Zemin ile tavan arasında 14 birim uzaklık olan şekilde I nolu durumdaki yaya eş ağırlıklardan 1 tane takılırsa II nolu, 3 tane takılırsa III nolu durumdaki gibi birim cinsinden uzunluklar elde ediliyor.
Yay, takılan her bir ağırlık için eşit mesafede aşağıya sarktığına göre, bu ağırlıklardan en az kaç tanesi boş yaya takıldığında ağırlıklar zemine temas eder?
A) 21
B) 20
C) 19
D) 22
E) 18
Zemin ile Tavan Arasında Yaya Ağırlık Takılması Problemi
KULLANILAN FORMÜL VE İLKE:
Doğrusal yay uzama modelinde toplam uzunluk, yayın ve asılı aparatın başlangıç uzunluğu ile takılan ağırlık sayısına bağlı uzama miktarının toplamıdır:
L(n) = L_0 + n \cdot x
- L_0: Başlangıçtaki sabit uzunluk (yayın serbest boyu, aparat ve ağırlık yüksekliği)
- x: Her 1 adet ağırlığın yayı aşağı doğru uzatma miktarı
- n: Takılan toplam ağırlık adedi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Her bir ağırlığın yayı uzatma miktarını (x) bulma
II. durumda 1 ağırlık varken toplam uzunluk 2\frac{1}{3} birim, III. durumda 3 ağırlık varken toplam uzunluk 3\frac{1}{2} birimdir. Bu iki durum arasındaki fark, eklenen 2 adet ağırlığın uzama miktarına eşittir:
2x = 3\frac{1}{2} - 2\frac{1}{3}
Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirip paydaları eşitleyelim:
2x = \frac{7}{2} - \frac{7}{3} = \frac{21 - 14}{6} = \frac{7}{6}
x = \frac{7}{12} \text{ birim}
Adım 2 — Başlangıç sabit uzunluğunu (L_0) hesaplama
II. durumdaki L_0 + 1 \cdot x = \frac{7}{3} eşitliğinde x = \frac{7}{12} değerini yerine yazalım:
L_0 + \frac{7}{12} = \frac{7}{3}
L_0 = \frac{7}{3} - \frac{7}{12} = \frac{28}{12} - \frac{7}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4} \text{ birim}
Adım 3 — Zemine temas etmesi için gereken minimum ağırlık sayısını (n) bulma
Zemin ile tavan arasındaki toplam mesafe 14 birimdir. Ağırlıkların zemine temas etmesi için toplam uzunluğun en az 14 birim olması gerekir:
L(n) \ge 14
\frac{7}{4} + n \cdot \frac{7}{12} \ge 14
Eşitsizliğin her iki tarafını 12 ile çarpalım:
3 \cdot 7 + 7n \ge 14 \cdot 12
21 + 7n \ge 168
7n \ge 147
n \ge \frac{147}{7}
n \ge 21
Bu durumda ağırlıkların zemine temas etmesi için en az 21 adet ağırlık takılmalıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (21)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Fonksiyonlar ve Hooke Yasası Modeli
- Tanım: Bir yayın uygulanan her birim kuvvet veya ağırlık başına eşit miktarda uzaması doğrusal bir artış gösterir.
- Bu problemde: 1 ağırlık ile 3 ağırlık arasındaki fark doğrudan 2 ağırlığın uzatmasına eşitlenerek birim uzama miktarı bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Başlangıç boyunu hesaba katmadan doğrudan oran-orantı kurmak
- Yanlış: 1 ağırlık 2\frac{1}{3} ise x ağırlık 14 birimdir şeklinde doğru orantı kurmak.
- Doğru: Yay ve aparatın başlangıçta belirli bir boyu (L_0) olduğu için sadece uzama miktarı üzerinden doğrusal denklem kurulmalıdır.
- Neden yanlış: Doğru orantı, başlangıç boyu 0 olduğunda geçerlidir. Burada sabit bir L_0 değeri mevcuttur.
Bu çözümdeki adımlarla ilgili sormak istediğin bir yer var mı, yoksa benzer bir soruyla pekiştirmek ister misin?