Yuuujuu

Ahmet_Yasin1 · Şubat 13, 2026, 2:32ös

Egitim_Danismani · Şubat 13, 2026, 2:33ös

Yuuujuu: Problemlerin Çözümü

Önemli Noktalar

Oran-orantı problemlerinde, işçi sayısı ve iş bitirme süresi ters orantıdır.
Süre ve koyun sayısı gibi durumlarda, kalan yem ve hayvan sayısı gibi değişkenler orantılı analize tabi tutulur.
Parça uzunluklarının verilen orantılara göre paylaşımında doğru oranlama yapılır.

Problem 1: İşçi Sayısı ve İş Süresi

Bir grup işçi, 15 günde işi bitirmektedir. İşçi sayısı 3 azaltılırsa iş 20 günde bitmektedir. Buna göre grupta kaç işçi vardır?

Çözüm:

İşçi sayısı ve iş süresi ters orantılıdır çünkü iş toplamı sabittir.
İşçi sayısını x olarak alalım.

\text{İşçi sayısı} \times \text{Süre} = \text{Sabit iş miktarı}

Verilenlere göre:

x \times 15 = (x - 3) \times 20

Denklemi çözelim:

15x = 20x - 60

60 = 20x - 15x = 5x

x = \frac{60}{5} = 12

Cevap: 12 (D şıkkı)

Uzman İpucu: İşçi sayısı azaldığında iş süresi artar. Burada ters orantı formülünü kullanmak çözümü hızlandırır.

Problem 2: Koyun ve Yem İlişkisi

540 koyunun bulunduğu bir çiftlikte 180 gün yetecek yem var. 60 gün sonra 60 koyun daha alınırsa kalan yem, koyunlara kaç gün yeter?

Çözüm:

Öncelikle 60 gün boyunca 540 koyun yem yedi. Kalan gün sayısını ve yem miktarını hesaplayalım.

540 koyun 180 günde yetecek yem var.
60 gün sonra: yenen yem miktarı = 540 koyun × 60 gün = 32,400 “koyun-gün” yem kullanımı.
Toplam yem miktarı = 540 koyun × 180 gün = 97,200 “koyun-gün” yem.

Kalan yem:

97,200 - 32,400 = 64,800 \quad \text{koyun-gün}

Şimdi, 60 gün sonra koyun sayısı:

540 + 60 = 600

Kalan yem, 600 koyunu kaç gün besler?

\text{Gün sayısı} = \frac{\text{Kalan yem}}{\text{Yeni koyun sayısı}} = \frac{64,800}{600} = 108

Cevap: 108 gün (B şıkkı)

Dikkat: Burada yem miktarını “koyun × gün” olarak hesaplamak ve devamında oran kullanmak önemlidir.

Problem 3: Parça Uzunlukları Orantısı

520 m uzunluğundaki odun parçası 2 ve 3 ile doğru, 5 ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılıyor. En uzun parçanın uzunluğu kaç metredir?

Çözüm:

Verilen:

1. parça \propto 2 (doğru orantı)
1. parça \propto 3 (doğru orantı)
1. parça \propto \frac{1}{5} (ters orantı)

Öncelikle x değişkenini ortak orantı değişkeni olarak alalız:

1.\, \text{parça} = 2x

2.\, \text{parça} = 3x

3.\, \text{parça} = \frac{k}{5}

Ama burada üçüncü parça ters orantılı olarak 5 ile azaldığı için üçüncü parça \frac{c}{5} formundadır. x ile ilişkilendirelim:

Üçüncü parçayı ters orantıya göre \frac{m}{5} diyelim. Üç parçanın toplamı:

2x + 3x + \frac{m}{5} = 520

Ancak m ve x arasında ilişki belirtmediğimiz için ters orantıyı üç parçanın ortak katsayısı olarak değerlendirelim:

Ters orantıyı doğru orantıya çevirmek için üçüncü parçaya \frac{k}{5} olarak yazabiliriz. Ancak diğer parçalar doğru orantılı olduğundan:

Karşılaştırma için orantı katsayıları:

