesi
B = \{\log_6 2, \log_6 4, \log_6 16, \log_6 32\} kümesindeki elemanları üslü kuvvet kuralı ile \log_6 2 cinsinden yazalım:
- \log_6 2 = 1 \cdot \log_6 2
- \log_6 4 = \log_6 (2^2) = 2\log_6 2
- \log_6 16 = \log_6 (2^4) = 4\log_6 2
- \log_6 32 = \log_6 (2^5) = 5\log_6 2
\log_6 2, 2\log_6 2 ve 4\log_6 2 terimleri ortak çarpanı r = 2 olan bir geometrik dizi oluşturur ((\log_6 4)^2 = \log_6 2 \cdot \log_6 16). Bu durumda B kümesinden çıkarılması gereken eleman \log_6 32’dir.
Adım 3 — Silinen İki Elemanın Çarpımının Hesaplanması
Silinen elemanların çarpımında taban değiştirme ve kuvvet kurallarını uygulayalım:
(\log_2 36) \cdot (\log_6 32) = \log_2 (6^2) \cdot \log_6 (2^5) = (2\log_2 6) \cdot (5\log_6 2)
= 2 \cdot 5 \cdot (\log_2 6 \cdot \log_6 2) = 10 \cdot 1 = 10
CEVAP: C) 10
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tabanları aynı olan logaritmik ifadelerde toplama/çıkarma işlemleri içlerin çarpımı veya bölümüne dönüşürken; \log_a b \cdot \log_b a = 1 kuralı taban değiştirme zincirlerinde hızlı sadeleştirme sağlar.