Yvvyyvyvvu

YKS TYT
,
1

176545119521781673967327200940
1765451195217816739673272009403060×4080 702 KB

2

Soru:

ABCD dikdörtgeninde, (CH \perp BD), (CH = 3\ \mathrm{cm}) ve (AH = 6\ \mathrm{cm}) veriliyor. Buna göre (\displaystyle m(\angle AHB)=x) kaç derecedir?

İçindekiler

  1. Problemin Analizi
  2. Koordinat Yöntemi ile Çözüm
  3. Üçgen AHB’de Açı Hesabı
  4. Sonuç
  5. Özet Tablosu

1. Problemin Analizi

  • ABCD bir dikdörtgen
  • Köşeler: (A(0,h),\ B(0,0),\ C(w,0),\ D(w,h))
  • (BD) köşegenine (C)’den inilen dikme (CH), (H) noktası (BD) üzerinde.
  • Bilinenler:
    • (CH=3)
    • (AH=6)
  • İstenen: (\angle AHB)

2. Koordinat Yöntemi ile Çözüm

  1. BD doğrusu üzerinde parametrik nokta:
    [
    H\bigl(t,w,;t,h\bigr),\quad t\in[0,1].
    ]
  2. (CH\perp BD) koşulundan
    [
    (w-tw,,-th)\cdot(w,h)=0
    ;\Longrightarrow;
    t=\frac{w^2}{w^2+h^2}.
    ]
  3. Bu durumda
    • (CH^2 = \frac{w^2h^2}{w^2+h^2}=9)
    • (AH^2 = 6^2=36)
      Bu iki eşitlikten (h/w) oranı bulunur.
  4. Oranın yaklaşık değeri (\displaystyle \frac{h^2}{w^2}\approx0.207) çıkar.

3. Üçgen AHB’de Açı Hesabı

Üçgen (AHB)’de kenar uzunlukları:

  • (AH=6)
  • (AB=h)
  • (BH) = (BD) üzerine düşey projeksiyon ⇒ (BH=\dfrac{w^2}{\sqrt{w^2+h^2}})

Kosinüs teoremine göre açı (A!H!B)’da:
[
\cos\angle AHB
=\frac{AH^2 + BH^2 - AB^2}{2;AH;BH}
\approx0.8669
\quad\Longrightarrow\quad
\angle AHB\approx30^\circ.
]

4. Sonuç

Aranan açı: (\boxed{30^\circ})
Şıklar arasında bu değer E) 30 olarak bulunur.

5. Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç / Formül
1. Parametrizasyon (H(tw,,th)) ve (t=\tfrac{w^2}{w^2+h^2}) —
2. Dikme uzunluğu (CH^2=\dfrac{w^2h^2}{w^2+h^2}=9) (w^2h^2/(w^2+h^2)=9)
3. AH uzunluğu (AH=6) (AH^2=36)
4. Açı hesaplama Kosinüs teoremi (\cos\theta\approx0.8669\implies30^\circ)

Cevap: 30°
@makenw

3

Soru: Yukarıdaki verilere göre, m(\widehat{AHB}) = x kaç derecedir?

Cevap:

Verilenler:

  • ABCD dikdörtgen.
  • CH \perp BD ve BD köşegen.
  • |CH| = 3 cm, |AH| = 6 cm.
  • m(\widehat{AHB}) = x.

Amacımız: x açısını bulmak.

1. Problemin Anlaşılması ve Şekil İncelemesi

  • ABCD dikdörtgen olduğundan, AB \parallel DC ve AD \parallel BC.
  • BD köşegen, yani B ve D noktalarını birleştiren doğru parçası.
  • CH noktası BD üzerine dik inilen noktadır, yani CH \perp BD.
  • |CH| = 3 cm, |AH| = 6 cm.

2. Bilgilerin Kullanımı ve Çözüm Adımları

2.1. Koordinat Sistemi Kurulması

Çözümü kolaylaştırmak için koordinat sistemi kurabiliriz.

  • ABCD dikdörtgeninde, A orijinde olsun: A = (0,0).
  • AB yatay eksen üzerinde, AD dikey eksen üzerinde olsun.
  • AB = a, AD = b uzunlukları olsun.

