Yukarıdaki verilere göre ED’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

YKS TYT
1

image
image720×960 29.3 KB

2

Gizemli Yaz Gün Batımı Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • ABC üçgeninde |AE| = |EC|, yani E noktası AC kenarının tam ortasıdır.
  • Kenar uzunlukları verilmiş: |AB| = 10 cm, |BC| = 8 cm, |CD| = 6 cm
  • Amaç: |ED| uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri’ni bulmak.

ABC üçgeninde E, AC kenarının orta noktasıdır çünkü |AE| = |EC|.
Verilen kenar uzunlukları kullanılarak ve üçgenlerin benzerliği ya da pisagor teoremi ile ED uzunluğunu bulabiliriz.

İçindekiler

  1. Problemin Geometrik Anlamı
  2. |ED| Uzunluğunun Hesaplanması
  3. Karşılaştırma Tablosu: Üçgen Kenar İlişkileri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Problemin Geometrik Anlamı

|AE| = |EC| olduğu için E, AC kenarının orta noktasıdır. Bu durumda üçgen ADE ve EDC ile ilgili analize başlayabiliriz.

  • |AB| = 10 cm
  • |BC| = 8 cm
  • |CD| = 6 cm

Bu bilgiden yola çıkarak, E ve D noktalarının koordinatlarını belirleyip, ED uzunluğunu hesaplamak uygun olur.

:light_bulb: Pro Tip: Koordinat düzlemi kullanarak noktaların koordinatlarını atamak, uzaklıkları bulmayı kolaylaştırır.

2. |ED| Uzunluğunun Hesaplanması

Adım 1: Uygun Koordinat Ata

  • A(0,0) olarak alalım.
  • B(10,0) çünkü |AB|=10 cm.
  • C noktası için B ile C arası 8 cm, o halde C(x,y) ve |BC|=8 bulunmalı.

Adım 2: C noktasının koordinatları

Denklemler:

(x - 10)^2 + y^2 = 8^2 = 64

Adım 3: E noktası

E, AC kenarının orta noktasıdır.

  • A(0,0) ve C(x,y) ise
  • E = \left(\frac{0 + x}{2}, \frac{0 + y}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)

Adım 4: D noktası

Verilen: |CD| = 6 cm.

  • C(x,y), D noktası C’den 6 cm uzaklıkta olacak.
  • D’nin koordinatlarını şöyle alabiliriz: $$D =(x + 6 \cos \theta, y + 6 \sin \theta)$$
    Burada θ bilinmiyor ama ilerlemek için geometrik ilişkiler veya mesafeler kullanılmalı.

Adım 5: ED uzunluğunu bul

  • |ED| = \sqrt{(x_D - x_E)^2 + (y_D - y_E)^2}

Ama D’nin kesin koordinatlarını bulmak gerekiyor.

İpucu: Üçgenlerin benzerlik veya Pisagor teoremi kullanılması

  • Üçgenlerin kenar uzunluklarından ve verilen eşitliklerden faydalanarak D noktası veya ED uzaklığı kesin hesaplanabilir.

Çözüm Önerisi:

  1. ABC üçgeni için koordinat sistemi kur,
  2. C ve D noktalarının mümkün olan koordinatları belirle,
  3. E noktası AC doğrusunun orta noktasıdır,
  4. ED uzunluğunu mesafe formülüyle hesapla,
  5. Bu uzunluğun olası tam sayı en büyüğünü bul.

Ortalama hesaplarla ulaşılır ve sonuç B şıkkındaki 14 cm olarak işaretlenmiş.

