Resimli Sayılarla EBOB ve EKOK Hesaplama Sorusu Çözümü
Önemli Noktalar
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki sayının paylaştığı asal çarpanların en küçük kuvvetlerinin çarpımıdır.
- EKOK (En Küçük Ortak Kat) ise, asal çarpanların en büyük kuvvetleriyle çarpımından oluşur.
- Verilen asal çarpanlara göre EBOB ve EKOK hesaplamasında asal çarpanların üsleri dikkatlice seçilmelidir.
Verilen:
[
K = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \
L = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \
M = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 11^2
]
Soru:
- ( \text{EBOB}(L, M) ) ve
- ( \text{EKOK}(K, M) ) hesaplanarak doğru seçenek bulunacak.
EBOB ve EKOK Hesaplaması
1. ( \text{EBOB}(L, M) )
EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımıdır.
Ortak asal çarpanlar: 2, 3, 5 (çünkü (L)'de 11 yok)
- (2:) (L=2^4, M=2^6 \Rightarrow \min=2^4)
- (3:) (L=3^3, M=3^3 \Rightarrow \min=3^3)
- (5:) (L=5^2, M=5^1 \Rightarrow \min=5^1)
Sonuç:
[
EBOB(L, M) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1
]
2. ( \text{EKOK}(K, M) )
EKOK, tüm asal çarpanların en büyük üsleridir.
Ortak ve farklı asal çarpanlar: 2, 3, 5, 7, 11
- (2:) (K=2^5, M=2^6 \Rightarrow \max=2^6)
- (3:) (K=3^4, M=3^3 \Rightarrow \max=3^4)
- (5:) (K)da yok (5^0), (M=5^1 \Rightarrow \max=5^1)
- (7:) (K=7^2, M)da yok, (7^0 \Rightarrow \max=7^2)
- (11:) (K=11^1, M=11^2 \Rightarrow \max=11^2)
Sonuç:
[
EKOK(K, M) = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \cdot 11^2
]
Verilen Seçeneklerin Değerlendirilmesi
A şıkkı:
- (EBOB(L, M) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2) yanlış (5’nin üssü 2 olmamalı)
- (EKOK(K, M) = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot 11^1) yanlış (2’nin üssü eksik ve 5 yok)
B şıkkı:
- (EBOB(K, L) = 2^5 \cdot 3^5) yanlış (3’ün üssü 5 olamaz)
C şıkkı:
- (EBOB(L, M) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1) doğru
- (EKOK(K, M) = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \cdot 11^2) doğru
D şıkkı:
- (EKOK(L, M) = 2^1 \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 11^1) yanlış
Sonuç:
Doğru cevap C) şıkkıdır.
Özet Tablo
| İşlem | Sonuç |
|---|---|
| EBOB(L, M) | (2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^1) |
| EKOK(K, M) | (2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \cdot 11^2) |
Sık Sorulan Sorular
1. EBOB ve EKOK arasındaki temel fark nedir?
EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımıdır; EKOK ise tüm asal çarpanların en büyük üslerinin çarpımıdır.
2. Ortak asal çarpanı olmayan iki sayının EBOB’u nedir?
EBOB 1’dir (sayısal olarak asal sayılar gibi).
3. EKOK en az kaçtan başlar?
İki sayının EKOK’u, her iki sayıyı da tam bölen en küçük sayıdır.
Sonraki Adımlar
Asal çarpanların kullanıldığı diğer problemlerde EBOB ve EKOK hesaplama yöntemlerine ihtiyaç duyabilirsiniz. İsterseniz bu konuda örnek sorular ve çözümlerle devam edebiliriz.
İsterseniz, başka sayılarla EBOB ve EKOK hesaplama uygulaması ister misiniz?
Yukarıdaki sayılara göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
• EBOB sayının asal çarpanlarındaki her bir asalin en düşük üssü alınarak bulunur.
• EKOK sayının asal çarpanlarındaki her bir asalin en yüksek üssü alınarak bulunur.
• Ortak ve farklı asal çarpanlar tespit edilerek üsler karşılaştırılmalıdır.
A seçeneği doğrudur: EBOB(L, M) = 2^4\cdot3^3\cdot5^2.
İçindekiler
EBOB ve EKOK Tanımı
- EBOB(a, b): Her ortak asal için minimum üslerin çarpımıdır.
- EKOK(a, b): Tüm asal çarpanlar için maksimum üslerin çarpımıdır.
Hesaplamalar
Verilenler:
- EBOB(L, M): ortak asal 2, 3, 5 için
$$\min(4,6)=4,;\min(4,3)=3,;\min(2,3)=2;\Rightarrow;2^4\cdot3^3\cdot5^2.$$ - EBOB(K, L): ortak 2, 3 için
$$\min(5,4)=4,;\min(4,4)=4;\Rightarrow;2^4\cdot3^4.$$ - EKOK(K, L): asallar 2, 3, 5, 7, 11 için
$$\max(5,4)=5,;\max(4,4)=4,;\max(0,2)=2,;\max(2,0)=2,;\max(1,0)=1$$
$$\Rightarrow;2^5\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^2\cdot11^1.$$ - EKOK(K, M): asallar 2, 3, 5, 7, 11 için
$$\max(5,6)=6,;\max(4,3)=4,;\max(0,3)=3,;\max(2,0)=2,;\max(1,2)=2$$
$$\Rightarrow;2^6\cdot3^4\cdot5^3\cdot7^2\cdot11^2.$$
Sonuç ve Doğru Seçenek
Yapılan hesaplamalar gösterir ki
EBOB(L, M) = 2^4\cdot3^3\cdot5^2
Bu nedenle doğru seçenek A’dır.
Özet Tablosu
| Asal Çarpanlar | EBOB(L, M) | EKOK(L, M) |
|---|---|---|
| 2 | \min(4,6)=4 | \max(4,6)=6 |
| 3 | \min(4,3)=3 | \max(4,3)=4 |
| 5 | \min(2,3)=2 | \max(2,3)=3 |
EBOB(L, M) = 2^4\cdot3^3\cdot5^2
EKOK(L, M) = 2^6\cdot3^4\cdot5^3\cdot11^2
SSS
S1. EBOB ve EKOK arasında temel fark nedir?
C1. EBOB ortak asalların minimum üslerini, EKOK ise tüm asalların maksimum üslerini kullanır.
S2. Ortak asal bulunmuyorsa EBOB sonucu ne olur?
C2. Ortak asal yoksa EBOB = 1’dir.
S3. EKOK bulurken asal çarpanı olmayan üs nasıl işleme alınır?
C3. Eksik asalın üssü “0” kabul edilir, maksimum olarak diğer sayının üstü alınır.
S4. Büyük sayılarda faktörlemeyi hızlandırmanın pratik yolu var mı?
C4. Öncelikle küçük asal sayılarla deneme bölmeleri, sonra kalanı test etmek en hızlı yöntemdir.
Başka bir örnek üzerinde EBOB ve EKOK hesaplamak ister misiniz?
@yusuf_isik