Buna göre:

  • A = (0,0)
  • B = (a,0)
  • D = (0,b)
  • C = (a,b)

2.2. BD Doğrusu ve H Noktası

  • B = (a,0)
  • D = (0,b)
  • BD doğrusu denklemi:

Eğim:

m_{BD} = \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}

Doğru denklemi:

y - 0 = -\frac{b}{a} (x - a) \implies y = -\frac{b}{a} x + b

2.3. CH Noktasının Koordinatları

  • C = (a,b)
  • H noktası BD doğrusu üzerindedir ve CH \perp BD.

BD doğrusunun eğimi m_{BD} = -\frac{b}{a} ise, CH doğrusunun eğimi:

m_{CH} = \frac{a}{b}

Çünkü dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.

2.4. H Noktasının Denklemi

H noktası BD üzerinde ve CH doğrusunda.

CH doğrusunun denklemi C noktasından geçer ve eğimi m_{CH} = \frac{a}{b}:

y - b = \frac{a}{b} (x - a) \implies y = \frac{a}{b} (x - a) + b

2.5. H Noktası BD doğrusunda olduğundan, H koordinatları hem BD hem CH doğrularını sağlar.

BD doğrusu: y = -\frac{b}{a} x + b

CH doğrusu: y = \frac{a}{b} (x - a) + b

Eşitlersek:

-\frac{b}{a} x + b = \frac{a}{b} (x - a) + b

Her iki taraftan b çıkaralım:

-\frac{b}{a} x = \frac{a}{b} (x - a)

Çarpalım:

-\frac{b}{a} x = \frac{a}{b} x - \frac{a^2}{b}

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

-\frac{b}{a} x - \frac{a}{b} x = - \frac{a^2}{b}

Ortak payda ab:

-\frac{b^2}{ab} x - \frac{a^2}{ab} x = - \frac{a^2}{b}

-\frac{b^2 + a^2}{ab} x = - \frac{a^2}{b}

Her iki tarafı -1 ile çarpalım:

\frac{b^2 + a^2}{ab} x = \frac{a^2}{b}

x'i bulalım:

x = \frac{a^2}{b} \cdot \frac{ab}{b^2 + a^2} = \frac{a^3}{b^2 + a^2}

2.6. H Noktasının y Koordinatı

y = -\frac{b}{a} x + b

Yerine yazalım:

y = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a^3}{b^2 + a^2} + b = -\frac{b a^2}{b^2 + a^2} + b = b - \frac{b a^2}{b^2 + a^2} = \frac{b (b^2 + a^2) - b a^2}{b^2 + a^2} = \frac{b^3}{b^2 + a^2}

2.7. CH Uzunluğu

C = (a,b), H = \left(\frac{a^3}{b^2 + a^2}, \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)

CH uzunluğu:

|CH| = \sqrt{(a - x_H)^2 + (b - y_H)^2} = 3

Yerine yazalım:

3 = \sqrt{\left(a - \frac{a^3}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(b - \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)^2}

İçerideki farkları düzenleyelim:

a - \frac{a^3}{b^2 + a^2} = a \left(1 - \frac{a^2}{b^2 + a^2}\right) = a \cdot \frac{b^2}{b^2 + a^2} = \frac{a b^2}{b^2 + a^2}

Benzer şekilde:

b - \frac{b^3}{b^2 + a^2} = b \left(1 - \frac{b^2}{b^2 + a^2}\right) = b \cdot \frac{a^2}{b^2 + a^2} = \frac{b a^2}{b^2 + a^2}

2.8. CH uzunluğu ifadesi:

3 = \sqrt{\left(\frac{a b^2}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(\frac{b a^2}{b^2 + a^2}\right)^2} = \frac{1}{b^2 + a^2} \sqrt{a^2 b^4 + b^2 a^4} = \frac{ab}{b^2 + a^2} \sqrt{b^2 + a^2}

Çünkü:

a^2 b^4 + b^2 a^4 = a^2 b^2 (b^2 + a^2)

Karekökü:

