re
81 Zeynep, matematikçi olan dedesinin kitaplarını incelerken
bir kitabın içinden dedesinin kendi el yazısıyla yazdığı
paşağıdaki not çıkıyor.
A ve B iki basamaklı asal sayrlar olsun.
A) 66
Benim bu satırlarn yazdığım yıldaki yaşım g
A+B olup aynca doğum yılım da dôrt
basamakl AB sayısına eşittir.
Bu şatırlan yazdtğım yl da dôrt basamaklı
bir tam kare sayrdır.
Buna göre Zeynep’in dedesi yukarıdaki notu kaç
yaşında yazmıştır?
C) 78
D) 80
E) 86
Zeynep’in Dedesinin Notu Yazdığı Yaşın Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Dört basamaklı AB sayısı: \text{Doğum Yılı} = 100A + B
- \text{Bulunulan Yıl} = \text{Doğum Yılı} + \text{Yaş}
- \text{Bulunulan Yıl} = 100A + B + (A + B) = 101A + 2B = k^2 (k bir pozitif tam sayı)
- A ve B iki basamaklı asal sayılardır (10 < A, B < 100).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yıl Denklemini Oluşturma
Dedenin doğum yılı dört basamaklı AB sayısı olduğundan bu sayı 100A + B şeklinde çözümlenir.
Dedenin yaşı A + B olduğuna göre notun yazıldığı yıl:
\text{Yıl} = (100A + B) + (A + B) = 101A + 2B
Bu yılın dört basamaklı bir tam kare (k^2) olduğu belirtilmiştir.
Adım 2 — Asal Sayı Değerlerini Belirleme
A ve B iki basamaklı asal sayılardır. Dört basamaklı bir doğum yılı için A = 19 değeri incelendiğinde:
\text{Yıl} = 101 \times 19 + 2B = 1919 + 2B
B iki basamaklı bir asal sayı (11 \le B \le 97) olduğundan:
1919 + 2(11) \le \text{Yıl} \le 1919 + 2(97)
1941 \le \text{Yıl} \le 2113
Adım 3 — Tam Kare Şartını Sağlama
Bu aralıktaki tam kare sayılar kontrol edilir:
- 44^2 = 1936 (Aralık dışında)
- 45^2 = 2025
- 46^2 = 2116 (Aralık dışında)
Eşitliği sağlayan tek tam kare 2025’tir:
1919 + 2B = 2025
2B = 2025 - 1919
2B = 106
B = 53
53 sayısı iki basamaklı bir asal sayı olduğu için tüm koşullar sağlanır (A = 19, B = 53).
Adım 4 — Dedenin Yaşını Hesaplama
Dedenin notu yazdığı yıldaki yaşı A + B olarak verilmiştir:
\text{Yaş} = A + B = 19 + 53 = 72
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (72)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Analizi (Çözümleme)
- Tanım: Çok basamaklı bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır.
- Bu problemde: İki basamaklı A ve B sayılarının yan yana gelmesiyle oluşan AB dört basamaklı sayısı 100A + B olarak ifade edilmiştir.
2. Tam Kare Sayılar
- Tanım: Bir tam sayının kendisiyle çarpımı sonucu elde edilen sayılardır (k^2).
- Bu problemde: 1919 + 2B ifadesinin 45^2 = 2025 değerine eşitlenmesiyle B asal sayısı bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
AB İfadesini Çarpım Olarak Almak
- Yanlış: AB = A \times B şeklinde işlem yapmak.
- Doğru: A ve B iki basamaklı bloklar olduğundan AB = 100A + B olarak yazılmalıdır.
- Neden yanlış: AB ifadesi bir çarpım değil, iki basamaklı iki sayının yan yana gelmesiyle oluşan 4 basamaklı bir sayıdır.
Benzer bir basamak kavramı ve tam kare sayı içeren pratik sorusu çözmek ister misin?