Zeynep bir mobil uygulama için döviz çevirici tasarlamaktadır. Uygulamada iki farklı dönüşüm fonksiyonu kullanılacaktır. Kullanıcı uygulamaya bir miktar girdiğinde x , önce f fonksiyonu ardından g fonksiyonu devreye girerek istenilen çevirme gerçekleştirilecektir.
Uygulamanın arka planındaki matematiksel model ise aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
f(x) = \frac{3x - a}{2}
(g \circ f)(x) = 3x + 2a
Uygulamayı test eden Zeynep, x = 0 girişinde uygulamanın 9 değerini ürettiğini fark ediyor.
Buna göre x = 2 girişinde f fonksiyonunun üreteceği değer kaç olur?
A) -1
B) -\frac{1}{2}
C) 0
D) 1
E) \frac{3}{4}
Bileşke Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Parametre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir girdiye önce f sonra g fonksiyonu uygulandığında elde edilen çıktı bileşke fonksiyon ile modellenir ve (g \circ f)(x) = g(f(x)) şeklinde ifade edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Uygulamanın Çıktısından a Parametresini Bulma
Uygulama önce f sonra g fonksiyonunu çalıştırdığı için uygulamanın ürettiği genel sonuç (g \circ f)(x) = 3x + 2a fonksiyonudur. x = 0 girildiğinde uygulama 9 değerini ürettiğine göre:
(g \circ f)(0) = 3(0) + 2a = 9 \implies 2a = 9 \implies a = \frac{9}{2}
Adım 2 — x = 2 İçin f Fonksiyonunun Değerini Hesaplama
Soruda x = 2 girişinde yalnızca f fonksiyonunun üreteceği değer yani f(2) sorulmaktadır. f(x) = \dfrac{3x - a}{2} kuralında x = 2 ve a = \dfrac{9}{2} değerlerini yerine yazalım:
f(2) = \frac{3(2) - \frac{9}{2}}{2} = \frac{6 - \frac{9}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}
CEVAP: E) \frac{3}{4} (f(2) = \frac{3}{4})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda g(x) fonksiyonunun kuralını bulmaya çalışarak vakit kaybetmeyiniz; bileşke fonksiyonun kuralı (g \circ f)(x) doğrudan verildiği için x = 0 yazılarak a parametresi tek adımda elde edilir.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Uygulamanın çıktısı (g \circ f)(x) fonksiyonudur.
- a değerini bulalım:
(g \circ f)(0) = 3(0) + 2a = 9 \implies 2a = 9 \implies a = \frac{9}{2}
- f(2) değerini hesaplayalım:
f(2) = \frac{3(2) - a}{2} = \frac{6 - \frac{9}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}
Cevap: E) \dfrac{3}{4}