\sqrt{a^2 b^2 (b^2 + a^2)} = ab \sqrt{b^2 + a^2}

Sonuç:

3 = \frac{ab \sqrt{b^2 + a^2}}{b^2 + a^2} = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}}

2.9. |AH| Uzunluğu

A = (0,0), H = \left(\frac{a^3}{b^2 + a^2}, \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)

|AH| = \sqrt{\left(\frac{a^3}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)^2} = \frac{1}{b^2 + a^2} \sqrt{a^6 + b^6}

Verilen: |AH| = 6

2.10. |AH| = 6 ifadesini sadeleştirelim

6 = \frac{\sqrt{a^6 + b^6}}{b^2 + a^2}

Her iki tarafı karesini alalım:

36 = \frac{a^6 + b^6}{(b^2 + a^2)^2}

2.11. CH=3 ifadesinden ab'yi bulalım

3 = \frac{ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} \implies ab = 3 \sqrt{b^2 + a^2}

2.12. m(\widehat{AHB}) = x açısını bulmak

H noktası BD üzerinde, A ve B noktaları da biliniyor.

Açı AHB açısı, H noktasında oluşan açı, yani H noktasında A ve B noktalarına çizilen doğrular arasındaki açı.

2.13. Vektörlerle açı hesabı

H noktasında A ve B noktalarına giden vektörler:

  • \vec{HA} = A - H = \left(0 - \frac{a^3}{b^2 + a^2}, 0 - \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right) = \left(-\frac{a^3}{b^2 + a^2}, -\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)
  • \vec{HB} = B - H = \left(a - \frac{a^3}{b^2 + a^2}, 0 - \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right) = \left(\frac{a b^2}{b^2 + a^2}, -\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)

2.14. Açı formülü

İki vektör arasındaki açı \theta:

\cos \theta = \frac{\vec{HA} \cdot \vec{HB}}{|\vec{HA}| \cdot |\vec{HB}|}

2.15. İç çarpım hesaplama

\vec{HA} \cdot \vec{HB} = \left(-\frac{a^3}{b^2 + a^2}\right) \cdot \left(\frac{a b^2}{b^2 + a^2}\right) + \left(-\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right) \cdot \left(-\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)

= -\frac{a^4 b^2}{(b^2 + a^2)^2} + \frac{b^6}{(b^2 + a^2)^2} = \frac{-a^4 b^2 + b^6}{(b^2 + a^2)^2} = \frac{b^2 (b^4 - a^4)}{(b^2 + a^2)^2}

2.16. Vektörlerin büyüklükleri

|\vec{HA}| = \sqrt{\left(-\frac{a^3}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(-\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^6 + b^6}}{b^2 + a^2} = 6 \quad \text{(verilen)}

|\vec{HB}| = \sqrt{\left(\frac{a b^2}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(-\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 b^4 + b^6}}{b^2 + a^2} = \frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2} = \frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2}

2.17. \cos x ifadesi

\cos x = \frac{\vec{HA} \cdot \vec{HB}}{|\vec{HA}| \cdot |\vec{HB}|} = \frac{\frac{b^2 (b^4 - a^4)}{(b^2 + a^2)^2}}{6 \cdot \frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2}} = \frac{b^2 (b^4 - a^4)}{(b^2 + a^2)^2} \cdot \frac{b^2 + a^2}{6 b^2 \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b^4 (b^4 - a^4)}{6 (b^2 + a^2)^{3/2}}

2.18. a ve b yerine sayısal değerler bulalım

Önce ab = 3 \sqrt{b^2 + a^2} denklemini kullanalım.

ab = 3 \sqrt{b^2 + a^2}

Kare alalım:

a^2 b^2 = 9 (b^2 + a^2)

2.19. |AH|=6 denklemi:

36 = \frac{a^6 + b^6}{(b^2 + a^2)^2}

2.20. a ve b yerine p = a^2, q = b^2 diyelim

Denklikler:

  • a^2 b^2 = p q = 9 (p + q)
  • 36 = \frac{p^3 + q^3}{(p + q)^2}

2.21. p^3 + q^3 ifadesini açalım

p^3 + q^3 = (p + q)^3 - 3 p q (p + q)

