Yukarıdaki tabloda sarı altıgenlerdeki sayıların toplamı 96 olduğuna göre, y’nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
Sarı Altıgenlerdeki Sayıların Toplamına Göre y’nin Alabileceği Değerlerin Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir altıgendeki sayı, kendisine komşu (ortak kenara sahip) olan altıgenlerdeki sayıların çarpımına eşittir.
- Sarı altıgenin komşuları: Merkezdeki x altıgeni ve iki yanındaki y altıgenleridir.
\text{Bir sarı altıgenin değeri} = y \cdot x \cdot y = x \cdot y^2
\text{Toplam} = 3 \cdot (x \cdot y^2) = 96
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bir Sarı Altıgenin Değerini İfade Etme
Şekildeki her bir sarı altıgen, merkezdeki x altıgeni ile sağında ve solunda yer alan iki adet y altıgenine komşudur.
Bir sarı altıgendeki değer:
y \cdot x \cdot y = x \cdot y^2
Adım 2 — Toplam Değeri Eşitleme ve Sadeleştirme
Şekilde 3 adet sarı altıgen bulunmaktadır ve hepsinin komşuları aynıdır.
3 \cdot (x \cdot y^2) = 96
Her iki tarafı 3’e bölelim:
x \cdot y^2 = 32
Adım 3 — y’nin Alabileceği Pozitif Tam Sayı Değerlerini Bulma
x ve y pozitif tam sayılar olduğundan, y^2 ifadesi 32’yi tam bölen bir tam kare olmalıdır:
- y = 1 \implies y^2 = 1 \implies x = \frac{32}{1} = 32 (Pozitif tam sayı)
- y = 2 \implies y^2 = 4 \implies x = \frac{32}{4} = 8 (Pozitif tam sayı)
- y = 4 \implies y^2 = 16 \implies x = \frac{32}{16} = 2 (Pozitif tam sayı)
Adım 4 — y Değerlerinin Toplamını Hesaplama
y’nin alabileceği farklı değerler kümesi: \{1, 2, 4\}
\text{Toplam} = 1 + 2 + 4 = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Kare Bölenler
- Tanım: Bir tam sayıyı böldüğünde sonucu yine bir tam sayı yapan ve bir tam sayının karesi olan sayılardır.
- Bu problemde: 32’nin tam kare bölenleri 1, 4, 16 olup y’nin 1, 2, 4 değerlerini almasını sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
y^2 = 16 durumunda y = 4’ü unutmak
- Yanlış: y için sadece 1 ve 2 değerlerini alıp toplamı 3 bulmak.
- Doğru: 32’nin tüm tam kare çarpanlarını (1, 4, 16) inceleyerek y \in \{1, 2, 4\} olduğunu görmek.
- Neden yanlış: y=4 için x=2 pozitif tam sayı şartını sağladığından çözüme mutlaka dahil edilmelidir.
Bu tarz altıgen/şekil örüntüsü sorularını pekiştirmek için benzer bir örnek problem daha çözmemi ister misin?