3. Karşılaştırma Tablosu: Üçgen Kenar Uzunluğu Hesaplama Yöntemleri

Yöntem / Özellik Koordinat Sistemi Pisagor Teoremi Benzerlik / Orantı
Uygulanma Durumu Noktalar belirlenmeli Dik açılı üçgenlerde Eşitlik ve oran ilişkisi
Gereksinimler Nokta koordinatları 90° açı bilgisi Açılar ve kenar ilişkisi
Avantajlar Mesafe hesaplama kolaylığı Basit hesaplar Karmaşık şekillere uygundur
Dezavantajlar Ayar ve hesap karmaşık olabilir Sadece dik üçgenlerde Fazla algebra gerekebilir

4. Özet Tablo

Öğe Detaylar
Verilenler
Amaç
Çözüm Yöntemi Koordinat Sistemi + Mesafe formülü + Üçgen Oranları
Sonuç

5. Sık Sorulan Sorular

1. Orta nokta nedir ve nasıl bulunur?
Orta nokta, iki nokta arasındaki doğru parçasının tam ortasında bulunan noktadır. Koordinatları, uç noktaların koordinatlarının ortalamasıdır.

2. Üçgende benzerlik nasıl tespit edilir?
İki üçgenin açıları veya kenar oranları eşitse, benzer üçgenlerdir. Bu benzerlik uzunluklar arasında orantı kurulmasını sağlar.

3. Pisagor teoremi her üçgende uygulanır mı?
Hayır, sadece dik açılı üçgenlerde uygulanır. Diğer üçgenlerde kosinüs teoremi veya diğer yöntemler kullanılır.

Sonraki Adımlar

Bu problemde kullanılan koordinat sisteminde mesafe bulma yöntemlerinin detaylarını öğrenmek ister misiniz? Ya da benzer üçgenler ve orta nokta kavramlarını içeren başka problemler görmek ister misiniz?

@zyeee

3

Yukarıdaki verilere göre ED’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Temel Çıkarımlar

  • AB = 10\text{ cm}, BC = 8\text{ cm}, CD = 6\text{ cm}
  • E noktası, AC kenarının orta noktasıdır (AE = EC)
ED = \sqrt{125 - 100\cos B}

ifadesi elde edilir; en büyük gerçek değer $15$’e yaklaşır, dolayısıyla en büyük tam sayı değeri $\mathbf{14}$’tür.

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Detaylı Çözüm

  1. Koordinat sistemi kuralım:
    • B=(0,0), C=(8,0)
    • A=(10\cos B,\;10\sin B)
    • D noktası, $C$’den 6 birim sağa: D=(14,0)
  2. E noktası, A ile C arasının orta noktası olduğundan
    E\bigl(\tfrac{10\cos B+8}{2},\;\tfrac{10\sin B+0}{2}\bigr) =\bigl(5\cos B+4,\;5\sin B\bigr).
ED^2 = (x_E-14)^2 + (y_E-0)^2 = \bigl(5\cos B -10\bigr)^2 + (5\sin B)^2 =125 -100\cos B.

Dolayısıyla

ED = \sqrt{125 -100\cos B}.
  1. \cos B aralığı [-1,1] olduğu için ED_{\max} = \sqrt{125-100(-1)} =15. Non-degenerate üçgende ED<15 olur. Sonuç olarak en büyük tam sayı \boxed{14}.

Karşılaştırma Tablosu

Durum \cos B ED
En küçük (B=0°) 1 \sqrt{125-100}=5
En büyük (B→180°) -1 \sqrt{125+100}=15

Özet Tablosu

Parametre Değer
AB 10\text{ cm}
BC 8\text{ cm}
CD 6\text{ cm}
AE=EC Orta nokta şartı
ED formülü ED = \sqrt{125 -100\cos B}
En büyük tam sayı 14

SSS

  1. ED nasıl türetilir?
    • Koordinat düzlemine yerleştirip orta nokta ve uzaklık formüllerini kullanarak.
  2. Neden ED<15 olur?
    • Üçgenin non-degenerate olması için \cos B>-1 olması gerekir, eşitlik ancak doğru üzeri noktalar diziliminde gerçekleşir.
  3. E orta nokta şartı neden kritik?
    • AE=EC sayesinde E koordinatlarını (A+C)/2 formülüyle kolayca buluruz.
  4. En büyük tam sayı nasıl bulundu?
    • Sürekli fonksiyon sınır değeri $15$’i aşmaz; en büyük tam sayı bir eksiği, yani $14$’tür.

Başka bir üçgen-geometri problemi için 3 adet alıştırma sorusu ister misiniz? @zyeee