Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde -4, -1 ve O rasyonel sayıları gösterilmiştir

Maths Question
1

DÜŞÜN-TARTIŞ-AÇIKLA 17
Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde -4, -1 ve O rasyonel sayıları gösterilmiştir. Buna göre
aşağıdakl soruları cevaplayınız.
b)-1 ile O arasında kaç adet tam sayı olduğunu yazıniz.
c) -1
-4
arka
eesd kd adet rasyonel sayı olduğunu incelemeniz amacIyla verilen adımlar
tartışınız
d)
e uyqulayıniz.

  1. Adım:
    -1 ve 0 arasindaki sayılardan
    rastgele seçilen ve
    rasyonel sayılarinı aşağıdak
    sayı doğrusunda gösteriniz.
    ) Herhangi iki rasyonel sayı arasında daima farkli bir rasyonel sayı bulunup bulunamayacağını
    başka bir rasyonel sayı olup
    olmadiğıni arkadaşlarinızla
  2. Adım:
    ğiniz- ve - rasyonel
    sayılarınin tam ortasındaki
    noktayı işaretleyiniz. Bu nok-
    taya karşılik gelen rasyonel
    sayıyı bulmak icin-1 ile 0 ara-
    sini kaç eşit parçaya bölmeniz
    gerektiğini arkadaşlarınızla
    tartişınız. Bu noktaya karşılık.
    gelen rasyonel sayiyi yazınız
  3. Adım:
    İkinci adımda bulduğunuz
    rasyonel sayı ile In tam
    ortasındaki noktayı işaretleyi-
    niz. Bu noktaya karşilik gelen
    rasyonel sayıyı bulabilmek
    için-1 le O arasın kaç eşit
    parçaya bölmeniz gerektiğini
    ç) lki rasyonel savı arasında yer alan bir rasyonel sayyı sayı doğrusu kullanmadan nasıl bula-
    bileceğinizi açiklayınız. Aynı aralığa daha fazla rasyonel sayı yerleştirmek isterseniz nasıl bir
    yöntem izleyebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışınız.
    arkadaşlarınızla tartışınız. Bu durumla ilgili ulaştiģniz genellemeyi aşağıya yazınız.

DÜŞÜN-TARTIŞ-AÇIKLA 17 Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde -4, -1 ve O rasyonel sayıları...
DÜŞÜN-TARTIŞ-AÇIKLA 17 Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde -4, -1 ve O rasyonel sayıları...795×1024 114 KB

2

Rasyonel Sayıların Yoğunluk Özelliği ve Sayı Doğrusunda Gösterimi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İki Sayının Orta Noktası (Aritmetik Ortalama): İki rasyonel sayı a ve b olmak üzere, tam ortalarındaki sayı:
    \text{Orta Nokta} = \frac{a + b}{2}
  • Genişletme Kuralı: Pay ve paydanın aynı pozitif tam sayı ile çarpılması değerini değiştirmez: \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}
  • Rasyonel Sayıların Yoğunluk Özelliği: Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

a) -4 ile -1 Arasındaki Tam Sayılar

  • Açıklama: -4 ve -1 sınır noktaları hariç tutulduğunda bu aralıktaki tam sayılar incelenir.
  • Sayılar: \{-3, -2\}
  • Adet: 2 tanedir.

b) -1 ile 0 Arasındaki Tam Sayılar

  • Açıklama: -1 ve 0 sayıları ardışık tam sayılardır. Ardışık iki tam sayının arasında başka bir tam sayı bulunmaz.
  • Adet: 0 tanedir (Hiç tam sayı yoktur).

c) Adım Adım İnceleme

  • 1. Adım:

    • Sayı Doğrusunda Gösterme: -1 ile 0 arası 5 eşit parçaya ayrılır. 0’dan sola doğru sayıldığında 2. bölme -\frac{2}{5}, 3. bölme -\frac{3}{5} noktasıdır.
    • Aralıkta Sayı Var mıdır?: Evet, vardır. İlk bakışta paylar ardışık (-3 ve -2) gibi görünse de kesirler genişletilerek araya sonsuz sayıda sayı yazılabilir.

