"Yüksekliği 12 birim olan kare dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle tepe noktasına 8 birim mesafeden kesilerek bir küçük piramit ve kesik piramit elde ediliyor. Kesik piramidin hacmi 380 birimküp olduğuna göre küçük piramidin hacmi kaç birimküptür?"

LİSE 10.Sınıf Matematik
1

“Yüksekliği 12 birim olan kare dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle tepe noktasına 8 birim mesafeden kesilerek bir küçük piramit ve kesik piramit elde ediliyor. Kesik piramidin hacmi 380 birimküp olduğuna göre küçük piramidin hacmi kaç birimküptür?”

2

Soru: Yüksekliği 12 birim olan kare dik piramit, tabanına paralel bir düzlemle tepe noktasına 8 birim mesafeden kesilerek bir küçük piramit ve kesik piramit elde ediliyor. Kesik piramidin hacmi 380 birimküp olduğuna göre küçük piramidin hacmi kaç birimküptür?

Cevap:

Merhaba @Dersnotu! Bu soruyu ayrıntılı ve adım adım çözeceğim. Soru, bir kare dik piramidin tabanına paralel bir düzlemle kesilmesiyle oluşan küçük piramit ve kesik piramidin hacimleri arasında ilişki kurmayı gerektiriyor. Bu tür problemler, benzer şekillerin hacim oranlarını kullanarak çözülür. Endişelenme, her adımı basit bir şekilde açıklayacağım ve matematiksel ifadeleri açıkça göstereceğim. Sonuçta, küçük piramidin hacmini bulacağız.

Hacim hesaplamalarında, piramitlerin benzer olması ve hacimlerin yükseklik oranının küpüyle orantılı olması anahtar nokta. Şimdi, adım adım ilerleyelim.

İçerik Tablosu

1. Giriş ve Temel Kavramlar

Bu problemde, bir kare dik piramit (tabanı kare olan ve kenarları dik olan piramit) veriliyor. Piramit, tabanına paralel bir düzlemle kesiliyor ve bu kesim sonucunda:

  • Küçük piramit: Tepe noktasından başlayan ve kesim düzlemine kadar uzanan kısım.
  • Kesik piramit (frustum): Orijinal piramitin tabanı ile kesim düzlemi arasında kalan kısım.

Verilenler:

  • Orijinal piramitin yüksekliği H = 12 birim.
  • Kesim düzlemi, tepe noktasından 8 birim uzaklıkta.
  • Kesik piramidin hacmi 380 birimküp.

Amacımız, küçük piramidin hacmini bulmak.

Temel kavramlar:

  • Bir piramidin hacmi formülü: V = \frac{1}{3} \times \text{taban alanı} \times \text{yükseklik}.
  • Tabanına paralel kesilen piramitler benzerdir. Benzer şekillerde, doğrusal boyutların oranı (örneğin yükseklik oranı) hacim oranını belirler ve hacim oranı, yükseklik oranının küpüdür.

2. Benzer Şekiller ve Hacim Oranı

Kesim düzlemi tabana paralel olduğu için, küçük piramit orijinal piramitle benzerdir. Benzerlik oranı, yüksekliklere göre hesaplanır.

  • Orijinal piramitin yüksekliği: H = 12 birim.
  • Küçük piramitin yüksekliği: h_s = 8 birim (tepe noktasından kesime kadar).
  • Benzerlik oranı: k = \frac{h_s}{H} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

Hacimlerde oranlama:

  • Benzer şekillerde hacim oranı, benzerlik oranının küpüdür: \left(k\right)^3.
  • Yani, küçük piramitin hacmi / orijinal piramitin hacmi = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}.

Bunu kullanarak, orijinal piramitin hacmini bulabiliriz. Kesik piramidin hacmi, orijinal hacimden küçük piramitin hacminin çıkarılmasıyla elde edilir:

  • Kesik piramitin hacmi (V_f) = Orijinal hacim (V_o) - Küçük piramitin hacmi (V_s).

Verilen V_f = 380 birimküp.

3. Adım Adım Çözüm

Şimdi, soruyu adım adım çözelim. Matematiksel ifadeleri açıkça göstereceğim.

Adım 1: Benzerlik oranını ve hacim oranını belirle

  • Benzerlik oranı: k = \frac{h_s}{H} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
  • Hacim oranı: V_s / V_o = k^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}.
  • Yani, V_s = \frac{8}{27} V_o.

Adım 2: Kesik piramitin hacmini kullanarak denklem kur

  • Kesik piramitin hacmi: V_f = V_o - V_s.
  • Verilen V_f = 380, yani:
    $
    V_o - V_s = 380
    $
  • V_s = \frac{8}{27} V_o olduğundan, denklem şöyle olur:
    $
    V_o - \frac{8}{27} V_o = 380
    $
  • Basitleştirme:
    $
    \left(1 - \frac{8}{27}\right) V_o = 380
    $
    $
    \frac{27}{27} - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}, \text{ yani }
    \frac{19}{27} V_o = 380
    $

Adım 3: Orijinal piramitin hacmini hesapla

  • V_o = 380 \times \frac{27}{19}.
  • Önce 380 / 19 hesaplayalım: 380 \div 19 = 20 (çünkü 19 \times 20 = 380).
  • Sonra 20 \times 27 = 540.
  • Yani, orijinal piramitin hacmi V_o = 540 birimküp.

Adım 4: Küçük piramitin hacmini bul

  • V_s = \frac{8}{27} V_o = \frac{8}{27} \times 540.
  • Önce 540 / 27 = 20 (çünkü 27 \times 20 = 540).
  • Sonra 8 \times 20 = 160.
  • Yani, küçük piramitin hacmi V_s = 160 birimküp.

Adım 5: Kontrol et

  • Kesik piramitin hacmi: V_f = V_o - V_s = 540 - 160 = 380, ki bu verilenle uyumlu.

Sonuç: Küçük piramitin hacmi 160 birimküp’tür.

4. Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, ana değerleri ve hesaplamaları özetler:

Piramit Türü Yükseklik (birim) Benzerlik Oranı Hacim (birimküp) Notlar
Orijinal Piramit 12 1 540 Verilmeyen, hesaplandı
Küçük Piramit 8 \frac{2}{3} 160 Aranan hacim
Kesik Piramit (Frustum) 4 (fark) - 380 Verilen hacim

5. Özet ve Sonuç

Bu soruda, kare dik piramitin tabanına paralel kesilmesiyle oluşan benzer şekillerin hacim oranlarını kullanarak çözüme ulaştık. Anahtar nokta, benzerlik oranının ( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} ) küpünün ( \frac{8}{27} ) hacim oranını vermesiydi. Verilen kesik piramit hacmi (380 birimküp) sayesinde orijinal piramitin hacmini (540 birimküp) bulduk ve ardından küçük piramitin hacmini 160 birimküp olarak hesapladık.

Önemli nokta: Küçük piramitin hacmi 160 birimküp’tür. Bu tür problemlerde, benzer şekillerin özelliklerini anlamak ve oranları doğru kullanmak kritik öneme sahiptir. Umarım bu açıklama yardımcı olmuştur – matematik her zaman adım adım çözüldüğünde daha kolaydır!

Eğer başka bir sorunuz olursa, lütfen sorun. :blush:

@Dersnotu