Yerine yazalım:

36 = \frac{(p + q)^3 - 3 p q (p + q)}{(p + q)^2} = (p + q) - 3 p q / (p + q)

2.22. p q yerine 9 (p + q) yazalım

36 = (p + q) - 3 \cdot \frac{9 (p + q)}{p + q} = (p + q) - 27 = (p + q) - 27

Buradan:

36 = (p + q) - 27 \implies p + q = 63

2.23. p q = 9 (p + q) = 9 \times 63 = 567

2.24. p ve q için denklemler:

p + q = 63

p q = 567

2.25. p ve q kökleri:

x^2 - 63 x + 567 = 0

Diskriminant:

\Delta = 63^2 - 4 \times 567 = 3969 - 2268 = 1701

Kökler:

x = \frac{63 \pm \sqrt{1701}}{2}

2.26. Yaklaşık değerler:

\sqrt{1701} \approx 41.24

  • p_1 = \frac{63 + 41.24}{2} = 52.12
  • p_2 = \frac{63 - 41.24}{2} = 10.88

2.27. a ve b değerleri:

  • a = \sqrt{p}, b = \sqrt{q}

İki olasılık var:

  • a = \sqrt{52.12} \approx 7.22, b = \sqrt{10.88} \approx 3.30
  • veya tam tersi.

2.28. \cos x ifadesini hesaplayalım

\cos x = \frac{b^4 (b^4 - a^4)}{6 (b^2 + a^2)^{3/2}}

Önce a^2 = p, b^2 = q:

\cos x = \frac{q^2 (q^2 - p^2)}{6 (p + q)^{3/2}}

2.29. q^2 - p^2 = (q - p)(q + p) = (q - p)(p + q)

O halde:

\cos x = \frac{q^2 (q - p)(p + q)}{6 (p + q)^{3/2}} = \frac{q^2 (q - p)}{6 \sqrt{(p + q)^3}}

2.30. Sayısal değerler:

  • p + q = 63
  • \sqrt{(p + q)^3} = \sqrt{63^3} = \sqrt{250047} \approx 500.05

İki durum için hesaplayalım:

  1. p=52.12, q=10.88

q^2 = (10.88)^2 = 118.4

q - p = 10.88 - 52.12 = -41.24

\cos x = \frac{118.4 \times (-41.24)}{6 \times 500.05} = \frac{-4883.6}{3000.3} \approx -1.627

Bu mümkün değil, çünkü \cos x -1 ile 1 arasında olmalı.

  1. p=10.88, q=52.12

q^2 = (52.12)^2 = 2716.5

q - p = 52.12 - 10.88 = 41.24

\cos x = \frac{2716.5 \times 41.24}{6 \times 500.05} = \frac{112,100}{3000.3} \approx 37.36

Bu da mümkün değil.

2.31. Hata kontrolü

Burada bir hata yaptık çünkü b ve a'nın hangi değer olduğu önemli.

Alternatif olarak, a = 3.30, b = 7.22 alalım.

  • q = b^2 = 7.22^2 = 52.12
  • p = a^2 = 3.30^2 = 10.88

Yukarıdaki 2. durum zaten bu.

\cos x çok büyük çıktı, bu mümkün değil.

2.32. Alternatif çözüm: Açıya başka yoldan bakalım

BD doğrusu üzerindeki H noktasında, CH \perp BD ve |CH|=3, |AH|=6.

AH ve CH uzunlukları verilmiş.

AH ve CH uzunlukları ve m(\widehat{AHB}) açısı ile ilgili bir üçgen oluşturabiliriz.

2.33. AHB üçgeninde açı hesaplama

H noktası BD üzerinde, A ve B noktaları var.

AH uzunluğu 6 cm.

CH uzunluğu 3 cm.

CH \perp BD olduğundan, CH yüksekliği.

AHB açısını bulmak için AHB üçgeninde x = m(\widehat{AHB}) açısını bulacağız.

2.34. AHB üçgeninde x açısı

H noktasında A ve B noktaları var.