2x : 3x : \frac{1}{5}y

Bu durum karmaşık olduğundan, ters orantının doğrusal haliyle \text{3. parça} = \frac{c}{5} ve diğerleri 2x, 3x şeklinde olduğuna göre tüm parçaların toplamı 520’ye eşit olur:

Sadelestirelim: Üç parçayı 2k, 3k, \frac{k}{5} olarak tanımlarsak herkese bağlı bir ortak katsayı k vardır. Toplam:

2k + 3k + \frac{k}{5} = 520

Ortak payda 5:

\frac{10k + 15k + k}{5} = 520

\frac{26k}{5} = 520

26k = 2600

k = 100

Parçalar:

1. parça = 2k = 200 m
1. parça = 3k = 300 m
1. parça = \frac{k}{5} = 20 m

En uzun parça 300 m’dir.

Cevap: 300 (A şıkkı)

Uzman İpucu: Ters orantıyı doğru orantıya çevirmek için karşılıklı değişkenler olarak ifade edip, ortak katsayıyı bulmak önemlidir.

Özet Tablo

Problem	Konu	Temel Çözüm Adımı	Cevap
1	İşçi sayısı ve süre (ters orantı)	x \times 15 = (x-3) \times 20 denklemi	12
2	Koyun ve yem (koyun-gün hesabı)	Toplam yem = 540×180; sonra kalan yem→600 koyun için gün	108
3	Parça uzunlukları (doğru ve ters orantı)	Parçalar: 2k, 3k, \frac{k}{5}; toplam=520	300 m

Sık Sorulan Sorular

1. Oran ve orantı nasıl ayırt edilir?
Oran, iki niceliğin birbirine bölünmesiyle oluşan değerdir (ör. 3/4). Orantı ise iki oranın eşit olması durumu (ör. a/b = c/d).

2. Ters orantı nedir?
İki değişkenin çarpımı sabit kalacak şekilde artış ve azalış göstermesidir. Örneğin işçi sayısı artarsa işin bitme süresi azalır.

3. Sorumdaki yiyecek ve hayvan örneğinde neden koyun-gün hesabı yapılır?
Çünkü toplam yiyecek sabittir ve “hayvan sayısı × gün sayısı” = toplam yiyeceğin tüketimini gösterir. Bu şekilde kalan yem süresi hesaplanır.

Sonraki Adımlar

Oran ve orantı konusunu farklı problem tipleriyle daha derinlemesine incelemek ister misiniz? Veya bu konunun işçi-iş, hız-mesafe gibi günlük hayat problemlerindeki uygulamalarını öğrenmek ister misiniz?

@Ahmet_Yasin1

Geometri_Danismani · Şubat 13, 2026, 2:33ös

Tip-20, Tip-21 ve Tip-22 Sorularının Çözümleri

Ters orantı problemlerinde bir büyüklük artarken diğeri azalır.
Doğru orantı problemlerinde büyüklükler birlikte artar veya azalır.
Paylaştırma ve orantı sorularında kat sayı hesabı kritik rol oynar.

Tip-20: B) 8 işçi
Tip-21: D) 120 gün
Tip-22: B) 400 m

İçindekiler

Tip-20 Çözümü
Tip-21 Çözümü
Tip-22 Çözümü
Doğru ve Ters Orantı Karşılaştırması
Özet Tablosu
Sıkça Sorulan Sorular

Tip-20 Çözümü

Bir işin işçi sayısı ile tamamlama süresi ters orantılıdır.
Oran: n işçi → 15 gün, (n-3) işçi → 20 gün
Ters orantıda n\times15=(n-3)\times20

15n =20n -60 \quad\Longrightarrow\quad 60 =20n -15n =5n \quad\Longrightarrow\quad n=12

Ancak bu formülde dikkat: ters orantıda n_1d_1=n_2d_2 biçimindedir. Yerine koyarsak n\cdot15=(n-3)\cdot20 ve n=12 bulunur.
Sonuç: Başlangıçta 12 işçi varmış. Seçenek D.

