Zemine dik olarak duran 7 metre boyundaki bir elektrik direği, aşırı rüzgar nedeniyle 15 metre uzunluğundaki bir

Question Answer
1

Zemine dik olarak duran 7 metre boyundaki bir elektrik direği, aşırı rüzgar nedeniyle 15 metre uzunluğundaki bir parçası kırılmıştır. Kırılan üst parça, yüksekliği 3 metre olan bir binanın üzerine C noktasından temas ederek dengede kalmıştır. İlgili görsel aşağıda verilmiştir.
Buna göre cot x değerini bulunuz.

Zemine dik olarak duran 7 metre boyundaki bir elektrik direği, aşırı rüzgar nedeniyle...
Zemine dik olarak duran 7 metre boyundaki bir elektrik direği, aşırı rüzgar nedeniyle...1024×768 152 KB

2

Elektrik Direği ve Trigonometrik Oran (\cot x) Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
  • Kotanjant Oranı: \cot x = \dfrac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kırılan Parçanın Uzunluğunu Bulma
Direğin toplam uzunluğu 15\text{ m} olup, direk yerden 7\text{ m} yükseklikteki B noktasından kırılmıştır. Bu durumda kırılan üst parçanın (|BC|) uzunluğu:

|BC| = 15\text{ m} - 7\text{ m} = 8\text{ m}

Adım 2 — Dik Üçgeni Oluşturma ve Kenar Uzunluklarını Hesaplama
B noktasından binanın çatısına doğru yatay bir dikme çizerek veya C noktasından direğin dik hizasına yatay bir doğru çekerek bir dik üçgen oluşturalım:

  • Dikey kenar (Karşı kenar): B noktasının yüksekliği ile binanın yüksekliği arasındaki farktır.
    \text{Dikey Uzaklık} = 7\text{ m} - 3\text{ m} = 4\text{ m}
  • Hipotenüs: Kırılan parçanın boyu olan |BC| = 8\text{ m}
  • Yatay kenar (Komşu kenar): Pisagor bağıntısını uygulayarak yatay mesafeyi (k) bulalım:
    k^2 + 4^2 = 8^2
    k^2 + 16 = 64
    k^2 = 48 \implies k = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\text{ m}

(Not: Dik kenarın hipotenüsün yarısı olduğu bu üçgen 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel üçgenidir ve buradan x = 30^\circ olduğu doğrudan görülür.)

Adım 3 — \cot x Değerini Hesaplama
x açısı, kırılan direk parçası ile yatay çatı düzlemi arasındaki açıdır. Kotanjant tanımını uygulayalım:

\cot x = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \sqrt{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni: Hipotenüsü 2a, 30^\circ’nin karşısı a ve 60^\circ’nin karşısı a\sqrt{3} olan üçgendir. Burada karşı kenar 4\text{ m}, hipotenüs 8\text{ m} olduğundan x = 30^\circ ve \cot(30^\circ) = \sqrt{3} olur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Direğin toplam boyunu (15\text{ m}) hipotenüs olarak almak veya bina yüksekliğini (3\text{ m}) doğrudan üçgenin dikey kenarı kabul etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Kırılan parçanın boyunu 15 - 7 = 8\text{ m} olarak hesaplamak ve dikey fark için 7 - 3 = 4\text{ m} değerini kullanmak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?