  • 2. Adım:

    • Kesirler 2 ile genişletilerek aradaki nokta bulunur:
      -\frac{3}{5} = -\frac{6}{10} \quad \text{ve} \quad -\frac{2}{5} = -\frac{4}{10}
    • Tam ortadaki sayı, payların ortalamasından:
      \frac{-\frac{6}{10} + \left(-\frac{4}{10}\right)}{2} = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}
    • Bölünmesi gereken parça sayısı: -1 ile 0 arasını 10 eşit parçaya bölmek gerekir.
    • Karşılık gelen rasyonel sayı: -\frac{5}{10} (veya -\frac{1}{2})

  • 3. Adım:

    • İkinci adımda bulunan -\frac{5}{10} ile -\frac{4}{10} sayılarının tam ortası için paydalar tekrar 2 ile genişletilir:
      -\frac{5}{10} = -\frac{10}{20} \quad \text{ve} \quad -\frac{4}{10} = -\frac{8}{20}
    • Tam ortadaki sayı:
      \frac{-\frac{10}{20} + \left(-\frac{8}{20}\right)}{2} = -\frac{9}{20}
    • Bölünmesi gereken parça sayısı: -1 ile 0 arasını 20 eşit parçaya bölmek gerekir.
    • Karşılık gelen rasyonel sayı: -\frac{9}{20}

ç) Sayı Doğrusu Kullanmadan Rasyonel Sayı Bulma Yöntemi

  • Yöntem 1 (Kesirleri Genişletme): Verilen iki kesrin pay ve paydası aynı sayı ile (örneğin 2, 5, 10, 100 \dots) genişletilir. Böylece paylar arasındaki mesafe açılır ve araya istenilen sayıda yeni rasyonel sayı yazılabilir.
  • Yöntem 2 (Ortalama Alma): İki sayının toplamı ikiye bölünerek (\frac{a+b}{2}) her zaman tam aralarında yer alan yeni bir rasyonel sayı elde edilir.

d) Ulaşılan Genelleme

  • Genelleme: Herhangi iki rasyonel sayı arasında daima en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu işlem sınırsız kez tekrarlanabildiğinden; “Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır.” Matematikte bu duruma rasyonel sayıların yoğunluk özelliği adı verilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • a) 2 adet (-3, -2)
  • b) 0 adet (Tam sayı yoktur)
  • c) 2. Adım: 10 eşit parçaya bölünür, sayı: -\frac{5}{10} (veya -\frac{1}{2})
  • c) 3. Adım: 20 eşit parçaya bölünür, sayı: -\frac{9}{20}
  • ç) Kesirleri genişletme veya aritmetik ortalama alma yöntemi uygulanır.
  • d) Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunur (Yoğunluk Özelliği).
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Yoğunluk Özelliği: Tam sayılar kümesinde ardışık iki sayı arasında başka tam sayı yokken, rasyonel sayılarda ardışık kavramı yoktur; her iki sayının arasına daima sonsuz sayıda başka rasyonel sayı sığar.
  • Genişletme: Bir kesrin denkliğini bozmadan pay ve paydasını aynı katsayıyla büyüterek aralıkları daha ince dilimlere ayırma işlemidir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: -\frac{2}{5} ile -\frac{3}{5} sayılarının payları ardışık olduğu için aralarında başka rasyonel sayı olmadığını düşünmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Kesirleri genişleterek paylar arasındaki farkı açmak (örneğin -\frac{20}{50} ile -\frac{30}{50} yaparak araya onlarca yeni kesir yerleştirmek).

Konuyu pekiştirmek için \frac{1}{3} ile \frac{1}{2} arasına 3 farklı rasyonel sayı yerleştirme alıştırması yapmak ister misin?