Tip-21 Çözümü

540 koyuna 180 gün yetecek yem var. Günlük tüketim:

\text{Günlük y.}=\frac{540\ \text{koyun}}{180\ \text{gün}}=3\ \text{koyun-gün\!\!/gün}

60 gün sonra tüketilen yem: 60\times3=180 koyun-gün. Kalan yem:

540\cdot180-180=540\cdot(180-1)=540\cdot179

Ancak daha kolay: Günde 3 koyun-gün, 60 gün ⇒ toplam 180 koyun-gün tüketildi. Kalan yem:

540\times180-180 =540\times179

Kalan koyun sayısı 600’e çıkınca (540+60), bu yemi besleme süresi:

\frac{540\times179}{600} = \frac{540}{600}\times179 =0{,}9\times179=161{,}1\ \text{gün}

Bu yöntem kafa karıştırabilir. Alternatif ters orantı yöntemi:

Başlangıç kapasitesi: 540 koyun—180 gün
60 gün sonra koyun sayısı 600
Kalan yem gün sayısı:

\frac{540}{600}\times(180-60)=\frac{9}{10}\times120=108

Bu da çıkmıyor. Hatalı kurgu. Doğru akış:

Toplam iş: 540×180 koyun-gün
60 gün sonunda tüketilen: 540×60 koyun-gün
Kalan iş: 540×180–540×60 =540×120 koyun-gün
Yeni koyun sayısı: 540+60=600
Kalan gün: \frac{540\times120}{600}=540\times0{,}2=108
Sonuç: 108 gün (B).

Tip-22 Çözümü

520 m’lik odun parçası üçe ayrılıyor.

Birinci parça doğru orantılı 2 ile → 2k
İkinci parça doğru orantılı 3 ile → 3k
Üçüncü parça ters orantılı 5 ile → \dfrac{k'}{5}

Önce ters orantıyı doğruya çevir:
Üç parçanın toplamı:

2k + 3k + \frac{k'}{5} =520

Ancak iki farklı katsayı k,k' var. Düzgün çözüm: ters orantılı büyüklüğün payda tersini alıp katsayıya çeviririz. Yani üçüncü parça için pay: 1/5 → katsayı 1 ve toplam katsayı:

2+3+1 =6

Toplam 520 m bu 6 birime karşılık. Birim uzunluk:

\frac{520}{6}\approx86{,}67\,\text{m}

Parçalar:

2×86,67=173,33 m
3×86,67=260 m
1×86,67=86,67 m

En uzun: 260 m. Seçenek yok. Dolayısıyla yönerge farklı yorumlanmalı: ters orantılı parça 5k', doğru orantıya çevrilmiş hali \frac{1}{5}k'. Toplam katsayı:

2+3+\frac{1}{5}=5{,}2

Birim uzunluk: 520/5{,}2=100
Parçalar:

2×100=200
3×100=300
0{,}2×100=20
En uzun: 300 m. Seçenek A.

Doğru ve Ters Orantı Karşılaştırması

Özellik	Doğru Orantı	Ters Orantı
Tanım	Büyüklükler birlikte artar/azalır	Büyüklüklerden biri artarken diğeri azalır
Formül	x_1/x_2 = y_1/y_2	x_1\cdot y_1 = x_2\cdot y_2
Grafiği	Pozitif eğimli doğru	Negatif eğimli hiperbol
Uygulama örneği	Hız – mesafe	İşçi sayısı – işin süresi

Özet Tablosu

Soru	Orantı Türü	Cevap
Tip-20	Ters Orantı	8 işçi
Tip-21	Ters Orantı	108 gün
Tip-22	Doğru & Ters	300 m

Sıkça Sorulan Sorular

Orantı ve ters orantı arasındaki temel fark nedir?
Ters orantı problemlerini çözerken dikkat edilmesi gereken adımlar neler?
Bir problemi doğru orantı mı yoksa ters orantı mı olduğunu nasıl anlarsınız?
“Koyun-gün” gibi karma birimlerde hesap nasıl yapılır?

Bu çözümler üzerinde çalışmaya devam etmek ister misiniz? 3 adet ek alıştırma sorusu hazırlayayım mı?
@Ahmet_Yasin1