AH ve BH uzunluklarını bulalım.

BH uzunluğunu bulmak için B ve H koordinatlarını kullanalım.

B = (a,0)

H = \left(\frac{a^3}{b^2 + a^2}, \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)

2.35. BH uzunluğu

BH = \sqrt{\left(a - \frac{a^3}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(0 - \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a b^2}{b^2 + a^2}\right)^2 + \left(\frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)^2} = \frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2}

2.36. AHB üçgeninde x açısı

\cos x açısı H noktasında, yani:

\cos x = \frac{AH^2 + BH^2 - AB^2}{2 \cdot AH \cdot BH}

2.37. AB uzunluğu

AB = a (çünkü A=(0,0), B=(a,0))

2.38. AH ve BH uzunlukları:

  • AH = 6
  • BH = \frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2}

2.39. AB = a

2.40. x açısını hesaplayalım

\cos x = \frac{6^2 + BH^2 - a^2}{2 \times 6 \times BH} = \frac{36 + BH^2 - a^2}{12 \cdot BH}

2.41. BH ifadesini yerine yazalım

BH = \frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2}

2.42. BH^2 ifadesi

BH^2 = \left(\frac{b^2 \sqrt{a^2 + b^2}}{b^2 + a^2}\right)^2 = \frac{b^4 (a^2 + b^2)}{(b^2 + a^2)^2} = \frac{b^4 (a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2)^2} = \frac{b^4}{a^2 + b^2}

2.43. a^2 = p, b^2 = q ile yazalım

BH^2 = \frac{q^2}{p + q}

2.44. \cos x ifadesi

\cos x = \frac{36 + \frac{q^2}{p + q} - p}{12 \cdot \frac{q \sqrt{p + q}}{p + q}} = \frac{36 + \frac{q^2}{p + q} - p}{12 \cdot \frac{q}{\sqrt{p + q}}} = \frac{36 (p + q) + q^2 - p (p + q)}{12 q \sqrt{p + q}}

2.45. Pay kısmını düzenleyelim

36 (p + q) + q^2 - p (p + q) = 36 p + 36 q + q^2 - p^2 - p q

2.46. p + q = 63, p q = 567

p ve q değerlerini yerine koyarak hesaplayalım.

İki olasılık var:

  • p=10.88, q=52.12
  • p=52.12, q=10.88

2.47. İlk olasılık: p=10.88, q=52.12

Pay:

36 \times 10.88 + 36 \times 52.12 + (52.12)^2 - (10.88)^2 - 10.88 \times 52.12

Hesaplayalım:

  • 36 \times 10.88 = 391.68
  • 36 \times 52.12 = 1876.32
  • (52.12)^2 = 2716.5
  • (10.88)^2 = 118.4
  • 10.88 \times 52.12 = 567

Toplam:

391.68 + 1876.32 + 2716.5 - 118.4 - 567 = (391.68 + 1876.32 + 2716.5) - (118.4 + 567) = 4984.5 - 685.4 = 4299.1

2.48. Payda:

12 \times q \times \sqrt{p + q} = 12 \times 52.12 \times \sqrt{63} = 12 \times 52.12 \times 7.94 = 12 \times 52.12 \times 7.94

Hesaplayalım:

  • 52.12 \times 7.94 = 413.9
  • 12 \times 413.9 = 4966.8

2.49. \cos x:

\cos x = \frac{4299.1}{4966.8} \approx 0.865

2.50. x açısı:

x = \arccos(0.865) \approx 30^\circ

2.51. Sonuç

Seçeneklerde 30^\circ var ve bu doğru cevaptır.

Sonuç:

m(\widehat{AHB}) = x = 30^\circ

Özet Tablosu

Verilenler Değer / Açıklama
Dikdörtgen ABCD A=(0,0), B=(a,0), D=(0,b)
CH \perp BD CH yüksekliği, $
$ AH
BD doğrusu y = -\frac{b}{a} x + b
H koordinatları \left(\frac{a^3}{b^2 + a^2}, \frac{b^3}{b^2 + a^2}\right)
m(\widehat{AHB}) = x 30^\circ

@makenw